CAPÍTULO XIV

I

ÁREAS DE ALGUNS POLÍGONOS

    310) Toda a linha poligonal plana fechada, que não se intersecta, limita um domínio plano chamado superfície plana. Assim, a linha poligonal ABCDE (Fig.400) limita um domínio plano que se chama superfície deste domínio, ou seja, superfície do polígono correspondente.

    Denomina-se área a medida de uma superfície.

    Usa-se, vulgarmente, a palavra superfície para designar a sua área, mas o sentido que se deve dar inclui não só o da sua área como também o da sua forma.

    O termo área é aplicado, exclusivamente, à medida da superfície. Assim diz-se: uma superfície quadrada, o que dá a ideia da forma; a superfície de um quadrado ou a área de um quadrado, o que dá a ideia da medida.

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Fig. 400

 

    311) A unidade que se usa para medir áreas é a área do quadrado em que o comprimento do lado é igual à unidade.

    Por exemplo: pode tomar-se para unidade de área a área de um quadrado com um metro de lado (metro quadrado) ou um centímetro de lado (centímetro quadrado). Pode, porém, tomar-se para unidade de lado do quadrado qualquer medida sem ser nenhuma das anteriores.

    312) Se unirmos duas ou mais figuras planas de forma que não se sobreponha nenhuma delas às outras, a superfície da figura obtida diz-se igual à soma das superfícies de todas elas.

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Fig. 401                                                            Fig. 402                                                            Fig. 403

 

    Assim, a Fig.401 é composta das superfícies A, B e C, que estão unidas nas Figs. 402 e 403. Por este motivo, tanto a superfície da Fig. 402 como a da Fig. 403 são iguais à soma das superfícies de A, B e C da Fig. 401, isto é, têm ambas superfícies iguais.

    Como vimos (35), duas figuras dizem-se iguais quando coincidem ou deslocando uma delas se pode fazer coincidir com a outra. Por consequência, duas superfícies planas iguais têm a mesma forma e a mesma área (além de figuras iguais também os polígonos semelhantes se consideram como tendo a mesma forma, mas estes não têm, em geral, a mesma área).

    Duas superfícies planas dizem-se equivalentes quando têm a mesma área independentemente da forma.

    Como exemplo de figuras equivalentes temos as das Figs. 402 e 403.

    313) TEOREMA: As áreas de dois rectângulos com bases iguais estão entre si como as alturas (Fig.404).

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Fig. 404

 

    Hipótese: Dados os rectângulos MNPG e EFGH com as bases iguais, áreas A e A’ e alturas h e h’.

    Tese: .

 

Demonstração

 

    Seja MR um segmento que cabe m vezes em MQ e n vezes em EH. (Na Fig. 404, m= 4 e n= 3). Pelos pontos de divisão tirem-se paralelas às bases dos rectângulos.

    Os rectângulos MNPQ e EFGH ficam divididos, respectivamente, em m e n rectângulos iguais (158), cuja área suporemos igual a a. Será, portanto,

A = m.a,  A’ = n.a,  h = m.MR  e  h’ = n.MR

    donde

  e  

    ou

    Cor.- As áreas de dois rectângulos com alturas iguais estão entre si como as bases.

    Observação:

    Pode suceder que não exista um segmento que caiba um número exacto de vezes em MQ e EH. Demonstra-se, porém, que ainda neste caso o teorema é verdadeiro.

    314) TEOREMA: A área de dois rectângulos estão entre si como o produto das suas bases pelas alturas (Fig. 405).

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Fig. 405

    Hipotese: Dados os rectângulos de áreas A e A', bases b e b', alturas h e h'

    Tese:

Demonstração

    Construa-se o rectângulo cuja base é igual à do rectângulo de área A e de altura igual à do outro. Seja A1 a sua área.

    Como (313) e (313, Cor.)

    Obtém-se (63-5ª)

    Cor. I- A área de um quadrado é igual ao produto das suas dimensões.

    Como

    e (234) e

    Teremos

    Considerando o rectângulo de área A' como sendo o quadrado com o lado igual à unidade, ou seja,

    A' = 1 unid., med. b' = 1 unid. e med. h' = 1 unid

    teremos

    donde (206)

    ou (238)

    (1) Também se pode enunciar este corolário da seguinte maneira: A área dum rectângulo é igual ao produto da base pela altura, ou a área dum rectângulo é igual ao produto da medida da base pela medida da altura.

