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CAPÍTULO IX

RELAÇÕES MÉTRICAS ENTRE SEGMENTOS RECTILÍNEOS

      233) Feixe de rectas é o conjunto de rectas do plano que passam pelo mesmo ponto, que é o centro ou vértice do feixe.

      Feixe de rectas paralelas ou feixe impróprio é o conjunto de rectas paralelas a uma mesma recta.

      234) A razão de dois segmentos é igual à razão das suas medidas numéricas expressas na mesma unidade (207).

      Assim, a razão entre os segmentos AB e CD será:

AB/CD = (med. AB)/(med. CD)

      235) Quatro segmentos de recta dizem-se directamente proporcionais ou simplesmente proporcionais quando são proporcionais as suas medidas. Os segmentos AB, CD, EF e GH são directamente proporcionais se:

(med. AB)/(med. CD) = (med. EF)/(med. GH) ou (234) AB/CD = EF/GH

      236) Os segmentos AB, CD e EF e são proporcionais, respectivamente, aos números m, n e p, se:

(med. AB)/m = (med. CD)/n = (med. EF)/p

o que se representa por

AB/m = CD/n = EF/p

      237) No estudo que se segue aplicaremos algumas das propriedades das proporções estudadas no primeiro ciclo, a saber:

      1.º - Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

      2.º - Numa proporção qualquer extremo é igual ao produto dos meios dividido pelo outro extremo.

      3.º - Numa proporção qualquer meio é igual ao produto dos extremos dividido pelo outro meio.

      4.º - Numa proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu consequente.

      238) Aplicando a primeira propriedade do parágrafo anterior às proporções apresentadas no parágrafo 235, teremos

med. AB x med.GH = med. CD x med. EF

ou

AB x GH = CD x EF

      Atendendo a estes resultados, convencionou-se que o produto de dois segmentos é o produto das suas medidas numéricas expressas na mesma unidade.

      Também consideremos o quadrado de um segmento como o quadrado da sua medida numérica, isto é,

AB x CD = med. AB x med. CD e AB² = (med. AB) ²

      239) TEOREMA DE THALES: Um feixe de rectas paralelas determina em duas transversais segmentos correspondentes proporcionais (Fig. 305).

      Hipótese: AE || BF || CG || DH; OD e OH são transversais.

      Tese: AB/EF = BC/FG = CD/GH

Demonstração:

      Seja AX um segmento igual à unidade que cabe m vezes em AB, n vezes em BC e p vezes em CD (na Fig. 305, m = 3, n = 5 e p= 4). Pelos pontos de divisão dos segmentos AB, BC e CD tirem-se rectas paralelas a AE.

      EF fica dividido em m segmentos iguais a EY, FG em n e GH em p (169).

      Será, portanto,

AB = m.AX,    BC = n.AX,     CD = p.AX

e

EF = m.EY,    FG = n.EY,     GH = p.EY

      Dividindo membro a membro as igualdades anteriores, teremos

AB/EF = AX/EY,  BC/FG = AX/EY,   CD/GH = AX/EY

donde (63-1ª)

AB/EF = BC/FG = CD/GH

      Observações:

      I - Pode suceder que não exista um segmento que caiba um número exacto de vezes nos segmentos AB, BC e CD. Demonstra-se, porém, que ainda neste caso o teorema é verdadeiro.

      II - O enunciado, assim como a demonstração anterior, aplica-se a quaisquer segmentos coresponsentes, isto é,

AB/EF = AC/EG = BD/FH = AD/EH.

      III - Se uma das paralelas passar pelo ponto de encontro das transversais (Fig. 306), verifica-se o teorema anterior, ou seja

OA/OC = OB/OD = AB/CD.

      COR. I - Toda a recta paralela a um lado de um triângulo que encontre os outros dois lados em pontos interiores divide-os em segmentos proporcionais entre si e a estes lados.

      Consideremos o triângulo ABC (Fig. 307), em que DE || BC. Teremos, então,

AD/AE = DB/EC = AB/AC

      COR. II - Se duas paralelas intersectam duas secantes, os triângulos obtidos têm os lados correspondentes proporcionais.

      Sejam AC e BD as paralelas, OB e OD as secantes (Fig. 308).

