Capítulo XIV
Ana Gonçalves [não registado], 2006-07-31 18:36 [#820]
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CAPÍTULO XIV

ÁREAS DE ALGUNS POLÍGONOS

310) Toda a linha poligonal plana fechada, que não se intersecta, limita um domínio plano chamado superfície plana. Assim a linha poligonal ABCDE ( Fig. 400) limita um domínio plano que se chama superfície deste domínio, ou seja, superfície do polígono correspondente.

Fig. 400

Denomina-se área a medida de uma superfície.

Usa-se, vulgarmente, a palavra superfície para designar a sua área, mas o sentido que se deve dar inclui não só o da sua área como também o da sua forma.

O termo área é aplicado, exclusivamente, à medida da superfície. Assim diz-se: uma superfície quadrada, o que dá a ideia da forma; a superfície de um quadrado ou a área de um quadrado, o que dá a ideia da medida.

311) A unidade que se usa para medir áreas é a área do quadrado em que o comprimento do lado é igual à unidade.

Por exemplo: pode tomar-se para unidade de área a área de um quadrado com um metro de lado ( metro quadrado ) ou um centímetro de lado ( centímetro quadrado). Pode, porém, tomar-se para unidade de lado do quadrado qualquer medida sem ser nenhuma das anteriores.

312) Se unirmos duas ou mais figuras planas de forma que não se sobreponha nenhuma parte duma delas às outras, a superfície da figura obtida diz-se igual à soma das superfícies de todas elas.

Fig, 401

Fig. 402

Fig.403

Assim, a Fig. 401 é composta das superfícies A, B e C, que estão unidas nas Figs. 402 e 403. Por este motivo, tanto a superfície da Fig. 402 como a da Fig. 403 são iguais à soma das superfícies de A, B e C da Fig. 401, isto é, têm ambas superfícies iguais.

Como vimos ( 35), duas figuras dizem-se iguais quando coincidem ou deslocando uma delas se pode fazer coincidir com a outra. Por consequência, duas superfícies planas iguais têm a mesma forma ( ¹ ) e a mesma área.

Duas superfícies planas dizem-se equivalentes quando têm a mesma área independentemente da forma.

Como exemplo de figuras equivalentes temos as das Figs. 402 e 403.

313) TEOREMA: As áreas de dois rectângulos com bases iguais estão entre si como as alturas ( Fig. 404).

( ¹ ) Além de figuras iguais também os polígonos semelhantes se consideram como tendo a mesma forma, mas estes não têm, em geral, a mesma área.

Fig. 404

Hipótese: dados os rectângulos MNPG e EFGH com as bases iguais, áreas A e A’ e alturas h e h’.

Tese: =

Demonstração

Seja MR um segmento que cabe m vezes em MQ e n vezes em EH. ( Na Fig. 404, m= 4 e n= 3). Pelos pontos de divisão tirem-se paralelas às bases dos rectângulos.

Os rectângulos MNPQ e EFGH ficam divididos, respectivamente, em m e n rectângulos iguais ( 158 ), cuja área suporemos igual a a. Será, portanto,

A = m.a, A’ = n . a, h = m.MR e h’ = n . MR

donde e

Cor.- As áreas de dois rectângulos com alturas iguais estão entre si como as bases.

Observação:

Pode suceder que não exista um segmento que caiba um número exacto de vezes em MQ e EH. Demonstra-se, porém, que ainda neste caso o teorema é verdadeiro.

314) Teorema: As áreas de dois rectângulos estão entre si como o produto das suas bases pelas alturas ( Fig. 405)

Fig.405

Hipotese: Dados os rectângulos de áreas A e A’, bases b e b’ alturas h e h’.

Tese:

Demonstração

Construa-se o rectângulo cuja base é igual à do rectângulo de área A e de altura igual à do outro. Seja A a sua área.

Como (313) e ( 313, Cor.) obtém-se ( 63-5.ª)

Cor. I – A área de um rectângulo é igual ao produto das suas dimensões.

Como e (234 ) e

Teremos

Considerando o rectângulo de área A’ como sendo o quadrado com o lado igual à unidade, ou seja A’ = 1 unid., med. B’ = 1 unid. E med. H’ = 1 unid., teremos

donde (206) ou (238)

Cor. II- A área de um quadrado é igual ao quadrado da medida do lado.

Por ser no quadrado , e representando por a medida comum da base e da altura, teremos

(¹) Também se pode enunciar este corolário da seguinte maneira: A área dum rectângulo é igual ao produto da base pela altura, ou a área dum rectângulo é igual ao produto da medida da base pela medida da altura.

EXERCÍCIOS LXXXIII

1) Determinar a área de um rectângulo cuja base mede 10 m e o perímetro 30 m.

2) Determinar a área de um rectângulo cuja base mede 60 cm e a diagonal 61 cm.

3) O perímetro de um rectângulo é 80 cm e a altura é da base. Determinar a área do rectângulo.

4) A área de um rectângulo é 240 dm² e a altura 10 dm. Determine a medida da diagonal do rectângulo.

5) Um rectângulo, cuja altura mede 6 dm, está inscrito numa circunferência de comprimento igual a 31,4 dm. Determinar a área do rectângulo.

6) A diagonal de um quadrado mede 8 cm. Determinar a área do quadrado.

7) Determinar a área do quadrado inscrito numa circunferência cujo comprimento é 12,56 m.

8) O perímetro do hexágono regular inscrito numa circunferência é 30 cm. Determinar a área do quadrado inscrito na mesma circunferência.

9) Se o lado de um quadrado aumenta 3 cm, a sua área aumenta 39 cm². Qual é a medida do lado do quadrado?

10) Determinar a razão entre as áreas dos quadrados inscrito e circunscrito à mesma circunferência.

11) Determinar a razão entre a área do quadrado e a área do rectângulo inscritos na mesma circunferência, sendo um dos lados do rectângulo um dos lados do hexágono regular inscritível na circunferência.

12) Uniram-se por segmentos de recta os pontos médios dos lados consecutivos de um quadrado. Demonstrar que a área do quadrado obtido é metade da do dado.

13) Quantos paralelepípedos são necessários para calcetar um passeio rectangular de 12 m de comprimento por 1,8 m de largura, sabendo que cada paralelepípedo tem 1,8 dm de comprimento por 8 cm de largura?

14) Um fato para um menino requer fazenda com o comprimento de 1,4 m por 12 dm de largura. Se a fazenda tiver 8 dm de largura, que comprimento de fazenda é preciso comprar?

15) Quantas tábuas de madeira com 2,1 m de comprimento por 1,2 dm de largura, são necessárias para soalhar o chão rectangular de uma casa com 6 m de comprimento por 4,2 m de largura?

16) Um quarto tem 4,8 m de comprimento, 4 m de largura e 3,2 m de altura. Que comprimento de papel, de 5 dm de largura, para forrar paredes, é necessário para forrar o quarto, sabendo que este tem duas janelas de 1,5 m de largura por 2 m de altura e uma porta com 1,8 m de largura por 3,1 m de altura?

