|
|
|
| ||
| Cinderella > Fórum > PF - Parte I, Capítulo 1, 2 - Elementos Geométricos > ficheiro 'elementos.htm' | ||
| Está a aceder como utilizador anónimo | ||
| PF - Parte I, Capítulo 1, 2 - Elementos Geométricos |
|---|
| Jorge Nuno Silva, 2003-08-27 20:55 [#99] |
| Ficheiro anexo 'elementos.htm': |
Parte I
Geometria Plana
Capítulo I
II – ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
10) Um fio perfeitamente estendido ou o bordo de uma boa régua dão-nos a ideia de um segmento de recta.
O segmento de recta é limitado em cada extremidade por um ponto. Os pontos são representados por letras maiúsculas. Na Fig. 6 está representado um segmento de recta, que se lê segmento AB, sendo A e B os pontos que o limitam e que se chamam extremos do segmento.
Para indicar um segmento cujos extremos são os pontos A e B, também
se usa sobrepor aquelas letras por um traço. 
11) Dois pontos P e Q são sobrepostos ou coincidem se eles são um único ponto, o que se representa por P ≡ Q e que se lê: P coincide com Q ou P está sobreposto a Q.
Dois pontos que não são coincidentes dizem-se distintos e devem ser designados por notações diferentes. Assim,, na Fig. 6, figuram os pontos distintos A e B.
Dois pontos com notações diferentes podem, porém, representar o mesmo ponto.
Um segmento nulo é aquele cujos extremos coincidem.
12) Dois segmentos AB e CD são sobrepostos ou coincidentes se cada ponto de AB coincide com um ponto de CD e, reciprocamente, cada ponto de CD coincide com cada ponto de AB.
É evidente que os extremos de dois segmentos sobrepostos hão-de coincidir.
Na Fig. 8 estão representados os segmentos coincidentes AB e CD em que A ≡ C e B ≡ D, o que se representa por AB ≡ CD, e que se lê: AB coincide com CD ou AB está sobreposto a CD.
13) Se imaginarmos prolongado indefinidamente nos dois sentidos um segemnto de recta, de forma que qualquer parte da linha obtida, compreendida entre dois pontos distintos, seja um segmento de recta, obtemos uma linha recta.
Na impossibilidade de se representar uma recta com todos os seus pontos, é costume representá-la por uma porção, colocando-se por cima as letras correspondentes a dois pontos, para se dar a ideia de que é ilimitada. Na Fig. 9 está representada a recta AB.
Também se usa representar uma recta por uma letra minúscula. Na Fig.10 está representada a recta r.
Os pontos existents sobre a mesma recta dizem-se colineares.
14) Duas rectas a e b são sobrepostas ou coincidem se cada ponto de a coincide com um ponto de b e, reciprocamente, se cada ponto de b coincide com um ponto de a.
Na Fig.11 as rectas a e b coincidem, o que se representa da forma seginte: a≡b e que se lê: a coincide com b ou a está sobreposta com b.
Duas rectas não coincidentes dizem-se distintas.
15) Marcando um ponto sobre uma recta ela fica dividida em duas semi-rectas.
Uma semi-recta é então uma porção de recta ilimitada num sentido e limitada no outro. Ao ponto que limita a semi-recta chama-se origem. Na Fig.12 está representada a semi-recta AB, sendo A o ponto origem, devendo este ponto figurar sempre em primeiro lugar na leitura da semi-recta.
Os segmentos de recta, as rectas e as semi-rectas são conjuntos de pontos.
16) No estudo que vamos fazer aparecem certas proposições que se admitem sem justificação e que têm muita importância: tais proposições têm o nome de axiomas.
Como exemplos de axiomas geométricos temos:
Na Fig.9 os pontos A e B definem a recta AB, o que quer dizer que a recta AB é a única que contém simultaneamente os pontos A e B.
Desta axioma conclui-se que duas linhas rectas distintas não podem ter mais que um ponto comum, a que se chama o ponto de intersecção das duas rectas ou o ponto onde elas se cortam. Duas rectas nas condições anteriores dizem-se concorrentes ou secantes.
Na Fig.13 estão representadas duas rectas concorrentes a e b, sendo P o ponto de intersecção.
Como P pertence a a e a b e P é o único ponto comum às duas rectas a e b, podemos escrever a ∩ b={P}. A intersecção dos dois conjuntos de pontos a e b é um conjunto unitário.
Também se conclui deste axioma que dois pontos definem um segmento de recta, que é uma porção da recta definida por esses pontos. O segmento é limitado pelos dois pontos e contém todos os pontos da recta compreendidos entre eles.
17) Ao desenhar-se o segmento definido pelos pontos A e B pode fazer-se o seu traçado partindo do ponto A para o ponto B ou deste para o ponto A. Podemos assim considerar que sobre um segmento há dois sentidos de percurso.
