|
|
|
| ||
| Cinderella > Fórum > Capítulo IX - Relações Métricas Entre Segmentos Rectilíneos | ||
| Está a aceder como utilizador anónimo | ||
| Capítulo IX - Relações Métricas Entre Segmentos Rectilíneos |
|---|
| Ana Teresa Santos [não registado], 2006-07-30 23:59 [#819] Publicado em 2006-07-31 00:06 por Jorge Nuno Silva |
| Tópicos: Palma Fernandes, alunos |
| Ficheiros anexos: fig307.cdy fig309.cdy fig310.cdy fig311.cdy fig312.cdy fig313.cdy fig316.cdy fig317.cdy fig318.cdy fig319.cdy fig320.cdy fig321.cdy fig322.cdy fig323.cdy fig324.cdy fig325.cdy fig326.cdy fig327.cdy fig328.cdy fig329.cdy fig3051.cdy fig3052.cdy fig3061.cdy fig3062.cdy fig3081.cdy fig3082.cdy fig3141.cdy fig3142.cdy fig3151.cdy fig3152.cdy trab.html |
Trabalho da cadeira de Elementos de Geometria, do Mestrado em Matemática para o Ensino, realizado por Ana Teresa Barros dos Santos
Ficheiro anexo 'trab.html':
CAPÍTULO IX
RELAÇÕES MÉTRICAS ENTRE SEGMENTOS RECTILÍNEOS
233) Feixe de rectas é o conjunto de rectas do plano que passam pelo mesmo ponto, que é o centro ou vértice do feixe.
Feixe de rectas paralelas ou feixe impróprio é o conjunto de rectas paralelas a uma mesma recta.
234) A razão de dois segmentos é igual à razão das suas medidas numéricas expressas na mesma unidade (207).
Assim, a razão entre os segmentos AB e CD será:
AB/CD = (med. AB)/(med. CD)
235) Quatro segmentos de recta dizem-se directamente proporcionais ou simplesmente proporcionais quando são proporcionais as suas medidas. Os segmentos AB, CD, EF e GH são directamente proporcionais se:
(med. AB)/(med. CD) = (med. EF)/(med. GH) ou (234) AB/CD = EF/GH
236) Os segmentos AB, CD e EF e são proporcionais, respectivamente, aos números m, n e p, se:
(med. AB)/m = (med. CD)/n = (med. EF)/p
o que se representa por
AB/m = CD/n = EF/p
237) No estudo que se segue aplicaremos algumas das propriedades das proporções estudadas no primeiro ciclo, a saber:
1.º - Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
2.º - Numa proporção qualquer extremo é igual ao produto dos meios dividido pelo outro extremo.
3.º - Numa proporção qualquer meio é igual ao produto dos extremos dividido pelo outro meio.
4.º - Numa proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu consequente.
238) Aplicando a primeira propriedade do parágrafo anterior às proporções apresentadas no parágrafo 235, teremos
med. AB x med.GH = med. CD x med. EF
ou
AB x GH = CD x EF
Atendendo a estes resultados, convencionou-se que o produto de dois segmentos é o produto das suas medidas numéricas expressas na mesma unidade.
Também consideremos o quadrado de um segmento como o quadrado da sua medida numérica, isto é,
AB x CD = med. AB x med. CD e AB2 = (med. AB) 2
239) TEOREMA DE THALES: Um feixe de rectas paralelas determina em duas transversais segmentos correspondentes proporcionais (Fig. 305).
Hipótese: AE || BF || CG || DH; OD e OH são transversais.
Tese: AB/EF = BC/FG = CD/GH
Demonstração:
Seja AX um segmento igual à unidade que cabe m vezes em AB, n vezes em BC e p vezes em CD (na Fig. 305, m = 3, n = 5 e p= 4). Pelos pontos de divisão dos segmentos AB, BC e CD tirem-se rectas paralelas a AE.
EF fica dividido em m segmentos iguais a EY, FG em n e GH em p (169).
Será, portanto,
AB = m.AX, BC = n.AX, CD = p.AX
e
EF = m.EY, FG = n.EY, GH = p.EY
Dividindo membro a membro as igualdades anteriores, teremos
AB/EF = AX/EY, BC/FG = AX/EY, CD/GH = AX/EY
donde (63-1ª)
AB/EF = BC/FG = CD/GH
Observações:
I - Pode suceder que não exista um segmento que caiba um número exacto de vezes nos segmentos AB, BC e CD. Demonstra-se, porém, que ainda neste caso o teorema é verdadeiro.
