O problema que vamos abordar é o seguinte:

    Dadas duas rectas distintas r e r' no plano projectivo e seis pontos distintos, A, B, C (incidentes com r) e A' , B' e C' (incidentes com r') tais que o ponto A' é imagem de A por meio de uma certa projectividade µ, (e analogamente para os pontos B e B´, C e C´), como determinar a imagem X' de um ponto X incidente com a recta r ?


    Antes de mais,  recordemos que os dados determinam unicamente a projectividade µ, se atendermos ao Teorema Fundamental da Geometria Projectiva ([Cox], páginas 33 a 35).
    Seja O o ponto de intersecção de r e r'  (existe sempre, não há rectas paralelas no plano projectivo). Dois casos se podem dar:


1) O é ponto fixo da projectividade (isto é, µ(O) = O).

    Então, sabe-se que a projectividade se reduz a uma perspectividade ([Cox], página 35); neste caso os pontos cujas imagens são conhecidas  são O (de imagem O), B (de imagem B') e C (de imagem C'). O applet seguinte resolve a questão proposta.




2) O não é ponto fixo da projectividade.

    Nestas circunstâncias, pelo resultado referido em 1), sabe-se que a projectividade não é uma perspectividade, mas que pode ser escrita como composta de duas perspectividades; o applet que apresentamos abaixo resolve o problema.

Observações:

1) A recta a amarelo em cada um dos applets chama-se eixo da projectividade ([Cox], página 37).
2) O caso em que as rectas de partida e de chegada  da projectividade coincidem reduz-se aos anteriores tomando uma perspectividade arbitrária por forma a obter quatro pontos noutra linha. Chega-se assim a um  resultado fundamental quando se faz o estudo das projectividades do ponto de vista de Poncelet: Qualquer projectividade entre duas rectas pode obter-se compondo um máximo de três perspectividades.


Referências

[Cox]

Coxeter, H. S. M. (1973) - Projective Geometry (2nd edition), Springer Verlag, New York.