Pela mesma razão se pode considerar que sobre uma recta AB há dois sentidos de percursos opostos, que se dizem inversos oucontrários. Assim, na Fig, 14 estão indicados os sentidos de percurso de A para B (seta de baixo) e de B para A (seta de cima).
18) Se sobre uma recta marcarmos dois pontos distintos A e B e um sentido de percurso ou o ponto B segue o ponto A, que precede aquele ponto (Fig. 15), ou o ponto A segue o ponto B que precede A (Fig. 16)
Fig. 16
Se sobre uma recta for dado um sentido de percurso e o ponto B seguir o ponto A, e o ponto C seguir o ponto B, então C segue o ponto A ( Fig. 17). Nestas condições diz-se que o ponto B está entre os pontos A e C.
Para fixar um sentido de percurso numa recta basta dar dois pontos numa determinada ordem. Assim, na Fig 17 pode ser considerado o sentido AB, o sentido BC ou o sentido AC.
19) Atendendo à definição de conjuntos ordenados linearmente [Relembremos: 4) Diz-se que um conjunto está ordenado linearmente quando é possível relacionar os seus elementos mediante os verbos preceder ou seguir de tal modo que: 1º dados dois elementos a e b ou a precede b, ou a segue b. 2º se a precede b e b precede c, então a precede c (propriedade transitiva)] e considerando um sentido de percurso sobre uma recta, podemos afirmar que os pontos da recta estão ordenados linearmente.
Temos, assim o seguinte:
Axioma: Os pontos de uma recta estão ordenados linearmente segundo dois sentidos de percurso.
20) Podemos agora afirmar que, se marcarmos sobre uma recta um ponto, este é a origem comum de duas semi-rectas, correspondents a dois sentidos de percursos opostos. Estas semi-rectas dizem-se opostas e cada uma delas está no prolongamento uma da outra. Na Fig. 18 as semi-rectas AB e AC são opostas e estão no prolongamento uma da outra.
21) Consideremos uma recta e sobre ela dois pontos A e B (Fig. 19). A intersecção das semi-rectas AB e BA é o segmento AB (ou BA).
Os pontos do segmento AB, sem serem os extremos, dizem-se interiors a esse segmento.
As semi-rectas opostas às semi-rectas AB e BA dizem-se os prolongamentos do segmento AB.
22) Consideremos o segmento AB e marquemos sobre uma régua um segmento MN cujos extremos coincidam com os daquele segmento (Fig. 20).
Desloquemos a régua e tracemos o segmento CD cujos extremos coincidam com os pontos MN.
Podemos então admitir que o segmento AB foi deslocado para ocupar a posição do segmento CD.
Duma forma análoga poderíamos deslocar o segmento CD para ocupar a posição do segmento AB.
Podemos assim admitir que os segmentos podem ser transportados no espaço geométrico.
23) Dois segmentos são iguais ou congruentes quando coincidem ou deslocando um deles se pode fazer coincidir com o outro.
24) A igualdade dos segmentos tem certas propriedades que se verificam para os números, a saber:
AB = AB
25) Das duas últimas propriedades do parágrafo anterior conclui-se o seguinte:
Dois segmentos iguais a um terceiro são iguais entre si, ou seja, se AB = CD e EF = CD então AB = EF.
26) Axioma: Sobre uma dada semi-recta pode-se construir a partir da origem um único segmento igual a um segmento dado.
Na Fig. 21 está marcado na semi-recta ON o segmento OM = AB. Deste axioma conclui-se que, dado um segmento, é possível construir sobre uma recta, a partir de um dado ponto, dois segmentos iguais àquele segmento (20).
27) Medir um segmento é compará-lo com outro tomado para unidade. Ao resultado da medição de um segmento dá-se o nome de comprimento do segmento.
Todos os segmentos iguais têm uma propriedade comum que é o seu comprimento.
28) Distância entre dois pontos é o comprimento do segmento limitado por esses dois pontos.
29) A superfície livre de uma pequena porção de água em repouso ou uma superfície de uma boa prancha de desenho dão-nos a ideia de uma superfície plana que, por ser limitada, tem o nome de segmento de plano.
Se imaginarmos prolongado indefinidamente em todos os sentidos um segmento de plano de forma que qualquer parte finita da superfície obtida seja um segmento de plano, obteremos um plano.
Na impossibilidade de se representar um plano com todos os seus pontos usa-se representá-lo por uma porção dele (Fig. 23).
Os planos costumam designar-se por letras gregas, como por exemplo α (alfa), β (beta), γ (gama), δ (delta), ω (ómega), etc.
Na Fig. 23 está representado o plano α (aa na ilustração).Os pontos existents num mesmo plano dizem-se complanares.