      Por A tire-se uma recta AF || OD. Considerando as paralelas anteriores e as transversais BO e BD, teremos

OA/FD = OB/BD

      Como FD = AC, teremos

OA/AC = OB/BD ou OA/OB = AC/BD,

      Atendendo a que

OA/OC = OB/BD ou OA/OB = OC/OD,

conclui que

OA/OB = OC/OD = AC/BD,

EXERCÍCIOS LIII

      Na Fig.309, AE || BF ||CG || HD.

      1) Se (Fig. 309) AB = 2 cm, BC = 4 cm e EF = 3 cm, quanto mede FG?

      2) Se (Fig. 309) AB = 4 cm, AC = 9 cm e FG = 8 cm, quanto mede EF?

      3) Se (Fig. 309) OB = 12 cm, BC = 8 cm e OG = 5 cm, quanto mede FG?

      4) Se (Fig. 309) OA = 18 cm, AD = 24 cm e OE = 21 cm, quanto mede OH?

      5) Se (Fig. 309) OC = 4 cm, BC = 6 cm e CG = 3 cm, quanto mede BF?

      6) Se (Fig. 309) OB = 15 cm, BF = 16 cm e HD = 8 cm, quanto mede BD?

      7) Se (Fig. 309) OB = (2/3).OF e AB = 6 cm, quanto mede EF?

      8) Se (Fig. 309) OD = (5/2).OC e HD = 8 cm, quanto mede CG?

      9) Se (Fig. 310) AB || CD || EF, OC = 8 cm, OD = 10 cm e OE = OD, determinar:

a)  DF;   b)  OA, sabendo que OB = 9 cm;  c)  AB; sabendo que CD = 6 cm e OB = 9 cm.

      10) Se (Fig. 311) AC || BD e CE || DF, escrever duas razões iguais a:

a)  OE/EF;   b)  OC/OD;  c)  AB/OB;  d)  AC/BD;

      11) Se (Fig. 311) AC || BD, CE || DF, OA = 8 cm, OB = 12 cm e CD = 3 cm, determinar:

a)  OC;  b)  OF, sabendo que OE = 7 cm.

      12) Se (Fig. 311) AC || BD, CE || DF, AC = 4 cm, BD = 5 cm e OC = 8 cm, determinar:

a)  CD;   b)  CE, sabendo que DF = OC.

      13) Se (Fig. 312) BC || AD, BE || AC, OB = 8 cm, OE = 6 cm e EC = 3 cm, determinar AB e CD.

      14) Se (Fig. 312) BC || AC, BE || AC, OB = 12 cm, BC = 8 cm, AD = 10 cm e BE = 6 cm, determinar AB e AC.

      15) Se (Fig. 312) BC || AD e BE || AC, demonstrar que:

a)  OE/OC = OC/OD;  b)  BE/AC = BC/AD.

      16) Para determinar a altura AB de uma casa (Fig. 313) mediram-se as distâncias ED = 15 m e DB = 30 m. A vara vertical CD mede 2,5 m. Qual é a altura da casa?

      17) Demonstrar que o segmento de recta compreendido entre dois lados de um triângulo e paralelo ao outro tem o seu ponto médio sobre a mediana relativa a este lado.

      240) TEOREMA: Se três rectas determinam em duas transversais segmentos correspondentes proporcionais e duas daquelas rectas são paralelas, a outra também o é (Fig. 314).

      Hipótese: AD || BE; AB/DE = BC/EF = AC/DF

      Tese: CF || AD || BE

Demonstração:

      Suponhamos que CF não é paralela a AD e BE e que, portanto, existe outra recta CM || AD || BE.

      Teríamos

AB/DE = BC/EM

ou, atendendo à hipótese (63-1ª)

BC/EF = BC/EM

donde

EF = EM

concluindo-se que F coincide com M e, por consequência, CM sobrepõe-se a CF (16,b)

      Será, portanto,

CF || AD || BE.

      COR. - Uma recta que divide dois lados de um triângulo ou os seus prolongamentos em segmentos proporcionais entre si e a esses lados é paralela ao outro lado.

      É o caso particular em que uma das duas paralelas dadas passa pelo ponto de encontro das transversais (Fig. 315).

EXERCÍCIOS LIV

      1) Se (Fig. 314) AD || BE, AB = 8 cm, DE = 12 cm, BC = 6 cm e DF = 21 cm, CF é paralela ou concorrente em relação a AD e BE? Justificar a resposta.