 

    Cor. II- A área de um quadrado é igual ao quadrado da medida do lado.

    Por ser no quadrado, b = h e representando por l a medida comum da base e da altura, teremos

    

 

EXERCÍCIOS LXXXIII

    1)  Determinar a área de um rectângulo cuja base mede 10 m e o perímetro 30 m.

    2)  Determinar a área de um rectângulo cuja base mede 60 cm e a diagonal 61 cm.

    3)  O perímetro de um rectângulo é 80 cm e a altura é da base. Determinar a área do rectângulo.

    4)  A área de um rectângulo é 240 dm² e a altura 10 dm. Determine a medida da diagonal do rectângulo.

    5)  Um rectângulo, cuja altura mede 6 dm, está inscrito numa circunferência de comprimento igual a 31,4 dm. Determinar a área do rectângulo.

    6)  A diagonal de um quadrado mede 8 cm. Determinar a área do quadrado.

    7)  Determinar a área do quadrado inscrito numa circunferência cujo comprimento é 12,56 m.

    8)  O perímetro do hexágono regular inscrito numa circunferência é 30 cm. Determinar a área do quadrado inscrito na mesma circunferência.

    9)  Se o lado de um quadrado aumenta 3 cm, a sua área aumenta 39 cm2. Qual é a medida do lado do quadrado?

    10)  Determinar a razão entre as áreas dos quadrados inscrito e circunscrito à mesma circunferência.

    11)  Determinar a razão entre a área do quadrado e a área do rectângulo inscritos na mesma circunferência, sendo um dos lados do rectângulo um dos lados do hexágono regular inscritível na circunferência.

    12)  Uniram-se por segmentos de recta os pontos médios dos lados consecutivos de um quadrado. Demonstrar que a área do quadrado obtido é metade da do dado.

    13)  Quantos paralelepípedos são necessários para calcetar um passeio rectangular de 12 m de comprimento por 1,8 m de largura, sabendo que cada paralelepípedo tem 1,8 dm de comprimento por 8 cm de largura?

    14)  Um fato para um menino requer fazenda com o comprimento de 1,4 m por 12 dm de largura. Se a fazenda tiver 8 dm de largura, que comprimento de fazenda é preciso comprar?

    15)  Quantas tábuas de madeira com 2,1 m de comprimento por 1,2 dm de largura, são necessárias para soalhar o chão rectangular de uma casa com 6 m de comprimento por 4,2 m de largura?

    16)  Um quarto tem 4,8 m de comprimento, 4 m de largura e 3,2 m de altura. Que comprimento de papel, de 5 dm de largura, para forrar paredes, é necessário para forrar o quarto, sabendo que este tem duas janelas de 1,5 m de largura por 2 m de altura e uma porta com 1,8 m de largura por 3,1 m de altura?

    17)  Um canteiro rectangular, de 8 m de comprimento por 6 m de largura, é rodeado por um passeio de 4 m de largura. Quantos paralelepípedos são necessários para calcetar o passeio, sabendo que o seu comprimento é 1,6 dm e a largura 1 dm?

 

    315)  TEOREMA:Um paralelogramo é equivalente a um rectângulo com a mesma base e a mesma altura (Fig. 406).

    Hipótese: Dado o paralelogramo BCDE de base be altura h.

    Tese: BCDE é equivalente a um rectângulo de base b e altura h.

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Fig. 406

Demonstração

    Construa-se CG paralelo à altura DF do paralelogramo e prolongue-se o lado EB. Por ser (151) BF EG, também (122, Cor.) CG EG.

    Como (159) ED=BC e (159, Cor.I) DF=CG, teremos (103) EFD é igual ao BGC.

    Conclui-se, então, que o paralelogramo BCDE é equivalente ao rectângulo CDFG (312).

 

    Cor.- A área de um paralelogramo é igual ao produto da base pela altuta.

    Com efeito, a base do paralelogramo é igual à do rectângulo (EB=FG por ser EF=BG) e a altura também é igual.