17) Um canteiro rectangular, de 8 m de comprimento por 6 m de largura, é rodeado por um passeio de 4 m de largura. Quantos paralelepípedos são necessários para calcetar o passeio, sabendo que o seu comprimento é 1,6 dm e a largura 1 dm?

315) TEOREMA: Um paralelogramo é equivalente a um rectângulo com a mesma base ( Fig. 406)

Hipótese: Dado o paralelogramo BCDE de base b e altura h.

Tese: BCDE é equivalente a um rectângulo de base b e altura h.

Fig. 406

Demonstração

Construa-se CG paralelo à altura DF do paralelogramo e prolongue-se o lado EB.

Por ser (151) BFEG, também (122, Cor.) CG EG.

Como (159) ED = BC e (159, Cor. I) DF = CG, teremos (103) EFD = BGC.

Conclui-se, então, que o paralelogramo BCDE é equivalente ao rectângulo CDFG (312).

Cor. – A área de um paralelogramo é igual ao produto da base pela altura.

Com efeito, a base do paralelogramo é igual à do rectângulo ( EB = FG por ser EF = BG) e a altura também é igual.

Teremos, então, A = b.h

EXERCÍCIOS LXXXIV

1) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 13 cm e 20 cm e a projecção daquele lado sobre este mede 5 cm. Determinar a área do paralelogramo

2) Um paralelogramo, cuja base mede 18 cm e a altura 8 cm, é equivalente a um quadrado, Determinar o perímetro do quadrado.

3) Dois lados de um paralelogramo medem 8 cm e 12 cm e o ângulo por eles formado mede 30º. Determinar a área do paralelogramo.

4) A área de um paralelogramo é 480 dm² e a base mede 20 dm. Determinar o perímetro do paralelogramo, sabendo que a projecção do lado oblíquo sobre a base mede 7 dm.

5) Os lados de um paralelogramo medem 5 cm e 6 cm e o ângulo por eles formado mede 45º . Determinar a área do paralelogramo.

6) A diagonal de um rectângulo mede 17 dm e a altura 8 dm. Um paralelogramo, cuja base mede 24 dm, é equivalente àquele rectângulo. Determinar o perímetro do paralelogramo, sabendo que um dos ângulos mede 30º.

7) Os lados de um paralelogramo medem 14 cm e 13 cm e uma diagonal 15 cm. Determinar a área do paralelogramo.

8) Demonstrar que são equivalentes os paralelogramos que se obtêm tirando por um ponto de uma diagonal de um paralelogramo paralelas aos lados, ficando cada um daqueles paralelogramos para lados opostos em relação à diagonal.

316) Teorema: A área de um triângulo é igual a metade do produto da base pela altura ( Fig. 407).

Fig. 407

Hipótese: Dado o BCD de base b, altura h e área A.

Tese: A =

Demonstração

Pelos vértices B e C do BCD tirem-se paralelas, respectivamente, aos lados DC e DB, que se intersectam no ponto E.

Como (151) BECD é um paralelogramo, teremos (315, Cor.)

Área BECD = b.h

Por ser (159, Cor,III) BCD = BECD

Conclui-se que A =

Cor.- A área de um triângulo rectângulo é igual a metade do produto dos catetos.

EXERCÍCIOS LXXXV

1) Determinar a área de um triângulo isósceles cuja base mede 16 dm e um dos braços 10 dm.

2) Determinar a área de um triângulo rectângulo em que um dos catetos mede 21 cm e a hipotenusa 29 cm.

3) Determinar a área de um triângulo equilátero cujo lado mede 6m.

4) Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 12 cm e o ângulo por eles formado 30º. Determinar a área do triângulo.

5) Determinar a área de um triângulo rectângulo em que um dos catetos mede 9 m e a sua projecção sobre a hipotenusa 5,4 m.

6) A base de um triângulo isósceles mede 8 dm e o ângulo oposto 120º. Determinar a área do triângulo.

7) Determinar a área de um triângulo cujos lados medem 18 m, 20m e 34 m.

8)Determinar a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência cujo comprimento é 31,4 dm.

9) O ABC, rectângulo em B, está inscrito numa circunferência. Sabendo que o arco AB mede 120º e o comprimento deste arco é 6,28 m, determinar a área daquele triângulo.

10) As diagonais AC e BD do quadrilátero ACD são perpendiculares. Demonstrar que a área de ABCD = .

317) TEOREMA: A razão das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança ( Fig. 408).

Fig. 408

Hipótese: ABCMNP, sendo K a razão de semelhança.

Tese:

Demonstração

Sejam BD e NR as alturas correspondentes aos lados homólogos AC e MP.

Como (316) Área ABC =

e Área MNP =

teremos

Por ser (246) e (254)

Obtém-se

EXERCÍCIOS LXXXVI

1) As áreas de dois triângulos semelhantes são 18 m² e 50 m². Qual é a razão de semelhança dos dois triângulos?

2) Determinar a área de um triângulo semelhante a outro cuja área é de 24 m². O primeiro triângulo é menor do que o segundo e dois dos lados homólogos medem 8 m e 5 m.

3) Os perímetros de dois triângulos semelhantes são 20 m e 25 m. Determinar a área do triângulo menor, sabendo que a área do outro é 16 m².

4) Num triângulo a altura mede 6 m; noutro triângulo semelhante àquele, a altura, correspondente à primeira, mede 9 m. Determinar as razões entre os perímetros e as áreas daqueles triângulos, sendo as razões menores do que 1.

5) Dois triângulos rectângulos são semelhantes, sendo a razão de das áreas igual a . Sabendo que os catetos do triângulo menor medem 6 cm e 8 cm, determinar a medida da hipotenusa do outro.

6) A área de um triângulo equilátero é 20 cm². Determinar a área de outro triângulo equilátero cujo lado é triplo daquele.

318) TEOREMA: A área de um losango é igual a metade do produto das diagonais (¹) ( Fig. 409).

Fig. 409

Hipótese: Dado o losango BCDE de área A e de diagonais d e d’.

Tese: A =

Demonstração

Como (159, Cor,III) EBC = EDC, e (163) BDEC,

Teremos (316)

A =

Donde A =

Ou A = visto ser BO + OD = d’

EXERCÍCIOS LXXXVII

1) Determinar a área de um losango cujos lados medem 8,5 dm e uma das diagonais 15 dm.

2) Determinar o perímetro do losango de 120 cm² de área, medindo uma das diagonais 24 cm.

3) Uma das diagonais de um losango é da outra e o seu perímetro é de 40 m. Determinar a área do losango.

(¹) Como o losango é um paralelogramo, a sua área também pode ser obtida como a do paralelogramo.

319) TEOREMA: Um trapézio é equivalente a um triângulo com a mesma altura e cuja base é igual à soma das bases do trapézio (

Fig. 410

Hipótese: Dado o trapézio BCDE de bases EB e CD e altura h.