II - O enunciado, assim como a demonstração anterior, aplica-se a quaisquer segmentos coresponsentes, isto é,
AB/EF = AC/EG = BD/FH = AD/EH.
III - Se uma das paralelas passar pelo ponto de encontro das transversais (Fig. 306), verifica-se o teorema anterior, ou seja
OA/OC = OB/OD = AB/CD.
COR. I - Toda a recta paralela a um lado de um triângulo que encontre os outros dois lados em pontos interiores divide-os em segmentos proporcionais entre si e a estes lados.
Consideremos o triângulo ABC (Fig. 307), em que DE || BC. Teremos, então,
AD/AE = DB/EC = AB/AC
COR. II - Se duas paralelas intersectam duas secantes, os triângulos obtidos têm os lados correspondentes proporcionais.
Sejam AC e BD as paralelas, OB e OD as secantes (Fig. 308).
Por A tire-se uma recta AF || OD. Considerando as paralelas anteriores e as transversais BO e BD, teremos
OA/FD = OB/BD
Como FD = AC, teremos
OA/AC = OB/BD ou OA/OB = AC/BD,
Atendendo a que
OA/OC = OB/BD ou OA/OB = OC/OD,
conclui que
OA/OB = OC/OD = AC/BD,
EXERCÍCIOS LIII
Na Fig.309, AE || BF ||CG || HD.
1) Se (Fig. 309) AB = 2 cm, BC = 4 cm e EF = 3 cm, quanto mede FG?
2) Se (Fig. 309) AB = 4 cm, AC = 9 cm e FG = 8 cm, quanto mede EF?
3) Se (Fig. 309) OB = 12 cm, BC = 8 cm e OG = 5 cm, quanto mede FG?
4) Se (Fig. 309) OA = 18 cm, AD = 24 cm e OE = 21 cm, quanto mede OH?
5) Se (Fig. 309) OC = 4 cm, BC = 6 cm e CG = 3 cm, quanto mede BF?
6) Se (Fig. 309) OB = 15 cm, BF = 16 cm e HD = 8 cm, quanto mede BD?
7) Se (Fig. 309) OB = (2/3).OF e AB = 6 cm, quanto mede EF?
8) Se (Fig. 309) OD = (5/2).OC e HD = 8 cm, quanto mede CG?
9) Se (Fig. 310) AB || CD || EF, OC = 8 cm, OD = 10 cm e OE = OD, determinar:
a) DF; b) OA, sabendo que OB = 9 cm; c) AB; sabendo que CD = 6 cm e OB = 9 cm.
10) Se (Fig. 311) AC || BD e CE || DF, escrever duas razões iguais a:
a) OE/EF; b) OC/OD; c) AB/OB; d) AC/BD;
11) Se (Fig. 311) AC || BD, CE || DF, OA = 8 cm, OB = 12 cm e CD = 3 cm, determinar:
a) OC; b) OF, sabendo que OE = 7 cm.
12) Se (Fig. 311) AC || BD, CE || DF, AC = 4 cm, BD = 5 cm e OC = 8 cm, determinar:
a) CD; b) CE, sabendo que DF = OC.
13) Se (Fig. 312) BC || AD, BE || AC, OB = 8 cm, OE = 6 cm e EC = 3 cm, determinar AB e CD.
14) Se (Fig. 312) BC || AC, BE || AC, OB = 12 cm, BC = 8 cm, AD = 10 cm e BE = 6 cm, determinar AB e AC.
15) Se (Fig. 312) BC || AD e BE || AC, demonstrar que:
a) OE/OC = OC/OD; b) BE/AC = BC/AD.
16) Para determinar a altura AB de uma casa (Fig. 313) mediram-se as distâncias ED = 15 m e DB = 30 m. A vara vertical CD mede 2,5 m. Qual é a altura da casa?
17) Demonstrar que o segmento de recta compreendido entre dois lados de um triângulo e paralelo ao outro tem o seu ponto médio sobre a mediana relativa a este lado.
240) TEOREMA: Se três rectas determinam em duas transversais segmentos correspondentes proporcionais e duas daquelas rectas são paralelas, a outra também o é (Fig. 314).
Hipótese: AD || BE; AB/DE = BC/EF = AC/DF
Tese: CF || AD || BE
Demonstração:
Suponhamos que CF não é paralela a AD e BE e que, portanto, existe outra recta CM || AD || BE.
Teríamos
AB/DE = BC/EM
ou, atendendo à hipótese (63-1ª)
BC/EF = BC/EM
donde
EF = EM
concluindo-se que F coincide com M e, por consequência, CM sobrepõe-se a CF (16,b)
Será, portanto,
CF || AD || BE.