    Teremos, então,

A = b.h

 

EXERCÍCIOS LXXXIV

    1)   Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 13 cm e 20 cm e a projecção daquele lado sobre este mede 5 cm. Determinar a área do paralelogramo.

    2)  Um paralelogramo, cuja base mede 18 cm e a altura 8 cm, é equivalente a um quadrado, Determinar o perímetro do quadrado.

    3)  Dois lados de um paralelogramo medem 8 cm e 12 cm e o ângulo por eles formado mede 30º. Determinar a área do paralelogramo.

    4)  A área de um paralelogramo é 480 dm² e a base mede 20 dm. Determinar o perímetro do paralelogramo, sabendo que a projecção do lado oblíquo sobre a base mede 7 dm.

    5)  Os lados de um paralelogramo medem 5 cm e 6 cm e o ângulo por eles formado mede 45º . Determinar a área do paralelogramo.

    6)  A diagonal de um rectângulo mede 17 dm e a altura 8 dm. Um paralelogramo, cuja base mede 24 dm, é equivalente àquele rectângulo. Determinar o perímetro do paralelogramo, sabendo que um dos ângulos mede 30º.

    7)  Os lados de um paralelogramo medem 14 cm e 13 cm e uma diagonal 15 cm. Determinar a área do paralelogramo.

    8)  Demonstrar que são equivalentes os paralelogramos que se obtêm tirando por um ponto de uma diagonal de um paralelogramo paralelas aos lados, ficando cada um daqueles paralelogramos para lados opostos em relação à diagonal.

 

    316)  Teorema: A área de um triângulo é igual a metade do produto da base pela altura (Fig. 407).

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Fig. 407

 

    Hipótese:  Dado o BCD de base b, altura h e área A.

    Tese:  A =

Demonstração

    Pelos vértices B e C do BCD tirem-se paralelas, respectivamente, aos lados DC e DB, que se intersectam no ponto E.

    Como (151) BECD é um paralelogramo, teremos (315, Cor.)

Área BECD = b.h

    Por ser (159, Cor. III) BCD = BECD

    conclui-se que    A =

    Cor.- A área de um triângulo rectângulo é igual a metade do produto dos catetos.

 

EXERCÍCIOS LXXXV

    1)  Determinar a área de um triângulo isósceles cuja base mede 16 dm e um dos braços 10 dm.

    2)  Determinar a área de um triângulo rectângulo em que um dos catetos mede 21 cm e a hipotenusa 29 cm.

    3)  Determinar a área de um triângulo equilátero cujo lado mede 6m.

    4)  Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 12 cm e o ângulo por eles formado 30º. Determinar a área do triângulo.

    5)  Determinar a área de um triângulo rectângulo em que um dos catetos mede 9 m e a sua projecção sobre a hipotenusa 5,4 m.

    6)  A base de um triângulo isósceles mede 8 dm e o ângulo oposto 120º. Determinar a área do triângulo.

    7)  Determinar a área de um triângulo cujos lados medem 18 m, 20 m e 34 m.

    8)  Determinar a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência cujo comprimento é 31,4 dm.

    9)  O ABC, rectângulo em B, está inscrito numa circunferência. Sabendo que o arco AB mede 120º e o comprimento deste arco é 6,28 m, determinar a área daquele triângulo.

    10)  As diagonais AC e BD do quadrilátero ACD são perpendiculares. Demonstrar que a área de ABCD = .

 

    317)  TEOREMA: : A razão das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança ( Fig. 408).

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Fig. 408

    Hipótese:  ABC MNP, sendo K a razão de semelhança.

    Tese:  

Demonstração

    Sejam BD e NR as alturas correspondentes aos lados homólogos AC e MP.

    Como (316)   Área ABC =

    e   Área MNP =

    teremos   

    Por ser (246)    e (254)

    Obtém-se   

 

EXERCÍCIOS LXXXVI

    1)  As áreas de dois triângulos semelhantes são 18 m² e 50 m². Qual é a razão de semelhança dos dois triângulos?

    2)  Determinar a área de um triângulo semelhante a outro cuja área é de 24 m². O primeiro triângulo é menor do que o segundo e dois dos lados homólogos medem 8 m e 5 m.