Tese: BCDE é equivalente a um triângulo de altura h e base igual a EB + CD.

Demonstração

Seja G o ponto médio do lado BC do trapézio. Trace-se DG, que encontra o prolongamento da base EB no ponto F.

Como (66) o ângulo CGD é igual ao ângulo BGF e (122) o ângulo GCD é igual ao ângulo GBF, conclui-se que (78) CDG = BGF

Donde (75-2ª) CD = BF

O trapézio BCDE é, portanto, equivalente ao EDF (312) de altura h e base igual a EB + BF ou EB + CD.

Cor. I- A área de um trapézio é igual ao produto das semi-soma das bases pela altura.

Sejam b e b’ as medidas das bases do trapézio BCDE, h a altura e A a sua área.

Por ser BF = CD, a área do EDF é , que é também a do trapézio BCDE, ou seja A = .

Cor. II- A área de um trapézio é igual ao produto da mediana pela altura.

Representando por a mediana do trapézio BCDE e como (171) , teremos A = .

EXERCÍCIOS LXXXVIII

1) Determinar a área de um trapézio cujas bases medem 10 m e 80 dm e a altura é da base menor.

2) Determinar a área de um trapézio rectângulo cujas bases medem 32 m e 17 m e o lado oblíquo é igual à base menor.

3) Determinar a área de um trapézio isósceles cujas bases medem 100 dm e 36 dm e o lado oblíquo às bases 40 dm.

4) Um trapézio está inscrito numa circunferência, sendo a base maior um diâmetro e distando a outra base 6 dm do centro. Determinar a área do trapézio, sabendo que o comprimento da circunferência é 62,8 dm.

5) A área de um trapézio rectângulo é 36 cm² e as bases medem 10 cm e 14 cm. Determinar o perímetro do trapézio.

6) Sejam O e O’ os centros de duas circunferências, tangentes exteriormente e TT’ o segmento da tangente comum. Determinar a área do trapézio OTTO’, sabendo que os raios das circunferências medem 9 cm e 4 cm.

7) Determinar a área de um trapézio inscrito numa circunferência de comprimento igual a 314 cm, sabendo que as bases são os lados do triângulo equilátero e do hexágono regular inscritíveis na circunferência. ( As bases do trapézio estão para o mesmo lado em relação ao centro).

8) Sejam AB e CD, respectivamente as bases maior e menor do trapézio isósceles ABCD de altura CC’. Demonstrar que a área deste trapézio é dupla da do ACC’, do rectângulo em C’.

320) TEOREMA: A área de um polígono regular é igual a metade do produto do perímetro pela medida do apótema (Fig. 411)

Fig. 411

Hipótese: Dado o polígono regular BCDE de perímetro p, apótema de medida

E área A.

Tese: A =

Demonstração

Seja O o centro do polígono (293).

Tracem-se os raios OB, OC, OD, ... do polígono.

Atendendo a que todos os triângulos obtidos têm a altura igual ao apótema OM ( 294-1ª e 2ª), teremos:

Área GOB = , Área BOC = ,

Área COD = , ...

Donde Área GOB + Área BOC + Área COD + ... =

e, portanto A =

EXERCÍCIOS LXXXIX

1) Determinar a área de um octógono regular cujo lado mede 174,8 m e o apótema 212,7 m.

2) Determinar a área de um hexágono regular cujo perímetro é 720 m.

3) O hexágono regular ABCDEF está inscrito numa circunferência de centro o. Sabendo que AB mede 6,28 m, determinar a área do hexágono.

4) O comprimento de uma circunferência é 43,96 cm. Determinar:

a) a medida do apótema de um triângulo equilátero inscrito naquela circunferência;

b) a área do triângulo.

5) Determinar a razão entre as áreas do quadrado e do hexágono regular inscritos na mesma circunferência. ( Exprimir ambas as áreas no raio da circunferência circunscrita).

6) Determinar que valor deve ter o raio de uma circunferência de forma que a área e o perímetro do triângulo equilátero inscrito sejam expressos pelo mesmo número.

321) Para se avaliar a área de um polígono irregular faz-se a sua decomposição noutros polígonos cujas áreas já foram estudadas. Determina-se a área de cada um destes polígonos e efectua-se a sua soma, obtendo-se assim a área do polígono irregular.

Na Fig. 412 o polígono está decomposto em triângulos rectângulos e trapézios rectângulos, que se obtiveram traçando a diagonal AE e BG AE, CH AE, DIAE e FK AE.

Fig. 412

EXERCÍCIO XC

A Fig. 413 representa um campo quadrangular ABCD em que AE MN, BFMN e CG MN.

Determinar, em hectares a área do campo, sabendo que AE = 8 dam, BF = 12 dam, CG = 3 dam, ED = 6 dam, DF = 6 dam e FG = 4 dam.

Fig. 413

322) Teorema: A razão das áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança ( Fig. 414).

Fig. 414

Hipótese: ABCDE ~ MNPQR, sendo K a razão de semelhança.

Tese: K²

Demonstração

Decomponham-se os polígonos em triângulos semelhantes (287).

Seja

ABC ~ MNP, ACD ~ MPQ, ADE ~MQR de áreas, respectivamente, iguais a A’, A, A’’, A, A’’’ e A.

Teremos ( 317)

, e

como ( 245 ) e (284)

será donde (237-4.º)

Cor. I – A razão das áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de duas diagonais homólogas.

Cor. II – A razão das áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão dos seus perímetros.

EXERCÍCIOS XCI

1) A área de um hexágono regular é 18 m² e a de outro hexágono regular é 8 m². Qual é a razão do raio do primeiro para o do segundo polígono?

2) A área de um pentágono é 12 m² e a de outro semelhante 48 m². Qual é a razão de semelhança do primeiro para o segundo?

3) Os perímetros de dois polígonos semelhantes são, respectivamente, 20 cm e 4 dm. Qual é a razão da área do primeiro para a do segundo polígono?

4) Duas diagonais homólogas de dois polígonos semelhantes medem 8 cm e 12 mm. Qual é a razão da área do segundo para a do primeiro polígono?

5) A diagonal de um rectângulo mede 5 cm e uma das dimensões é 3 cm. A área de outro rectângulo semelhante é 108 cm² ; determinar a medida da diagonal deste rectângulo.

6) As bases de um trapézio medem 12 cm e 8 cm e a altura 6 cm. Determinar as medidas das bases e da altura de outro trapézio semelhante, sabendo que a sua área é 135 cm².

7) Construíram-se polígonos semelhantes sobre um dos catetos e a hipotenusa de um triângulo rectângulo isósceles. Demonstrar que a área de um daqueles polígonos é o dobro da do outro, sendo, nos polígonos semelhantes, aquele cateto homólogo da hipotenusa.