30) Para verificar que uma prancha de desenho tem a superfície plana pode assentar-se o bordo de uma boa régua em muitas direcções; se o bordo da régua assentar perfeitamente na superfície da prancha, seja qual for a sua posição, poder-se-á afirmar que essa superfície é plana.
Considerando dois pontos distintos da superfície da prancha, o bordo da régua que passe por esses dois pontos assenta em toda a superfície.
Assim é possível conceber o seguinte:
Axioma:Um plano é uma superfície plana indefinida que contém a recta definida por dois quaisquer dos seus pontos.
Na Fig. 24 está representado o plano α que contém todos os pontos da recta AB, definida pelos pontos A e B que pertencem, ou existem, no plano. Podemos então escrever: A ∈ α ou B ∈ α.
Nestas condições diz-se que o plano α contém os pontos A e B. Também para indicar que a recta AB pertence ou existe no plano α ou é um subconjunto do plano α teremos AB ∈ α ou AB ⊂ α.
Como quaisquer dois pontos de um plano definem uma recta, podemos, então, considerar um plano como um conjunto de rectas definidas pelos seus pontos considerados dois a dois.
31) Uma recta existente num plano divide-o em dois subconjuntos chamados semi-planos. A recta ee a origem dos semi-planos que se dizem opostos.
A recta AB da Fig. 24 divide o plano em dois semi-planos, sendo AB a origem de qualquer deles.
Um semi-plano é determinado pela recta origem e por um ponto não existente nessa recta – exterior – mas pertencente ao semi-plano.
Na leitura do semi-plano a recta deve figurar em primeiro lugar e depois o ponto. Assim, na Fig. 25 estão representados os semi-planos ABP e ABR.
32) Considerem-se dois pontos P e Q, exteriores à recta AB, origem de um semi-plano, e existentes nele (Fig. 25); aqueles dois pontos definem um segmento PQ que não intersecta a recta AB. Os pontos nestas condições dizem-se situados do mesmo lado da recta origem.
Se uma recta AB divide um plano em dois semi-planos e o ponto P existe num dos semi-planos e o ponto R no outro, sendo ambos os pontos exteriores à origem, o segmento PR intersecta aquela recta (Fig. 25). Nestas condições diz-se que os pontos P e R estão situados para lados opostos em relação à origem dos semi-planos.
Então, dados dois pontos existentes num plano, eles estão para o mesmo lado de uma recta existente nesse plano, desde que o segmento por eles definido não intersecte a recta; os pontos estão para lados opostos da recta se o segmento a intersecta.
33) Dá-se o nome de domínio plano ou superfície plana a qualquer porção de um plano.
Um ponto diz-se interior a um domínio quando lhe pertence mas não existe na linha que limita o domínio.
O conjunto de pontos interiores a um domínio formam o seu interior.
Um domínio plano diz-se convexo quando o segmento de recta definido por dois quaisquer dos seus pontos interiors é um subconjunto do domínio; no caso contrário diz-se côncavo.
Na Fig. 26 está representado um domínio convexo M visto que quaisquer dois dos seus pontos interiores definem um segmento cujos pontos pertencem todos a M, isto é, o segmento é um subconjunto de M.
O domínio N representado na Fig. 27 é côncavo por o segmento AB não ser um subconjunto de N, visto nem todos os pontos de AB pertencerem ao conjunto N.
34) As definições de semi-plano (31) e de domínio convexo permitem-nos enunciar o seguinte axioma de Pasch:
Todo o semi-plano é um domínio convexo.
35) Duas figuras geométricas dizem-se iguais ou congruentes se coincidem ou deslocando uma delas se pode fazer coincidir com a outra.
Analogamente ao que sucedeu com os segmentos (24) as figuras geométricas iguais gozam das seguintes propriedades:
36) Destas duas últimas propriedades conclui-se o seguinte:
Duas figuras iguais a uma terceira são iguais entre si.
37) Atendendo à possibilidade de deslocar figuras geométricas admitiremos o:
Axioma: Qualquer ponto, qualquer recta, qualquer semi-recta, qualquer plano e qualquer semi-plano são, respectivamente, iguais a outro ponto, a outra recta, a outra semi-recta, a outro plano e a outro semi-plano.
38) Aos pontos, rectas e planos dá-se o nome de elementos geométricos.
39) Figuras planas são aquelas em que todos os seus pontos existem no mesmo plano.
Geometria é a ciência que estuda as propriedades de certas figuras quanto à forma, extensão e posições relativas.
Geometria plana é a parte da geometria que estuda as figuras planas.
Geometria no espaço é a parte da Geometria que estuda as figuras que não são planas, isto é, aquelas figuras em que não existe nenhum plano que contenha todos os seus pontos.