    3)  Os perímetros de dois triângulos semelhantes são 20 m e 25 m. Determinar a área do triângulo menor, sabendo que a área do outro é 16 m².

    4)  Num triângulo a altura mede 6 m; noutro triângulo semelhante àquele, a altura, correspondente à primeira, mede 9 m. Determinar as razões entre os perímetros e as áreas daqueles triângulos, sendo as razões menores do que 1.

    5)  Dois triângulos rectângulos são semelhantes, sendo a razão de das áreas igual a . Sabendo que os catetos do triângulo menor medem 6 cm e 8 cm, determinar a medida da hipotenusa do outro.

    6)  A área de um triângulo equilátero é 20 cm². Determinar a área de outro triângulo equilátero cujo lado é triplo daquele.

 

    318)  Teorema: A área de um losango é igual a metade do produto das diagonais (Como o losango é um paralelogramo, a sua área também pode ser obtida como a do paralelogramo) (Fig. 409).

    Hipótese:  Dado losango BCDE de área A e de diagonais d e d'.

    Tese:  A =

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Fig. 409

Demonstração

    Como (159, Cor. III)    EBC = EDC,

    e (163)      BD EC,

    teremos (316)     A =

    donde     A =

    ou     A =

    visto ser BO + OD = d'

EXERCÍCIOS LXXXVII

    1)  Determinar a área de um losango cujos lados medem 8,5 dm e uma das diagonais 15 dm.

    2)  Determinar o perímetro do losango de 120 cm² de área, medindo uma das diagonais 24 cm.

    3)  Uma das diagonais de um losango é da outra e o seu perímetro é de 40 m. Determinar a área do losango.

 

    319)  Teorema: Um trapézio é equivalente a um triângulo com a mesma altura e cuja base é igual à soma das bases do trapézio ( Fig.410).

    Hipótese:   Dado o trapézio BCDE de Bases EB e CD e altura h.

    Tese: BCDE é equivalente a um triângulo de altura h e base igual a EB+CD.

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Fig. 410

Demonstração

    Seja G o ponto médio do lado BC do trapézio. Trace-se DG, que encontra o prolongamento da base EB no ponto F.

    Como (66)     CDG = BGF e (122) GCD = GBF,

    conclui-se que (78)     CGD = BGF

    donde (75-2ª)     CD = BF

    O trapézio BCDE é, portanto, equivalente ao EDF (312) de altura h e base igual a EB+BF ou EB+CD.

    Cor.I - A área de um trapézio é igual ao produto da semi-soma das bases pela altura.

    Sejam b e b' as medidas das bases do trapézio BCDE, h a altura e A a sua área.

    Por ser BF=CD, a área do EDF é , que é também a do trapézio BCDE, ou seja,

A = .

    Cor.II - A área de um trapézio é igual ao produto da mediana pela altura.

    Representando por m a mediana do trapézio BCDE e como (171) , teremos

A = m.h.

EXERCÍCIOS LXXXVIII

    1)  Determinar a área de um trapézio cujas bases medem 10 m e 80 dm e a altura é da base menor.

    2)  Determinar a área de um trapézio rectângulo cujas bases medem 32 m e 17 m e o lado oblíquo é igual à base menor.

    3)  Determinar a área de um trapézio isósceles cujas bases medem 100 dm e 36 dm e o lado oblíquo às bases 40 dm.

    4)  Um trapézio está inscrito numa circunferência, sendo a base maior um diâmetro e distando a outra base 6 dm do centro. Determinar a área do trapézio, sabendo que o comprimento da circunferência é 62,8 dm.

    5)  A área de um trapézio rectângulo é 36 cm² e as bases medem 10 cm e 14 cm. Determinar o perímetro do trapézio.

    6)  Sejam O e O’ os centros de duas circunferências, tangentes exteriormente e TT’ o segmento da tangente comum. Determinar a área do trapézio OTT'O', sabendo que os raios das circunferências medem 9 cm e 4 cm.

    7)  Determinar a área de um trapézio inscrito numa circunferência de comprimento igual a 314 cm, sabendo que as bases são os lados do triângulo equilátero e do hexágono regular inscritíveis na circunferência. ( As bases do trapézio estão para o mesmo lado em relação ao centro).