ÁREA DO CÌRCULO

323) Considerando um polígono regular inscrito num círculo ( Fig. 415) e duplicando indefinidamente o número de lados, as áreas dos polígonos assim obtidos vão aumentando, aproximando-se cada vez mais da área do círculo. Podemos, portanto, definir:

A área do círculo é o limite para que tendem as áreas dos polígonos regulares inscritos, quando o número de lados duplica indefinidamente.

324) Também é fácil concluir que:

Quando se duplica indefinidamente o número de lados de um polígono regular inscrito numa circunferência, os apótemas dos polígonos regulares obtidos formam uma sucessão cujo limite é o raio do círculo.

325) Teorema: A área do círculo é igual ao produto de pelo quadrado do raio ( Fig. 415).

Hipótese: Dado o círculo de centro O, raio R e área A.

Tese: A = R²

Demonstração

Sejam e respectivamente, a área, o perímetro e o apótema de um polígono regular de n lados inscrito na circunferência ( O) e C o comprimento desta circunferência. Dupliquemos indefinidamente o número de lados daquele polígono inscrito.

Como (320)

e (323, 306 e 324) e R

teremos, aplicando limites àquela igualdade,

Atendendo a que (307, Cor.III) C = 2R

Virá ou

Cor.I – A área de um círculo é igual a do produto de pelo quadrado do diâmetro.

Com efeito, como R = , teremos A =

Cor. II- A razão das áreas de dois círculos é igual à razão doa quadrados dos seus raios ou dos seus diâmetros.

Se for A a área do círculo de raio R e diâmetro D e A’ a área de outro círculo de raio r e diâmetro d, teremos

, donde e

326) Sector circular è a porção de círculo compreendida entre dois raios. Na Fig. 416 está representado o sector circular AOB.

Fig. 416

À medida do ângulo ao centro do sector dá-se o nome de abertura do sector.

327) Determinemos a área A de um sector circular de n rectos de abertura. È fácil demonstrar que:

A área de um sector circular é proporcional à sua abertura.

Portanto, como a amplitude de uma circunferência é 4 rectos, teremos

R² corresponde a 4 rectos

A corresponde a n rectos

Donde

A = R² ( n amplitude em ângulos rectos).

Será também

( n amplitude em graus)

( n amplitude em grados)

ou ( n amplitude em radianos).

EXERCÍCIOS XCII

1) Determinar a área do círculo em que a distância do centro a uma corda que mede 16 cm é de 6 cm.

2) Determinar a área de um rectângulo inscrito no círculo de 0,785 m² de área, tendo a base do rectângulo o dobro da altura.

3) Determinar a área da porção de plano compreendida entre duas circunferências concêntricas, em que o comprimento da circunferência maior é 6,28 m e o comprimento da corda desta circunferência tangente à menor é 1,6 m.

4) Determinar a área do segmento de círculo em que a corda é o lado do quadrado inscrito de 6,25 m² de área.

5) Tomando para diâmetros os catetos de um triângulo rectângulo, construíram-se, para o exterior, semi-circunferências de raios iguais a 30 m e 40 m. Determinar a área total da figura formada.

6) Tomando para diâmetros todos os lados de um trapézio rectângulo, construíram-se, para o exterior, semi-circunferências. Determinar a área total da figura, sabendo que as bases do trapézio medem 10 dam e 6 dam e a altura 30m.

7) Determinar a área de um círculo circunscrito a um triângulo equilátero de 4,28 m² de área.

8) Determinar a área da porção de plano compreendida entre duas circunferências concêntricas, sabendo que o perímetro do quadrado inscrito na circunferência maior e circunscrito à menor é igual a 26,4 m.

9)Se aumentarmos de 3 cm o raio de um círculo, a área aumenta 65,94 cm². Determinar o raio.

10) Determinar a área de um sector circular, a que corresponde um ângulo ao centro de 120º, sabendo que a área do quadrado inscrito na circunferência é 225 m².

11) Determinar a área de um trapézio inscrito numa circunferência em que a área de um sector circular, a que corresponde um ângulo ao centro de 1 rad., é 2 m². A base maior é um diâmetro e a outra daquela.

12) Determinar o raio do círculo em que a área de um sector circular de abertura igual a 60º aumenta 23,55 m² quando o raio aumenta 3 m.

13) Determinar a razão entre a área de um círculo e a área do quadrado circunscrito.

14) Determinar a razão entre a área de um círculo e a do triângulo equilátero inscrito.

15) Determinar o valor que deve ter o raio de um círculo de forma que a sua área seja expressa pelo triplo do número que exprime o comprimento da circunferência

16) Determinar o valor que deve ter o raio de um círculo de forma que a sua área seja expressa pelo mesmo número que o perímetro do quadrado inscrito.

17) Determinar o valor que deve ter o raio de um sector circular de forma que a sua área seja expressa pelo mesmo número que o comprimento do arco correspondente.

18) Determinar a razão entre as áreas de dois círculos, sabendo que o lado do hexágono regular inscrito num é igual ao lado do quadrado circunscrito ao outro.

19) Determinar a razão entre as áreas de dois círculos, sabendo que o perímetro do quadrado inscrito num é igual ao perímetro do hexágono regular inscrito no outro.

20) Na Fig. 417, ABCD é um rectângulo, CDEF um trapézio e os arcos CHI e JKL são iguais, com centros respectivamente em A e B. Determine a área total da figura, sendo as medidas dadas em decâmetros.

21) Na Fig. 418, ABCD é um trapézio isósceles o EFG é isósceles, AHF e DEI sectores circulares iguais, os arcos BJK, KLM e MNC semi-circunferências iguais. Determinar a área da figura limitada pela linha a cheio, sendo as medidas dadas em metros.

22) Seja O o centro de um círculo. Tracem-se dois diâmetros perpendiculares AB e CD e o ponto D, como centro, com AD por raio, trace-se o arco AEB. Demonstrar que a área da figura AEBCA é igual à do DAB.

23) Uma senhora faz napperons circulares, com 30 cm de diâmetro, a 24$ cada um. Um freguês quer saber que preço levará por fazer um napperon com 48 cm de diâmetro ( supõe-se que o preço de cada napperon é proporcional à área).

24) Uma senhora fez um napperon de forma circular para uma mesa, sendo a parte

central um círculo de pano de linho com 20 cm de diâmetro e a outra parte, feita de renda, com 10 cm de largura. Para fazer a renda gastou-se 27 m de linha.

Se em vez de ter feito a parte da renda com 10 cm de largura a fizesse com 20 cm, quantos metros de linha seriam precisos?

25)Um tanque circular de 18 m de diâmetro é cercado por um passeio com 3,6 m de largura. Determinar o preço do calcetamento do passeio, sabendo que cada metro quadrado custa 20$.

26) Se um aqueduto de 30 cm de diâmetro fornece de água uma cidade de 9000 habitantes, que população fornecerá um aqueduto com 40 cm de diâmetro? ( A água que corre através de um cano é proporcional à área de uma secção transversal).

