CAPÍTULO VI

SUPERFÍCIE ESFÉRICA E ESFERA

470) Da definição de superfície esférica (463) ou de esfera (468) concluem-se as seguintes propriedades:
1.ª – Todos os raios de uma superfície esférica ou de uma esfera são iguais.
2.ª - Duas superfícies esféricas ou duas esferas que têm raios iguais são iguais , e reciprocamente.
3.ª – Um ponto interior a uma superfície esférica ou a uma esfera está a uma distância do centro menor do que o raio e um ponto exterior a uma distância maior do que o raio.

471) TEOREMA: É uma circunferência qualquer secção feita numa superfície esférica por um plano (Fig. 559)

Hipótese: Dada a superfície esférica de centro O e o plano α que a intersecta.
Tese: A secção feita numa superfície esférica pelo plano α é uma circunferência.

Demonstração

Tracem-se dois segmentos definidos pelo centro O da superfície esférica, e por dois pontos A e B da secção. Seja C o pé da perpendicular baixada de O para α.
Como (471-1.ª) AO = OB, teremos (390-2.º) AC = BC.

Analogamente se provava que todos os pontos da secção estão a igual distância do ponto C e, portanto, que essa secção é uma circunferência (230 – I).
COR. I – É um circulo qualquer secção feita numa esfera por um plano.

COR.II – Duas circunferências existentes numa superfície esférica e cujos planos estão equidistantes do centro são iguais.

COR. III – Três pontos quaisquer de uma superfície esférica definem uma circunferência existente sobre a superfície.

Porque três pontos definem um plano.

472) Um plano que passa pelo centro de uma esfera determina nesta um círculo máximo. Se o plano não passa pelo centro, mas intersecta a esfera, o círculo obtido diz-se menor.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

 

473) PROBLEMA: Fazer passar por 4 pontos não complanares uma superfície esférica (Fig. 560)
Dados: Os quatro pontos A, B, C e D não complanares.
Pedido: Pelos pontos A, B, C e D faça-se passar uma superfície esférica.

Resolução

Seja O’ o centro da circunferência definida pelos pontos A, B e C.
Por O’ faça-se passar uma recta OO’ perpendicular ao plano definido pelos três pontos A, B e C.
Construa-se o plano α mediador do segmento definido pelos pontos A e D. O ponto O, intersecção de α com OO’, é o centro da superfície esférica que passa pelos pontos A, B, C e D.

Justificação

O ponto O está equidistante dos pontos A, B e C por existir na recta OO’, que é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A, B e C, e está equidistante de A e D por pertencer ao plano mediador do segmento de recta definido por estes pontos.

A superfície esférica que tenha o centro O e raio AO, passa pelos pontos B, C e D, visto a sua distância a O ser igual àquele raio.

A superfície esférica anterior é única. Com efeito, a recta OO’ e o plano α têm um único ponto em comum, visto não poderem ser paralelos nem coincidentes, o que só poderia suceder se os pontos A, B, C e D fossem complanares.

EXERCÍCIOS CXIX

1) Determinar o diâmetro da secção feita numa superfície esférica de 13 cm de raio por um plano que dista 5 cm do centro.

2) Determinar o raio de uma superfície esférica, sabendo que é de 18, 84 m o comprimento da secção feita por um plano que dista do centro 4 m.

3) Determinar a distância de duas secções feitas por planos paralelos numa superfície esférica cujo diâmetro mede 122 cm, medindo os raios das secções 11 cm e 60 cm. Os planos ficam para o mesmo lado em relação ao centro.

4) Os diâmetros das secções feitas numa superfície esférica por dois planos paralelos medem 12 cm e 16 cm; quanto mede o raio da superfície esférica se a distância dos planos for igual a 14 cm? Os planos estão para lados opostos em relação ao centro.

474) Plano tangente a uma esfera (ou a uma superfície esférica) é o plano que tem um único ponto em comum com esfera (ou com a superfície esférica)
Ao ponto comum dá-se o nome de ponto de tangencia ou de contacto.

475) TEOREMA: É tangente à esfera o plano perpendicular ao raio no ponto que este tem de comum com a superfície esférica (fig. 561)

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Hipótese: Dada a esfera de centro O e raio AO ⊥α no ponto A.
Tese: α é tangente à esfera.

Demonstração

Marque-se um ponto B no plano α e trace-se o segmento OB.
Atendendo a que (389-1º.) AO < OB, conclui-se que o ponto B é exterior à esfera (470-3.ª).
Analogamente se concluía que qualquer ponto do plano α, com excepção do ponto A, era exterior à esfera. Pode, por isso, afirmar-se que o plano α é tangente à esfera (474).

476) TEOREMA RECÍPROCO: O plano tangente a uma esfera é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangência.

(demonstração para o estudante fazer de uma forma análoga à do parágrafo 205)

477) Uma recta diz-se tangente a uma esfera ou a uma superfície esférica quando tem um único ponto em comum com a esfera ou com a superfície esférica. O ponto comum tem o nome de ponto de tangência ou de contacto.

478) Seguindo caminhos análogos aos das demonstrações anteriores, demonstra-se o:
TEOREMA: É tangente à esfera a recta perpendicular ao raio no ponto que este tem de comum com a superfície esférica, e reciprocamente.