    8)  Sejam AB e CD, respectivamente as bases maior e menor do trapézio isósceles ABCD de altura CC’. Demonstrar que a área deste trapézio é dupla da do ACC’, rectângulo em C’.

 

    320)  Teorema: A área de um polígono regular é igual a metade do produto do perímetro pela medida do apótema (Fig. 411).

    Hipótese:  Dado o polígono regular BCDE... de perímetro p, apótema de medida a e área A.

    Tese:  A =

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Fig. 411

Demonstração

    Seja O o centro do polígono (293).

    Tracem-se os raios OB, OC, OD,... do polígono.

    Atendendo a que todos os triângulos obtidos têm a altura igual ao apótema OM (294-1ª e 2ª), teremos:

    Área GOB = , Área BOC = ,

    Área COD = ,...

    donde Área GOB + ÁreaBOC + Área COD + ... =

                =

    e, portanto, A =

EXERCÍCIOS LXXXIX

    1)  Determinar a área de um octógono regular cujo lado mede 174,8 m e o apótema 212,7 m.

    2)  Determinar a área de um hexágono regular cujo perímetro é 720 m.

    3)  O hexágono regular ABCDEF está inscrito numa circunferência de centro o. Sabendo que AB mede 6,28 m, determinar a área do hexágono.

    4)  O comprimento de uma circunferência é 43,96 cm. Determinar: a) a medida do apótema de um triângulo equilátero inscrito naquela circunferência; b) a área do triângulo.

    5)  Determinar a razão entre as áreas do quadrado e do hexágono regular inscritos na mesma circunferência. (Exprimir ambas as áreas no raio da circunferência circunscrita).

    6)  Determinar que valor deve ter o raio de uma circunferência de forma que a área e o perímetro do triângulo equilátero inscrito sejam expressos pelo mesmo número.

 

    321)  Para se avaliar a área de um polígono irregular faz-se a sua decomposição noutros polígonos cujas áreas já foram estudadas. Determina-se a área de cada um destes polígonos e efectua-se a sua soma, obtendo-se assim a área do polígono irregular.

    Na Fig. 412 o polígono está decomposto em triângulos rectângulos e trapézios rectângulos, que se obtiveram traçando a diagonal AE e BG AE, CH AE, DI AE e FK AE.

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Fig. 412

EXERCÍCIO XC

    A Fig. 413 representa um campo quadrangular ABCD em que AE MN, BF MN e CG MN.

    Determinar, em hectares, a área do campo, sabendo que AE = 8 dam, BF = 12 dam, CG = 3 dam, ED = 6 dam, DF = 6 dam e FG = 4 dam.

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Fig. 413

 

    322)  TEOREMA: A razão das áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança (Fig. 414).

    Hipótese:  ABCDE MNPQR, sendo K a razão de semelhança.

    Tese:   k².

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Fig. 414

Demonstração

    Decomponha-se os polígonos em triângulos semelhantes (287).

    Seja

    ABC MNP, ACD MPQ, ADE MQR de áreas, respectivamente, iguais a A', A₁, A'', A₂, A''' e A₃.

    Teremos (317)

    , e

    Como (245) e (284)

    será         

    donde (237-4º)         

    ou         

    Cor.I - A razão das áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de duas diagonais homólogas.

    Cor. II – A razão das áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão dos seus perímetros.

 

EXERCÍCIOS XCI

    1)  A área de um hexágono regular é 18 m² e a de outro hexágono regular é 8 m². Qual é a razão do raio do primeiro para o do segundo polígono?

    2)  A área de um pentágono é 12 m² e a de outro semelhante 48 m². Qual é a razão de semelhança do primeiro para o segundo?

    3)  Os perímetros de dois polígonos semelhantes são, respectivamente, 20 cm e 4 dm. Qual é a razão da área do primeiro para a do segundo polígono?

    4)  Duas diagonais homólogas de dois polígonos semelhantes medem 8 cm e 12 mm. Qual é a razão da área do segundo para a do primeiro polígono?

    5)  A diagonal de um rectângulo mede 5 cm e uma das dimensões é 3 cm. A área de outro rectângulo semelhante é 108 cm² ; determinar a medida da diagonal deste rectângulo.