      2) Se (Fig. 314) AD || CF, AB = 10 cm, AC = 15 cm e DF = 3 EF, BE é paralela ou concorrente em relação a AD e CF? Justificar a resposta.

      3) Se (Fig. 314) BE || CF, AB = 8 cm, BC = (1/2).AB, DF = 15 cm e DE = 9 cm, AD é paralela ou concorrente em relação a BE e CF? Justificar a resposta.

      4) Se (Fig. 315) OA = 4 cm, OB = 10 cm e DE = (3/2).OD, AD é paralela ou concorrente com BE? Justificar a resposta.

      5) Os pontos A e E (Fig. 316) estão separados por uma casa e pretende-se determinar a sua distância. Para isso efectuaram-se as seguintes medições: AB = 20 m, BC = 10 m, ED = 24 m, EC = 36 m e BD = 15 m. Qual é a distância de A a E?

      241) TEOREMA: Um feixe de transversais determina em duas paralelas segmentos correspondentes proporcionais (Fig. 317).

      Hipótese: Dado o feixe de transversais OA', OB' e OC' e as rectas AC || A'C'.

      Tese: AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'.

Demonstração:

      Como (239, Cor.II)

OB/OB'= AB/A'B', OB/OB' = BC/B'C', OA/OA' = AB/A'B' e OA/OA' = AC/A'C',

conclui-se que (63-1ª)

AB/A'B'= BC/B'C' e AB/A'B' = AC/A'C'

ou

AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'

      242) TEOREMA RECÍPROCO:  Se são proporcionais os segmentos correspondentes determinados em duas paralelas por várias transversais, estas são concorrentes (Fig. 318).

      Hipótese: AC || A'C' e AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'

      Tese: AA', BB' e CC' são concorrentes.

Demonstração:

      Seja O o ponto de encontro das rectas AA' e BB', OC' uma recta que encontra AC no ponto C₁. Será, então (241),

AB/A'B' = BC₁/B'C'

donde, atendendo à hipótese,

BC/B'C' = BC₁/B'C'

ou

BC = BC₁

concluindo-se, assim, que o ponto C coincide com C₁ e, portanto, OC com OC' (16, b).

      Observação:

      Se AA' || BB', o quadrilátero ABB'A' é um paralelograma e, por isso, AB = A'B' (159). Conclui-se, então, da hipótese que BC = B'C' (ou AC = A'C') e, portanto, que BB' || CC' (161). Neste caso as transversais formam um feixe de rectas paralelas.

EXERCÍCIOS LV

      1) Se (Fig. 317) AC || A'C', AB = 8 cm, BC = 4 cm e A'C' = 15 cm, quanto mede A'B'?

      2) Se (Fig. 317) AC || A'C', BC = 4 cm e A'B' = (2/3).A'C', quanto mede AB?

      3) Se (Fig. 317) AC || A'C', AB = 3 cm, AC = 5 cm, A'B' = 6 cm e A'C' = 10 cm, as rectas AA', BB' e CC' são concorrentes?

      4) Se (Fig. 317) AC || A'C', AB = (2/3).AC, A'C' = 15 cm e B'C' = 5 cm, as rectas AA', BB' e CC' são concorrentes?

      5) Se (Fig. 317) AC || A'C', A'B' = AC e A'C' = 2.AB, que relação deve existir entre AB e AC para que as rectas AA', BB' e CC' sejam concorrentes?

      6) Demonstrar que a recta que une os pontos médios das bases de um trepézio passa pelo ponto de encontro dos prolongamentos dos lados opostos oblíquos e pelo ponto de encontro das diagonais.

      243) Quarto propocional dos segmentos AB, CD e EF é o segmento XY tal que

AB/CD = EF/XY

      Terceiro proporcional dos segmentos AB e CD é o segmento XY tal que

AB/CD = CD/XY

      244) Dado um segmento AB (Fig. 319), diz-se que um ponto P o divide em dois segmentos aditivos quando o ponto existe sobre o segmento, isto é, se

AB = AP + PB.

      No caso de o ponto P (Fig. 320) existir na recta definida pelos pontos A e B e ser exterior ao segmento AB, diz-se que o ponto P divide este segmento em dois segmentos subtractivos, isto é, se

AB = AP - BP.