479) Zona esférica é a porção de superfície esférica compreendida entre dois planos paralelos que intersectam a superfície (Fig. 562)

A cada uma das partes em que uma superfície esférica é dividida por um plano secante dá-se o nome de calote esférica (Fig. 563).

480) Segmento esférico de duas bases é a porção de esfera compreendida entre dois planos paralelos que intersectam a esfera (Fig. 564).
As secções planas são as bases do segmento.

 

A porção da superfície esférica compreendida entre as bases é, como vimos, uma zona esférica.

 

A altura de um segmento esférico de duas bases ou da zona esférica correspondente é a distância entre as bases.
A altura do segmento esférico de duas bases pode ser obtida pela distância entre os centros das bases (OO’, Fig. 564).

 

481) Os pólos de uma circunferência existente numa superfície esférica são os pontos onde a recta perpendicular ao plano da circunferência, que passa pelo centro, encontra a superfície.

482) Dá-se o nome de segmento esférico de uma base a cada uma das partes em que uma esfera é dividida por um plano secante (fig. 565).
A porção da superfície esférica que limita um segmento esférico de uma base é uma calote esférica.
A altura de um segmento esférico de uma base ou da calote esférica correspondente é a distância entre o centro da base e o pólo da circunferência da
base (OO’, fig. 565)

.

483) Lúnula ou fuso esférico é a porção de superfície esférica compreendida entre as faces de um diedro cuja aresta passa pelo centro da superfície (Fig. 566).

Cunha esférica é a porção de esfera compreendida entre as faces de um diedro cuja aresta passa pelo centro da esfera (Fig. 567).

O rectílineo do diedro diz-se abertura ou ângulo da cunha.

484) Camada esférica é a porção do espaço compreendida entre duas superfícies esféricas com o mesmo centro.
À diferença dos raios das superfícies esféricas que definem uma camada esférica dá-se o nome de espessura ou altura da camada.

EXERCÍCIOS CXX

1) Quanto mede o segmento da tangente tirada de um ponto para uma esfera cujo raio mede 11 cm, sabendo que esse ponto dista 61 cm do centro da esfera?

2) Qual é o comprimento de uma circunferência de círculo máximo de uma esfera, sabendo que o segmento da tangente tirado de um ponto para a esfera mede 4 cm e a distância desse ponto ao centro é de 5 cm?

3) Quais são as superfícies que limitam uma cunha esférica’

4) Quais são as superfícies que limitam um segmento esférico de duas bases?

5) Dois planos paralelos intersectam uma esfera; como se chama cada uma das partes em que ficou dividida a esfera?

6) Como se chama cada uma das quatro partes da superfície esférica compreendidas entre dois plano diametrais?

7) Determinar o diâmetro de uma esfera em que mede 16 m de diâmetro da base de um segmento esférico de uma base existente na esfera. A distância do centro à base do segmentoé igual a 6 m.

8) Determinar o diâmetro da base de uma calote esférica existente numa superfície esférica cujo raio mede 15 cm. A distância do centro da superfície esférica ao centro da base da calote é igual a 9 cm.

9) Determinar a medida do diâmetro de uma superfície esférica em que mede 9 cm o diâmetro da base de uma calote esférica de altura igual a 1,5 cm.

10) Sendo 3 cm a espessura de uma camada esférica e 50, 24 cm o comprimento de uma circunferência de círculo máximo da esfera menor, determinar a medida do diâmetro da esfera maior.

11) Qual é o lugar geométrico das rectas tangentes a uma superfície esférica que passam por um ponto exterior?

12) Qual é o lugar geométrico das rectas tangentes a uma esfera que são paralelas a uma recta dada?

13) Qual é o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância igual ou inferior a 3 cm de um ponto dado?

14) Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes 4 cm de uma superfície esférica de raio igual a 3 cm?

15) Qual é o lugar geométrico das rectas perpendiculares a um plano e tangentes a uma esfera?

16) Qual é o lugar geométrico dos centros das esferas tangentes simultaneamente a dois planos paralelos?

17) Qual o lugar geométrico dos centros das esferas tangentes simultaneamente às faces de um diedro?

18) Qual o lugar geométrico dos centros das esferas tangentes a um plano e cujos raios medem 3 cm?

19) Qual o lugar geométrico dos centros das esferas tangentes a uma recta e cujos raios medem 2 cm?

20) Determinar o lugar geométrico dos pontos equidistantes 20 m de um ponto A e 15 m de um ponto B. A distância de A a B é igual a 25 m.

21) Dois planos α e β são paralelos e distam 10 cm. Determinar o lugar geométrico dos pontos que distam 13 cm de um ponto existente em α e que

são equidistantes de α e β.

22) Qual o lugar geométrico dos pontos equidistantes 8 cm de uma recta e equidistantes 10 cm de um ponto existente sobre essa recta?

23) Justificar que para construir uma esfera tangente a um plano α e que tenha por centro um ponto P, exterior ao plano, basta tirar por P uma recta r perpendicular a α. O raio da esfera será PM, sendo M o ponto de intersecção de r com α.

24) Justificar que para construir uma esfera tangente num ponto P de um plano α e também tangente a um plano β, secante em relação a α basta tirar pelo ponto P uma recta perpendicular a α e determinar a sua intersecção com o bissector de um dos diedros formados
pelos planos α e β.