27) Dois ramos de uma canalização de esgoto têm 9 cm e 12 cm de diâmetro. Qual deve ser o diâmetro do cano dentro do qual aqueles canos vazem de forma que o esgoto possa ser feito?

28) O passeio de uma rua, com 1,4 m de largura, dá uma volta a uma esquina ( Fig.419). Determinar a área da porção da curva do passeio, sabendo que o raio AO = 2 m e o ângulo o tem 45º de amplitude.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

1) AB é uma corda da circunferência (O) e P é um ponto equidistante dos pontos A e B. Demonstrar que OP divide ao meio o arco AB.

2) Se (Fig. 420) na circunferência (O) AB = DE e BC = CD, demonstrar que CA = DE

Fig. 420

3) Se (Fig. 420) na circunferência (O) AB > DE e BC = CD, demonstrar que AC > CE.

4) Se (Fig.420) na circunferência (O) AC = CE e BC< CD, demonstrar que AB > DE.

5) Se (Fig.420) na circunferência (O) AC e CE estão equidistantes do centro O e AB = DE, demonstrar que BC = CD.

6) Demonstrar que são iguais as cordas paralelas tiradas pelos extremos de um diâmetro de uma circunferência.

7) Se (Fig.421) a circunferência (O) é igual à circunferência (O’) e ∢A = ∢C, demonstrar que arco = arco.

8) Se (Fig.421) a circunferência (O) é igual à circunferência (O’) e ∢A > ∢ C, demonstrar que arco< arco.

Fig. 421

Fig.422

9) Se (Fig. 422) na circunferência a de centro O ∢AEO = ∢ CEO, demonstrar que AB = CD ( OF AB e OG CD).

10) Demonstrar o recíproco do exercício anterior.

11) Por um ponto exterior a uma circunferência tiraram-se tangentes. Se o ângulo das tangentes entre as quais está compreendida a circunferência medir 60º, demonstrar que a corda definida pelos pontos de contacto forma com as tangentes ângulos de 60º.

Fig.423

12) Se (Fig. 423) AB = BC e BD passar pelo centro da circunferência de centro O, demonstrar que o arco AD é igual ao arco DC.

13) Demonstrar o recíproco do exercício anterior.

14) Sejam AB e AC duas cordas iguais de uma circunferência com extremo A comum. Seja AD a bissectriz do ∢ BAC que intersecta a circunferência no ponto D. Considerando a tangente à circunferência no ponto D e prolongando as cordas AB e AC, demonstrar que o triângulo obtido é isósceles.

15) Se o ABC tem todos os vértices sobre uma circunferência ∢A = ∢ B e

∢ C > 60º, demonstrar que AB está mais próximo do centro do que os outros lados.

16) O ABC tem vértices sobre a circunferência de centro O. Sabendo que ∢AOB = 115º e ∢BOC = 135º, determinar a medida do ∢ B.

17)Construir uma recta tangente a uma circunferência perpendicular a uma dada corda.

18) Se (Fig. 424) na circunferência de centro O OQ é paralela a NP, demonstrar que o arco MQ é igual ao arco QP.

Fig. 424

Fig. 425

19) Se ( Fig. 425) AB é paralela a CD , o arco AB = 72º e CD for um diâmetro, quanto mede, no sistema centesimal, o ∢ ABC ?

20) Se (Fig. 425) AB é paralela a CD, ∢BCD=25º e CD for um diâmetro, quanto mede, em radianos, o arco AB?

21) Se (fig. 425) ∢ ABC = 22º, o arco AB = 92º e CD for um diâmetro, AB é paralelo a CD ? justificar a resposta.

22) Traçar na Fig. 425 a corda AD e demonstrar que AD = BC se AB é paralela a CD.

23) AB é uma corda da circunferência de centro O e C é um ponto do arco menor AB. Demonstrar que AOB + 2. ACB = 360º.

24) Se as cordas AB e CD duma circunferência se intersectarem no ponto O, demonstrar que o AOC e o BOD têm ângulos iguais.

25) Se dois triângulos acutângulos têm os vértices sobre a mesma circunferência, e dois lados de um são iguais a dois lados do outro, demonstrar que os triângulos são iguais.

26) Se dois triângulos com os vértices sobre uma circunferência têm dois ângulos iguais, demonstrar que os triângulos são iguais.

27) Se dois triângulos isósceles com os vértices sobre uma circunferência têm os ângulos opostos às bases iguais, demonstrar que os triângulos são iguais.

28) Duas cordas de uma circunferência AB e AC têm o extremo A comum. Demonstrar que AB = AC, se aquelas cordas formarem ângulos iguais com a tangente à circunferência no ponto A.

29) Se (Fig. 426) na circunferência de centro O AB e CD são diâmetros perpendiculares, demonstrar que CE é a bissectriz do ∢ AEB.

Fig.426

30) O ABC, isósceles de base AB, tem os vértices sobre uma circunferência. Demonstrar que a tangente no ponto C é paralela a AB.

31) O ABC tem os vértices sobre uma circunferência o arco AB = 72º e o arco BC = 100º. Determinar a medida do menor ângulo formado pela bissectriz do∢ B com o lado oposto.

32) Demonstrar que, se duas cordas são perpendiculares, a soma dos pares de arcos opostos é igual a uma semi-circunferência.

33) O quadrilátero ABCD tem os vértices sobre uma circunferência.O arco AB =, o arco BC = 1,1 recto, e o arco CD = 60 g (os arcos estão descritos no mesmo sentido). Quanto mede, no sistema sexagesimal, cada um dos ângulos do quadrilátero, o menor ângulo formado pelas diagonais e cada um dos ângulos formados pelos prolongamentos dos lados opostos?

Os exercícios que vão de 34 a 40 são todos sobre a Fig. 427, em que AB é

tangente à circunferência no ponto A. As respostas devem ser dadas no sistema sexagesimal.

34) Se ( Fig. 427) o arco AD = 50º e o arco ACE = 150º, quanto mede o ∢ EAD ?

Fig.427

35) Se ( Fig. 427) CD é um diâmetro, o arco AC = 100º e o arco CE = 30º, quanto mede o∢ AFD?

36) Se ( Fig. 427) for o arco AC = 120º e ∢ ABC = 40º, CD será um diâmetro ou uma corda?

37) Se (Fig.427)∢EAD = 70º, o arco AD = 60º e o arco CE = 30º, quanto mede o∢ADC ?

38) Se (Fig. 427)∢ AFD = 35º, o arco CE = 30º e CD for um diâmetro, quanto mede o ∢ABC ?

39) Se ( Fig. 427) o arco CE = 40º, ∢EAD = 60º e ∢ BAD = 35º, quanto mede o ∢ ADB ?

40) Se ( Fig. 427) ∢ADB = 120º, o arco CE = 30º e CD for um diâmetro, quanto mede o ∢AFC ?

41) Demonstrar que a corda definida num relógio pelas 3 e 8 horas é perpendicular à corda definida pelas 6 e 11 horas.