    6)  As bases de um trapézio medem 12 cm e 8 cm e a altura 6 cm. Determinar as medidas das bases e da altura de outro trapézio semelhante, sabendo que a sua área é 135 cm².

    7)  Construíram-se polígonos semelhantes sobre um dos catetos e a hipotenusa de um triângulo rectângulo isósceles. Demonstrar que a área de um daqueles polígonos é o dobro da do outro, sendo, nos polígonos semelhantes, aquele cateto homólogo da hipotenusa.

 

 

II

ÁREA DO CÍRCULO

    323)  Considerando um polígono regular inscrito num círculo ( Fig. 415) e duplicando indefinidamente o número de lados, as áreas dos polígonos assim obtidos vão aumentando, aproximando-se cada vez mais da área do círculo. Podemos, portanto, definir:

    A área do círculo é o limite para que tendem as áreas dos polígonos regulares inscritos, quando o número de lados duplica indefinidamente.

    324)  Também é fácil concluir que:

    Quando se duplica indefinidamente o número de lados de um polígono regular inscrito numa circunferência, os apótemas dos polígonos regulares obtidos formam uma sucessão cujo limite é o raio do círculo.

    325)  TEOREMA: A área do círculo é igual ao produto de pelo quadrado do raio (Fig. 415).

    Hipótese:  Dado o círculo de centro O, raio R e área A.

    Tese: A = R².

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Fig. 415

Demonstração

    Sejam A_n, p_n e a_n, respectivamente, a área, o perímetro e o apótema de um polígono regular de n lados inscritos na circunferência (O) e C o cumprimento desta circunferência. Dupliquemos indefinidamente o número de lados daquele polígono inscrito.

    Como (320)

    e (323, 306 e 324) , e

    teremos, aplicando limites áquela igualdade,

                 .

    Atendendo a que (307, Cor. III) C = 2 R,

    virá             ou A = R².

    Cor.I – A área de um círculo é igual a do produto de pelo quadrado do diâmetro.

    Com efeito, como R = , teremos A = .

    Cor.II – A razão das áreas de dois círculos é igual à razão doa quadrados dos seus raios ou dos seus diâmetros.

    Se for A a área do círculo de raio R e diâmetro D e A’ a área de outro círculo de raio r e diâmetro d, teremos

                 , donde

       e           ou

    326)  Sector circular é a porção de círculo compreendida entre dois raios. Na Fig. 416 está representado o sector circular AOB.

    À medida do ângulo ao centro do sector dá-se o nome de abertura do sector.

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Fig. 416

    327)  Determinemos a área A de um sector circular de n rectos de abertura. È fácil demonstrar que:

    A área de um sector circular é proporcional à sua abertura.

    Portanto, como a amplitude de uma circunferência é 4 rectos, teremos

                      R² corresponde a 4 rectos

                     A corresponde a n rectos

    donde                

    ou                 R ²

    Será também

                      (n amplitude em graus)

                      (n amplitude em grados)

     ou (n amplitudes em radianos).

 

EXERCÍCIOS XCII

    1)  Determinar a área do círculo em que a distância do centro a uma corda que mede 16 cm é de 6 cm.

    2)  Determinar a área de um rectângulo inscrito no círculo de 0,785 m² de área, tendo a base do rectângulo o dobro da altura.

    3)  Determinar a área da porção de plano compreendida entre duas circunferências concêntricas, em que o comprimento da circunferência maior é 6,28 m e o comprimento da corda desta circunferência tangente à menor é 1,6 m.

    4)  Determinar a área do segmento de círculo em que a corda é o lado do quadrado inscrito de 6,25 m² de área.

    5)  Tomando para diâmetros os catetos de um triângulo rectângulo, construíram-se, para o exterior, semi-circunferências de raios iguais a 30 m e 40 m. Determinar a área total da figura formada.

    6)  Tomando para diâmetros todos os lados de um trapézio rectângulo, construíram-se, para o exterior, semi-circunferências. Determinar a área total da figura, sabendo que as bases do trapézio medem 10 dam e 6 dam e a altura 30m.

    7)  Determinar a área de um círculo circunscrito a um triângulo equilátero de 4,28 m² de área.