      Aplicações gráficas:

      I - Determinar gráficamente o quarto proporcional a 2, 4 e 3. Justificar a construção.

      1º processo:

      Consideremos duas semi-rectas (Fig. 321) OX e OY e marquemos, a partir de O, sobre OY, segmentos OA = 2, OB = 3 e, sobre OX, OA' = 4. Tiremos, por B, uma paralela ao segmento definido por A e A' e seja B' o ponto de encontro com OX. O quarto proporcional é OB' = 6.

      Justificação:

      Será (239, Cor. I)

OA/OA' = OB/OB'

donde

2/4 = 3/OB'.

      2º processo:

      Consideremos uma semi-recta OY (Fig. 322). Marquemos OA = 2, OB = 3. A partir de A tiremos uma semi-recta onde marcamos AA' =4. A recta definida por O e A' intersecta a paralela tirada por B, a AA', no ponto B'.

      O segmento BB' = 6 é o quarto proporcional.

      Justificação:

      Teremos (239, Cor. II)

OA/OB = AA'/BB'  ou  OA /AA' = OB/BB'

donde

2/4 = 3/BB'.

      II - Determinar gráficamente o terceiro proporcional a 4 e 2.

      Os processos anteriores para a construção do quarto proporcional também eram aplicáveis à resolução dete problema, visto que ele consiste em determinar o quarto proporcional a 4, 2 e 2. Vamos, porém, seguir outro processo, que é também aplicável à resolução do exercício anterior.

      Consideremos duas rectas paralelas AX e A'Y (Fig. 323). A partir de A marquemos, em AX, os segmentos AB = 4, AC = 2 e A'B' = 2 sobre A'Y.

      Seja O o ponto de encontro das rectas AA' e BB'. Traçando o segmento definido pelos pontos O e C, obém-se o ponto C' sobre A'Y; A'C' é o terceiro proporcional, ou seja A'C' = 1.

      Justificação:

      Teremos (241)

AB/A'B' = AC/A'C'  ou   4/2 = 2/A'C'.

      III - Dividir um segmento AB = 6 em duas partes AC e BC tais que AC/BC = 3/5.

      1ª construção (os segmentos AC e BC são aditivos):

      Faça-se passar por A (Fig. 324) uma semi-recta AR e marquemos AP = 3 e PR =5 no mesmo sentido. Tiremos por P uma paralela ao segmento BR; o ponto de intersecção com AB é o pedido.

      Justificação:

      Será

AC/BC = AP/PR  ou   AC/BC = 3/5.

      2ª construção (os segmentos AC e BC são subtractivos):

      Marquemos AP = 3 (Fig. 325) num sentido e PR = 5 noutro.

      Procedamos do mesmo modo que anteriormente.

      Justificação:

      Teremos

AC/BC = AP/PR  ou   AC/BC = 3/5.

EXERCÍCIOS LVI

      1) Determinar gráficamente o quarto proporcional aos segmentos AB, CD e EF (Fig. 326).

      2) Determinar gráficamente o quarto proporcional aos segmentos que medem 8 cm, 6 cm e 4 cm.

      3) Determinar gráficamente o terceiro proporcional aos segmentos AB e CD (Fig. 327).

      4) Determinar gráficamente o quadrado de 2,5.

      5) Dividir gráficamente 5 por 4.

      6) Dividir gráficamente 6,4 por 1,6.

      7) Multiplicar gráficamente 2 por 1,5.

      8) Dividir o segmento AB (Fig. 328) em dois segmentos aditivos AP e PB tais que AP/PB = 3/4.

      9) Dividir o segmento MN = 6 cm em dois segmentos aditivos MX e XN tais que MX/MN = 2/5.

      10) Dividir o segmento AB (Fig. 329) em dois segmentos subtractivos AM e BM tais que AM/BM = 3/2.

      11) Dividir o segmento XY = 3 cm em dois segmentos subtractivos XP e YP tais que XP/YP = 3/4.

      12) Dividir o segmento AB = 9 cm em partes proporcionais a 2 e 3.

      13) Dividir o segmento AB = 12 cm em partes proporcionais a 1, 3 e 4.

      14) Dividir gráficamente 5 em partes proporcionais a 2, 3 e 6.