42) AB e CD são duas cordas perpendiculares de uma circunferência e ∢ABD = 55º. Determinar a medida do ∢BAC.

43) Qual é o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância igual ou menor que 5 cm de um ponto fixo P ?

44) Qual é o lugar geométrico dos vértices dos triângulos com a mesma base e cujas medianas, referentes a esta base, medem 3 cm?

45) Qual é o lugar geométrico dos pontos de intersecção das diagonais doa quadrados cujos lados opostos assentem sobre duas rectas paralelas?

46) Seja PT = 3 cm um segmento de tangente a uma circunferência cujo diâmetro mede 8 cm, sendo T o ponto de tangência. Qual é o lugar geométrico das posições do ponto P quando se deslocar o segmento da tangente PT à volta da circunferência?

47) Os lados de um rectângulo medem 4 cm e 6 cm. Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes interiormente aos lados do rectângulo e cujos diâmetros medem 3 cm?

48) Um ponto A dista 3 cm de uma recta r. tomando para vértice o ponto A, construir um triângulo isósceles cujos braços meçam 4 cm, estando a base sobre a recta r.

49) Dado o paralelogramo ABCD, determinar sobre os lados AB e CD os pontos equidistantes de BC e AD.

50) Construir uma circunferência de 1,5 cm de raio, tangente a uma dada recta e passando por um ponto que dista 2 cm daquela recta.

51) Construir uma circunferência de 2 cm de raio tangente a outra circunferência de 1,5 cm de raio e a uma recta secante em relação a esta última circunferência.

52) Construir o ABC em que é dado AB = 3 cm, ∢ A, que é agudo, e a altura relativa ao lado AB, mede 2 cm.

53) Na Fig. 428 BC é paralela a FG, AD é paralela a FE, AF = 12 cm, AB = 18 cm, AD = 9 cm e FG = 4 cm. Determinar: a) EF; b) BC.

Fig. 428

54) Dividir 5, graficamente, em partes directamente proporcionais a 2, 3 e 6.

55) Determinar graficamente o quarto proporcional aos segmentos AB, CD e EF (Fig.429)

Fig. 429

Fig. 430

56) Se ( Fig. 430) AD é paralela a ED que é paralela a EF que é paralela a BC, determinar os valores de x, y e z.

57) Demonstrar que a paralela tirada às bases de um trapézio pelo ponto de intersecção das diagonais é dividida ao meio por aquele ponto.

58) Se ( Fig. 431) AC é paralela a A’C’, AB = 8 cm, BC = 4 cm, A’B’= e

A’C’ = 18 cm, as rectas AA’, BB’ e CC’ são concorrentes? Justificar a resposta.

Fig. 431

59) A razão de semelhança de dois triângulos é . Os lados do triângulo menor medem 6 m, 9m,e 12 m; determinar as medidas dos lados do outro triângulo.

60) O perímetro de um triângulo é 9 cm; os lados de um triângulo semelhante medem 4 cm, 8 cm e 6 cm; determinar as medidas dos lados do primeiro triângulo.

61) Determinar o perímetro do triângulo MNP que é semelhante ao triângulo XYZ cujos lados medem 5 m, 7 m, e 6 m e a razão de semelhança é 6/5 ( o triângulo MNP é menor do que o triângulo XYZ).

62) É possível que o triângulo ABC seja semelhante ao triângulo DEF se : a) ∢A = 77º e ∢ D = 103º?

b) ∢ A =/4 ∢B = 80 g, ∢D = 63º e ∢F = 50 g ? Justificar as respostas.

63) O triãngulo ABC é isósceles de base AB, sendo∢C = 70º, e o triãngulo MNP, também é isósceles de base NP, medindo o ângulo externo de N 125º. Aqueles triângulos são semelhantes? Justificar a resposta.

64) Na circunferência de centro O ( fig.432) AB é um diâmetro e DE é perpendicular a AB. Demonstrar que: a) o triãngulo DAE é semelhante ao triãngulo ABC; b) AB.AD = AE.AC.

Fig. 432

Fig. 433

65) a) Se ( Fig. 433) ∢ A = 1 recto e DE é perpendicular a BD, demonstrar que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo CDE; b) Se AC = 15 cm, BC = 20 cm e CD = 6 cm, quanto mede CE?

66) Se ( Fig. 433) ∢A = 85º, ∢ ACB = 40º e ∢ E = 55º, o triângulo ABC e o triângulo CDE são semelhantes?

67) Se um quadrilátero ABCD tem os vértices sobre uma circunferência e as diagonais se encontram num ponto O, demonstrar que são semelhantes o triângulo AOB e o triângulo COD, assim como o triângulo BOC e o triângulo AOD.

68) Sejam o triângulo ABC e o triângulo A’B’C’ dois triângulos equiláteros, de perímetros respectivamente iguais a 36 m e 48 m. Qual é a relação entre as áreas dos dois triângulos?

69) Construir um triângulo semelhante a outro, sendo dada a mediana correspondente a uma das medianas do triângulo dado.

Na Fig. 434, ABCD é um rectângulo

Fig. 434

70) Se ( Fig.434) AMBD, demonstrar que o MAD~ABD.

71) Se (Fig.434) AM é paralela a PC e AMBD, demonstrar que o MAD ~PBC e concluir que .

72) Se (Fig.434) PCBD, demonstrar que NB é meio proporcional entre NC e NP.

73) Se (Fig. 434) AMBD, PC é paralela a AM, AM = 6 cm e BN = 4 cm, determinar as razões entre os perímetros e as áreas do BAD e do PBC, depois de justificar que estes triângulos são semelhantes.

74) Se (Fig.434) AB = 12 cm, BP = 4 cm, BM = 9 cm e MN = 6 cm, justificar que o PNB ~ABM. Concluir que AM é paralela a PC.

75) Se (Fig.434) AD = a , DA = a. e PCBD, demonstrar que P é o ponto médio de AB.

76) Na Fig. 435, BD e CE são medianas do ABC. Demonstrar que DEF ~BFC.

Fig. 435

Fig. 436

AC é tangente à circunferência da Fig. 436 no ponto A

77) Justificar que CAD = ABC ( Fig. 436).

78) Justificar que ABC ~CAD (Fig.436).

79) Se (Fig.436) AC = 4 cm e a razão entre os perímetros do ABC e do CAD for igual a , qual é a medida de BC?

80) Demonstrar que no trapézio rectângulo, cujas diagonais são perpendiculares, a altura é meio proporcional entre as bases.

81) Um quadrado inscrito num triângulo rectângulo tem um lado sobre a hipotenusa; demonstrar que o lado do quadrado é meio proporcional entre os outros dois segmentos que determina na hipotenusa.

82) Se (Fig. 437) DE é paralela a GF, que é tangente à circunferência de centro O no ponto A, demonstrar que: a) ADE ~ABC; b) AB.AD = AC.AE.

