Trabalho da cadeira Elementos de Geometria do Mestrado em Matemática para o Ensino, realizado por Silvani Queiroz

Capítulo IV - POLIEDROS

CAPITULO IV
I
POLIEDROS

409) Chama-se poliedro ao sólido limitado por superfícies planas (Figs. 513, 514, 515 e 516).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Os polígonos que limitam um poliedro são as faces; os lados e os vértices dos polígonos são, respectivamente, as arestas e os vértices do poliedro.
A superfície que limita um poliedro chama-se superfície poliédrica.

410) Duas faces de um poliedro dizem-se consecutivas quando têm um lado comum, que é a aresta do diedro definido pelas faces.

Os vértices de um poliedro são os vértices dos ângulos sòlidos formados pelos ângulos planos, um de cada face.
Num poliedro existe, portanto, um número de arestas e vértices respectivamente igual ao número de diedros e de ângulos sólidos.

411) Os poliedros com 4, 5, 6, 7, ... faces chamam-se tetraedros, pentraedros, hexaedros, heptaedros, ...

412) Um poliedro diz-se convexo quando fica todo para o mesmo lado em relação a qualquer dos planos das suas faces; no caso contrário diz-se côncavo.

Quando nos referimos a poliedros apenas consideraremos os convexos.

413) A diagonal de um poliedro é o segmento de recta definido por dois vértices não existentes na mesma face.

414) Demonstra-se que:

Teorema de Euler: Em qualquer poliedro convexo, o número de faces adicionado com o numero de vertices é igual ao número de arestas mais dois.
Se forem F, V e A, respectivamente, o número de faces, de vértices e de arestas do poliedro, teremos
F + V = A + 2

II
POLIEDROS REGULARES

Um poliedro regular é aquele em que as faces são polígonos regulares iguais e em que os ângulos sólidos são todos iguais; no caso contrário diz-se írrregular

.

416) PROBLEMA: Determinar quais as faces e ângulos sólidos que podem existir em poliedros regulares.
Os ângulos sólidos do poliedro têm por faces os ângulos internos das faces do poliedro. Atendendo a que é de três o menor número de faces deum ângulo sólido, e que a sua soma é menor que 360° (407), consideremos para faces dos poliedros os diferentes polígonos regulares.

O ângulo interno mede 180° : 3 = 60°.
Ângulo sólido triedro. Soma das faces: 3 X 60° = 180°.
Pode existir.
Ângulo sólido tetraedro. Soma das faces: 4 X 60° = 240°.
Pode existir.
Ângulo sólido pentaedro. Soma das faces: 5 X 60° = 300°.
Pode existir.
Ângulo sólido hexaedro. Soma das faces: 6 X 60° = 360°.
Não pode existir, sucedendo o mesmo se considerarmos mais faces.
2ª - Faces: Quadrados
O ângulo interno mede 360° : 4 = 90°.
Ângulo sólido triedro. Soma das faces: 3 X 90° = 270°.
Pode existir.
Ângulo sólido tetraedro. Soma das faces: 4 X 90° = 360°.
Não pode existir, sucedendo o mesmo se considerarmos mais faces.
3ª - Faces: Pentágonos regulares
O ãngulo interno mede ((5 - 2) X 180º/5 = 108º. p>Ângulo sólido triedro. Soma das faces: 3 X 108° = 324°.
Pode existir.
Ângulo sólido tetraedro. Soma das faces: 4 X 108° = 432°.
Não pode existir, sucedendo o mesmo se considerarmos mais faces.

4ª - Faces: Hexágonos regulares.
O ângulo interno mede ((6 - 2) X 180° /6 )= 120°.
Ângulo sólido triedro. Soma das faces: 3 X 120° = 360°.
Não pode existir, sucedendo o mesmo se considerarmos mais faces.
Quanto maior for o número de lados de um polígono regular tanto maior é a medida de um ângulo interno e, por isso, pode¬mos afirmar que não podem existir poliedros regulares cujas faces sejam heptágonos, actógonos, etc.

No problema anterior concluímos que só podem existir poliedros regulares cujas faces sejam triângulos equiláteros, quadrados e pentágonos regulares.

De facto existem, e são: o tetraedro (Fig. 517), com 4 faces que são triângulos equiláteros; o cubo ou hexaedro (Fig.518), com 6 faces que são quadrados; o octaedro (Fig. 519), com 8 faces que são triângulos equiláteros; o dodecaedro(Fig. 520),com 12 faces que são o pentágonos regulares e o ecosaedro (Fig. 521), com 20 faces que são triângulos equiláteros.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

418)Demonstra-se o seguinte:

TEOREMA: Num poliedro regular existe um ponto equidistante de todas as faces, de todas as arestas e de todos os vértices.

Ao ponto anterior chama-se centro do poliedro.

419) O dual de um poliedro regular é o poliedro cujas arestas se obtêm unindo por segmentos de recta os centros das faces consecutivas do polie¬dro dado (Fig. 522).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Da definição anterior conclui-se que o número de vértices de um poliedro é igual ao número de faces do seu dual. Facilmente se deduz que:
1º - O dual do tetraedro é outro tetraedro.
2º - O dual do cubo é o octaedro, e reciprocamente.
3º - O dual do dodecaedro é o icosaedro, e reciprocamente.

420) Atendendo ao teorema de Euler (414) e a que o número de faces de um poliedro regular é igual ao númeroe vértices do seu dual, é fácil determinar o número de arestas de cada poliedro regular.
Por exemplo: o número de arestas do dodecaedro é igual a 30, visto ser F = 12, V = 20 (número de faces do icosaedro) e, portanto, 10 + 20 = A + 2, donde A = 30.

EXERCÍCIOS CXIII

l) Quantas diagonais se podem construir num cubo? E num octaedro? E num tetraedro?
2) Quantos ângulos sólidos tem o tetraedro? E diedros?
3) Quantos ângulos sólidos tem o cubo? E diedros?
4) Quantos ângulos sólidos tem o icosaedro? E diedros?
5) No cubo, que posição relativa têm as diagonais?
6) No octaedro regular, que posição relativa têm as diagonais?
7) Qual é o poliedro regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é igual a 2400 grados?
8) Qual é o poliedro regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é igual a 36 K rad.?
9) Justirficar que não pode existir ura poliedro regular cujas faces sejam octógonos regulares.
10) Justificar que não pode existir um poliedro regular cujas faces sejam dodecágonos regulares.
11) Quais são os poliedros regulares cujos ânigulos sólidos são triedros?
12) Quais são os poliedros regulares cujos ângulos sólidos são tetraédricos?
13) Pode existir um poliedro regular cujos ângulos sólidos sejam pentaédricos? Justificar a resposta.
14) Pode existir um poliedro regular cujos ângulos sólidos sejam hexaédricos? Justificar a resposta.
15) Consitlerem-se três arestas de um tetraedro convergentes no mesmo vértice. Demonstrar que o plano definido pelos pontos médios daquelas arestas é paralelo à face oposta àquele vértice. </head> </html>