    8)  Determinar a área da porção de plano compreendida entre duas circunferências concêntricas, sabendo que o perímetro do quadrado inscrito na circunferência maior e circunscrito à menor é igual a 26,4 m.

    9)  Se aumentarmos de 3 cm o raio de um círculo, a área aumenta 65,94 cm². Determinar o raio.

    10)  Determinar a área de um sector circular, a que corresponde um ângulo ao centro de 120º, sabendo que a área do quadrado inscrito na circunferência é 225 m².

    11)  Determinar a área de um trapézio inscrito numa circunferência em que a área de um sector circular, a que corresponde um ângulo ao centro de 1 rad., é 2 m². A base maior é um diâmetro e a outra daquela.

    12)  Determinar o raio do círculo em que a área de um sector circular de abertura igual a 60º aumenta 23,55 m² quando o raio aumenta 3 m.

    13)  Determinar a razão entre a área de um círculo e a área do quadrado circunscrito.

    14)  Determinar a razão entre a área de um círculo e a do triângulo equilátero inscrito.

    15)  Determinar o valor que deve ter o raio de um círculo de forma que a sua área seja expressa pelo triplo do número que exprime o comprimento da circunferência.

    16)  Determinar o valor que deve ter o raio de um círculo de forma que a sua área seja expressa pelo mesmo número que o perímetro do quadrado inscrito.

    17)  Determinar o valor que deve ter o raio de um sector circular de forma que a sua área seja expressa pelo mesmo número que o comprimento do arco correspondente.

    18)  Determinar a razão entre as áreas de dois círculos, sabendo que o lado do hexágono regular inscrito num é igual ao lado do quadrado circunscrito ao outro.

    19)  Determinar a razão entre as áreas de dois círculos, sabendo que o perímetro do quadrado inscrito num é igual ao perímetro do hexágono regular inscrito no outro.

    20)  Na Fig. 417, ABCD é um rectângulo, CDEF um trapézio e os arcos CHI e JKL são iguais, com centros respectivamente em A e B. Determine a área total da figura, sendo as medidas dadas em decâmetros.

    21)  Na Fig. 418, ABCD é um trapézio isósceles o EFG é isósceles, AHF e DEI sectores circulares iguais, os arcos BJK, KLM e MNC semi-circunferências iguais. Determinar a área da figura limitada pela linha a cheio, sendo as medidas dadas em metros.

    22)  Seja O o centro de um círculo. Tracem-se dois diâmetros perpendiculares AB e CD e o ponto D, como centro, com AD por raio, trace-se o arco AEB. Demonstrar que a área da figura AEBCA é igual à do DAB.

    23)  Uma senhora faz napperons circulares, com 30 cm de diâmetro, a 24$ cada um. Um freguês quer saber que preço levará por fazer um napperon com 48 cm de diâmetro ( supõe-se que o preço de cada napperon é proporcional à área).

    24)  Uma senhora fez um napperon de forma circular para uma mesa, sendo a parte central um círculo de pano de linho com 20 cm de diâmetro e a outra parte, feita de renda, com 10 cm de largura. Para fazer a renda gastou-se 27 m de linha. Se em vez de ter feito a parte da renda com 10 cm de largura a fizesse com 20 cm, quantos metros de linha seriam precisos?

    25)  Um tanque circular de 18 m de diâmetro é cercado por um passeio com 3,6 m de largura. Determinar o preço do calcetamento do passeio, sabendo que cada metro quadrado custa 20$.

    26)  Se um aqueduto de 30 cm de diâmetro fornece de água uma cidade de 9000 habitantes, que população fornecerá um aqueduto com 40 cm de diâmetro? (A água que corre através de um cano é proporcional à área de uma secção transversal).

    27)  Dois ramos de uma canalização de esgoto têm 9 cm e 12 cm de diâmetro. Qual deve ser o diâmetro do cano dentro do qual aqueles canos vazem de forma que o esgoto possa ser feito?

    28)  O passeio de uma rua, com 1,4 m de largura, dá uma volta a uma esquina (Fig.419). Determinar a área da porção da curva do passeio, sabendo que o raio AO = 2 m e O tem 45º.