Fig. 437

Fig.438

83) Na circunferência de centro O (Fig.438), BDAC, OD = 1,4 cm e OC = 5 cm; quanto mede BD?

84) Com os dados do exercício anterior determinar a medida de AB (Fig.438).

85) A corda AB de uma circunferência de centro O mede 16 cm e a distância do ponto médio do arco AB à corda é 2 cm. Determinar a medida do raio da circunferência.

86) Um cateto de um triângulo rectângulo mede 6 cm e a hipotenusa 6,1 cm; noutro triângulo semelhante o cateto menor mede 11 cm. Determinar o perímetro deste último triângulo.

87) Uma corda de uma circunferência mede 24 dm e o raio 13 dm. Determinar a medida da corda correspondente a metade do arco daquela corda ( aproximar a centímetros).

88) Um triângulo rectângulo cujos catetos medem 6 m e 8 m é semelhante a outro cuja hipotenusa mede 30 m. Determinar as medidas dos catetos deste último triângulo.

89) Uma corda de uma circunferência mede 24 cm e dista do centro 5 cm. Qual é a distância ao centro de outra corda da mesma circunferência que mede 10 cm?

90) Determinar a medida de cada um dos segmentos em que a bissectriz do ângulo recto de um triângulo rectângulo divide o lado oposto, sabendo que a hipotenusa mede 15 dm e um dos catetos 9 dm ( aproximar a milímetros).

91) A bissectriz de um ângulo interno da base de um triângulo isósceles divide o lado oposto em dois segmentos que medem 4,9 m e 2,1 m. Determinar a medida de cada um dos lados do triângulo ( a base é menor do que qualquer dos braços).

92) o ABC é rectângulo em B. Determinar as medidas dos segmentos subtractivos em que a bissectriz do maior ângulo externo divide o lado oposto, sabendo que AB = 12 cm e BC = 5 cm.

93) A bissectriz de um dos ângulos externos de um triângulo isósceles determina no lado oposto segmentos subtractivos que medem 20 dm e 10 dm. Determinar a medida de cada um dos lados do triângulo.

94) Determinar as medidas dos segmentos subtractivos em que a bissectriz do ângulo externo em C do ABC divide o lado oposto, sabendo que aquele triângulo é rectângulo em A, b= 2,8 m e c = 2,1 m.

95) Se (Fig. 439) CE e BF são, respectivamente, as bissectrizes do ACB e do CBD, determinar x e y.

Fig. 439

96) Determinar a projecção do lado b sobre o lado c do ABC, sabendo que a = 17 cm, b= 10 cm e c = 21 cm.

97) Qual é o menor número inteiro, expresso em decímetros, que pode ser tomado para lado de um triângulo obtusângulo, oposto ao ângulo obtuso, sabendo que os outros dois lados medem 8 dm e 13 dm?

98) Determinar a natureza, quanto aos ângulos, do ABC em que AB = 7,5 cm, BC = 5 cm e AC = 10 cm.

99) Determinar a medida do lado AB do ABC, sabendo que AC = 7 dm, BC = 8 dm e a projecção do lado AB sobre BC mede 2,5 dm.

100) No RST, r = 26 cm, s = 28 cm e t = 30 cm. Determinar a altura relativa ao lado s.

101) No ABC determinar a, sabendo que b = 5 cm, c = 6 cm e A = 30º.

102) No XYZ determinar y, sabendo que x = 8 m, z = 10 m e Y = 60º.

103) No ABC determinar c, sabendo que a = 4 cm, b = 7 cm e 120º.

104) No RST determinar s, sabendo que r = 8 cm, t = 4 cm e S = 150º.

105) No XYZ determinar z, sabendo que x = 2 cm, y = 3 cm e Z = 135º.

106) Num ABC, a= 13 cm, b= 15,75 cm e c = 6,25 cm; determinar a medida da altura relativa ao lado b.

107) No ABC, rectângulo em A, em que D é o ponto médio de AB e DEBC, demonstrar que ( Sugestão: traçar a altura referente à hipotenusa).

108) O ABC é equilátero, sendo a medida de qualquer dos seus lados. Prolongando o lado AB de um segmento BD = AB, demonstrar que .

109) demonstrar que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos lados.

110) No ABC isósceles, cuja base é BC, traçou-se a altura BD referente ao lado AC. Demonstrar que a soma dos quadrados dos três lados é igual a .

111) O quadrilátero ABCD está inscrito numa circunferência e as suas diagonais intersectam-se no ponto º Se AO = 4 cm, AC = 13 cm e OB = 12 cm, determinar a medida de BD.

112) Determinar a potência de um ponto em relação a uma circunferência de 3 unidades de raio, sabendo que aquele ponto dista da circunferência 4 unidades.

113) Determinar a distância de um ponto ao centro de uma circunferência de 8 unidades de diâmetro, sabendo que a potência é igual a 33.

114) Determinar os valores x, y e z da Fig. 440, em que PA á a tangente à circunferência no ponto A.

Fig.440

115) O ABC, isósceles de base BC, está inscrito numa circunferência. Sabendo que AB = 10 cm e FC = 12 cm, determinar a medida do diâmetro da circunferência.

116) Duas cordas de uma circunferência AB e CD, intersectam-se no ponto E. Sendo cm, EB = 2 cm, CE = 3 cm e cm, determinar a medida de cada uma das cordas.

117) Na Fig. 441, AB é paralela a CD; determinar x e y.

Fig.441

Fig. 442

Na fig. 442, PT é tangente à circunferência no ponto T.

118) Se ( Fig. 442) , demonstrar que PA. PB = BT².

119) Se ( Fig. 442) PT = PB, demonstrar que AB = 3PA.

120) Qual é o polígono que é dividido em cinco triângulos pelas diagonais tiradas de um vértice?

121) Qual é o polígono em que a soma dos ângulos internos é igual a 2600 grados? Quantas diagonais se podem tirar de um vértice? Quantos triângulos se formam? Qual é o número total de diagonais que se podem tirar de todos os vértices?

122) Qual é a medida, em radianos de um ângulo interno de um heptágono, sabendo que a soma de todos os outros é 810º?

123) Pode existir um polígono em que a soma dos ângulos internos seja igual a 500º? Justificar a resposta.

124) Qual é o polígono regular cujo ângulo interno mede 140º?

125) Os ângulos de um hexágono são representados por . Determinar, em graus, a medida de cada um dos ângulos do hexágono.

126) Qual é o polígono regular em que um ângulo externo mede recto?

127) Há algum polígono regular que tenha um ângulo externo igual a ? Justificar a resposta.

128) No quadrilátero ABCD, AB = 10 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm, DA = 14 cm e a diagonal AC = 12 cm; noutro quadrilátero XYZT, XY = 25 cm, YZ = 20 cm, ZT = 15 cm, TX = 35 cm e a diagonal XZ = 30 cm. Justificar que ABCD ~XYZT e determinar a razão entre as áreas.