COR. - Uma recta que divide dois lados de um triângulo ou os seus prolongamentos em segmentos proporcionais entre si e a esses lados é paralela ao outro lado.
É o caso particular em que uma das duas paralelas dadas passa pelo ponto de encontro das transversais (Fig. 315).
EXERCÍCIOS LIV
1) Se (Fig. 314) AD || BE, AB = 8 cm, DE = 12 cm, BC = 6 cm e DF = 21 cm, CF é paralela ou concorrente em relação a AD e BE? Justificar a resposta.
2) Se (Fig. 314) AD || CF, AB = 10 cm, AC = 15 cm e DF = 3 EF, BE é paralela ou concorrente em relação a AD e CF? Justificar a resposta.
3) Se (Fig. 314) BE || CF, AB = 8 cm, BC = (1/2).AB, DF = 15 cm e DE = 9 cm, AD é paralela ou concorrente em relação a BE e CF? Justificar a resposta.
4) Se (Fig. 315) OA = 4 cm, OB = 10 cm e DE = (3/2).OD, AD é paralela ou concorrente com BE? Justificar a resposta.
5) Os pontos A e E (Fig. 316) estão separados por uma casa e pretende-se determinar a sua distância. Para isso efectuaram-se as seguintes medições: AB = 20 m, BC = 10 m, ED = 24 m, EC = 36 m e BD = 15 m. Qual é a distância de A a E?
241) TEOREMA: Um feixe de transversais determina em duas paralelas segmentos correspondentes proporcionais (Fig. 317).
Hipótese: Dado o feixe de transversais OA', OB' e OC' e as rectas AC || A'C'.
Tese: AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'.
Demonstração:
Como (239, Cor.II)
OB/OB'= AB/A'B', OB/OB' = BC/B'C', OA/OA' = AB/A'B' e OA/OA' = AC/A'C',
conclui-se que (63-1ª)
AB/A'B'= BC/B'C' e AB/A'B' = AC/A'C'
ou
AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'
242) TEOREMA RECÍPROCO: Se são proporcionais os segmentos correspondentes determinados em duas paralelas por várias transversais, estas são concorrentes (Fig. 318).
Hipótese: AC || A'C' e AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'
Tese: AA', BB' e CC' são concorrentes.
Demonstração:
Seja O o ponto de encontro das rectas AA' e BB', OC' uma recta que encontra AC no ponto C1. Será, então (241),
AB/A'B' = BC1/B'C'
donde, atendendo à hipótese,
BC/B'C' = BC1/B'C'
ou
BC = BC1
concluindo-se, assim, que o ponto C coincide com C1 e, portanto, OC com OC' (16, b).
Observação:
Se AA' || BB', o quadrilátero ABB'A' é um paralelograma e, por isso, AB = A'B' (159). Conclui-se, então, da hipótese que BC = B'C' (ou AC = A'C') e, portanto, que BB' || CC' (161). Neste caso as transversais formam um feixe de rectas paralelas.
EXERCÍCIOS LV
1) Se (Fig. 317) AC || A'C', AB = 8 cm, BC = 4 cm e A'C' = 15 cm, quanto mede A'B'?
2) Se (Fig. 317) AC || A'C', BC = 4 cm e A'B' = (2/3).A'C', quanto mede AB?
3) Se (Fig. 317) AC || A'C', AB = 3 cm, AC = 5 cm, A'B' = 6 cm e A'C' = 10 cm, as rectas AA', BB' e CC' são concorrentes?
4) Se (Fig. 317) AC || A'C', AB = (2/3).AC, A'C' = 15 cm e B'C' = 5 cm, as rectas AA', BB' e CC' são concorrentes?
5) Se (Fig. 317) AC || A'C', A'B' = AC e A'C' = 2.AB, que relação deve existir entre AB e AC para que as rectas AA', BB' e CC' sejam concorrentes?
6) Demonstrar que a recta que une os pontos médios das bases de um trepézio passa pelo ponto de encontro dos prolongamentos dos lados opostos oblíquos e pelo ponto de encontro das diagonais.
243) Quarto propocional dos segmentos AB, CD e EF é o segmento XY tal que
AB/CD = EF/XY
Terceiro proporcional dos segmentos AB e CD é o segmento XY tal que
AB/CD = CD/XY
244) Dado um segmento AB (Fig. 319), diz-se que um ponto P o divide em dois segmentos aditivos quando o ponto existe sobre o segmento, isto é, se
AB = AP + PB.