129) A razão entre as área de dois quadriláteros semelhantes é igual a . Supondo que os lados do quadrilátero maior medem 8 cm, 9 cm, 12 cm e 15 cm, calcular o perímetro do outro.

130) Num quadrilátero os lados medem 8 cm, 12 cm, 16 cm e 10 cm. Determinar a medida de cada um dos lados de um quadrilátero semelhante ao anterior, mas menor, sendo a razão de semelhança igual a .

131) No pentágono ABCDE, AB = 8 cm, BC = 12 cm, CD = 16 cm, DE = 8 cm, EA = 12 cm e as diagonais BD = 20 cm e BE = 16 cm; noutro pentágono MNPQR, MN = 6 cm, NP = 9 cm, PQ = 12 cm, QR = 6 cm, RM = 9 cm e as diagonais NQ = 15 cm e NR = 12 cm. Justificar que os pentágonos são semelhantes e dizer qual a razão entre as áreas do primeiro e do segundo pentágonos.

Fig. 443

132) Se (Fig.443) ABCD ~EFGH, demonstrar que ABC ~EFG e AOB ~EO’F.

133) No hexágono regular ABCDEF tracem-se as diagonais AE e BF que se intersectam no ponto º determinar a medida do AOF.

134) Um ângulo de um segmento mede 22º30’. Qual é o polígono regular, inscritível na circunferência, que tem por lado a corda?

135) Seja o um ângulo inscrito numa circunferência em que AB e BC são respectivamente, os lados do quadrado e do hexágono regular inscritíveis na circunferência. Quanto mede o , no sistema sexagesimal, sabendo que os seus lados estão para lados opostos em relação ao centro da circunferência?

136) Seja o um ângulo inscrito numa circunferência. Sabendo que = 84º e AB é o lado do pentágono regular inscritível, qual é o polígono regular, inscritível na mesma circunferência, que tem por lado BC?

137) Qual é a medida, nos sistemas sexagesimal e centesimal, do ângulo determinado pelo prolongamento de um diâmetro de uma circunferência e pelo lado do decágono regular inscritível, que tem um dos seus extremos coincidentes com um dos extremos do diâmetro?

138) Um trapézio está inscrito numa circunferência, subtendendo a base maior um arco de 120º e a base menor um arco de 60º. Determinar o perímetro do trapézio, sabendo que a base maior dista 5 cm do centro ( as bases estão para os lados opostos em relação ao centro).

139) Determinar a medida do diâmetro de uma circunferência em que um arco de amplitude igual a 80 grados tem de comprimento 9,42 cm.

140) Qual é a medida do raio de uma circunferência em que mede recto o ângulo inscrito que tem compreendido entre os seus lados um arco de comprimento igual a 9,42 m?

141) Qual é o comprimento de um arco de circunferência cujo raio mede 12 m, sabendo que é 22º30’ a medida do ângulo inscrito que tem aquele arco compreendido entre os seus lados.

142) Um quadrado está inscrito numa circunferência e outro quadrado igual está circunscrito a outra circunferência. Determinar a relação entre os raios das circunferências.

143) A área de um rectângulo inscrito numa circunferência é 60 cm². Determinar o perímetro de um arco de circunferência, de amplitude 80 g, sabendo que a base do rectângulo é da altura.

144) Num paralelogramo a base mede 18 dm e a diagonal maior 30 dm. Sabendo que esta diagonal forma com aquela base um ângulo de 30º, determinar a área do paralelogramo.

145) Os lados de um triângulo medem 34 m, 20 m e 18 m. Determinar a área do triângulo.

146) Determinar que valor deve ter o raio de uma circunferência de forma que a área do quadrado inscrito seja expressa pelo mesmo número que o perímetro do quadrado.

147) A área de um triângulo rectângulo é 180 cm² e um dos seus catetos mede 9 cm. Determinar o seu perímetro.

148) Os lados de um triângulo medem 3 cm, 5 cm e 7 cm. Determinar as medidas dos lados de outro triângulo semelhante cuja área é 9 vezes maior.

149) Determinar a área de um triângulo equilátero cuja altura mede m.

150) O perímetro de um losango é 32 dm e um dos ângulos mede 60º. Determinar a área do losango.

151) As bases de um trapézio medem 4 cm e 6 cm e a sua área 30 cm². Determinar a área do menor dos triângulos que se obtêm prolongando os lados oblíquos do trapézio.

152) Um triângulo isósceles inscrito numa circunferência tem como lado um diâmetro. Sabendo que a sua área é de 1,21 m², determinar a área do hexágono regular inscrito na mesma circunferência.

153) Determinar a área de um sector circular, sabendo que é de 18,6 m² a área de um trapézio inscrito no círculo a que pertence o sector, sendo a base maior um diâmetro e dividindo a outra ao meio o raio que lhe é perpendicular. O ângulo do sector mede 60º.

154) Qual é a área da porção de plano compreendida entre duas circunferências concêntricas, sabendo que é de 28,43 m² a área do triângulo equilátero inscrito na circunferência maior e circunscrito à menor?

155) Determinar a razão entre as áreas do triângulo equilátero inscrito numa circunferência e do quadrado circunscrito à mesma circunferência.

156) Determinar o valor que deve ter o raio de um círculo de forma que a sua área seja expressa pelo mesmo número que o perímetro do hexágono regular inscrito.

157) Determinar a relação entre os raios de duas circunferências concêntricas de forma que a área da porção de plano compreendida entre elas seja o triplo da área do círculo menor.

158) Determinar a razão entre as áreas de dois círculos, sabendo que o perímetro do triângulo equilátero inscrito num é igual ao perímetro do quadrado circunscrito ao outro.

159) Determinar a relação entre os raios de duas circunferências sabendo que a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência é igual à área do hexágono regular inscrito na outra.

160) Determinar a razão entre as áreas de dois círculos, um inscrito e outro circunscrito ao mesmo hexágono regular.

161) a) Considerar um rectângulo inscrito numa circunferência. Determinar a razão entre o perímetro do rectângulo e o comprimento da circunferência, sabendo que um dos lados do rectângulo subtende um arco de 120º.

b) Determinar a razão entre áreas.

162) As bases de um trapézio medem 8 dm e 12 dm. Determinar a razão entre as áreas dos triângulos que se obtêm prolongando os lados oblíquos às bases.

163) Os prolongamentos dos lados não paralelos AD e BC, do trapézio ABCD, encontram-se no ponto O .Demonstrar que OAC e OBD são equivalentes.

164) Demonstrar que o segmento de recta que une os pontos médios de dois lados consecutivos de um paralelogramo determina um triângulo cuja área é da do paralelogramo.

165) a) Considerar o ABC inscrito num círculo em que AB = e o arco AC = Determinar a razão entre o perímetro do triângulo e o comprimento da circunferência ( o ABC não é obtusângulo).

b) Determinar a razão entre as áreas do triângulo e do círculo.