No caso de o ponto P (Fig. 320) existir na recta definida pelos pontos A e B e ser exterior ao segmento AB, diz-se que o ponto P divide este segmento em dois segmentos subtractivos, isto é, se
AB = AP - BP.
Aplicações gráficas:
I - Determinar gráficamente o quarto proporcional a 2, 4 e 3. Justificar a construção.
1º processo:
Consideremos duas semi-rectas (Fig. 321) OX e OY e marquemos, a partir de O, sobre OY, segmentos OA = 2, OB = 3 e, sobre OX, OA' = 4. Tiremos, por B, uma paralela ao segmento definido por A e A' e seja B' o ponto de encontro com OX. O quarto proporcional é OB' = 6.
Justificação:
Será (239, Cor. I)
OA/OA' = OB/OB'
donde
2/4 = 3/OB'.
2º processo:
Consideremos uma semi-recta OY (Fig. 322). Marquemos OA = 2, OB = 3. A partir de A tiremos uma semi-recta onde marcamos AA' =4. A recta definida por O e A' intersecta a paralela tirada por B, a AA', no ponto B'.
O segmento BB' = 6 é o quarto proporcional.
Justificação:
Teremos (239, Cor. II)
OA/OB = AA'/BB' ou OA /AA' = OB/BB'
donde
2/4 = 3/BB'.
II - Determinar gráficamente o terceiro proporcional a 4 e 2.
Os processos anteriores para a construção do quarto proporcional também eram aplicáveis à resolução dete problema, visto que ele consiste em determinar o quarto proporcional a 4, 2 e 2. Vamos, porém, seguir outro processo, que é também aplicável à resolução do exercício anterior.
Consideremos duas rectas paralelas AX e A'Y (Fig. 323). A partir de A marquemos, em AX, os segmentos AB = 4, AC = 2 e A'B' = 2 sobre A'Y.
Seja O o ponto de encontro das rectas AA' e BB'. Traçando o segmento definido pelos pontos O e C, obém-se o ponto C' sobre A'Y; A'C' é o terceiro proporcional, ou seja A'C' = 1.
Justificação:
Teremos (241)
AB/A'B' = AC/A'C' ou 4/2 = 2/A'C'.
III - Dividir um segmento AB = 6 em duas partes AC e BC tais que AC/BC = 3/5.
1ª construção (os segmentos AC e BC são aditivos):
Faça-se passar por A (Fig. 324) uma semi-recta AR e marquemos AP = 3 e PR =5 no mesmo sentido. Tiremos por P uma paralela ao segmento BR; o ponto de intersecção com AB é o pedido.
Justificação:
Será
AC/BC = AP/PR ou AC/BC = 3/5.
2ª construção (os segmentos AC e BC são subtractivos):
Marquemos AP = 3 (Fig. 325) num sentido e PR = 5 noutro.
Procedamos do mesmo modo que anteriormente.
Justificação:
Teremos
AC/BC = AP/PR ou AC/BC = 3/5.
EXERCÍCIOS LVI
1) Determinar gráficamente o quarto proporcional aos segmentos AB, CD e EF (Fig. 326).
2) Determinar gráficamente o quarto proporcional aos segmentos que medem 8 cm, 6 cm e 4 cm.
3) Determinar gráficamente o terceiro proporcional aos segmentos AB e CD (Fig. 327).
4) Determinar gráficamente o quadrado de 2,5.
5) Dividir gráficamente 5 por 4.
6) Dividir gráficamente 6,4 por 1,6.
7) Multiplicar gráficamente 2 por 1,5.
8) Dividir o segmento AB (Fig. 328) em dois segmentos aditivos AP e PB tais que AP/PB = 3/4.
9) Dividir o segmento MN = 6 cm em dois segmentos aditivos MX e XN tais que MX/MN = 2/5.
10) Dividir o segmento AB (Fig. 329) em dois segmentos subtractivos AM e BM tais que AM/BM = 3/2.
11) Dividir o segmento XY = 3 cm em dois segmentos subtractivos XP e YP tais que XP/YP = 3/4.
12) Dividir o segmento AB = 9 cm em partes proporcionais a 2 e 3.
13) Dividir o segmento AB = 12 cm em partes proporcionais a 1, 3 e 4.
14) Dividir gráficamente 5 em partes proporcionais a 2, 3 e 6.
>> Pode comentar com uma nova mensagem sua << [ajuda]
| © 2001, 2002 CMAF-UL |