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CAPÍTULO XI

II

CONSEQUÊNCIAS NUMÉRICAS DA SEMELHANÇA

APLICADAS À CIRCUNFERÊNCIA

264) TEOREMA: Tirando por um ponto duas secantes para uma circunferência, são iguais os produtos dos segmentos definidos, em cada secante, pelo ponto e pelos pontos de intersecção com a circunferência (Figs. 363 e 364).

Hipótese: Dadas as Θ (O) e as secantes AD e BC.

Tese: PA × PD = PB × PC.

 

Demostração

Tracem-se as cordas AB e CD.

Passos 1) ∠ PDC = ∠ ABC.     ∠ PCD = ∠ BAD. 2) Δ APB ∼ Δ CPD. 3) PA ⁄ PC = PB ⁄ PD. 4) PA × PD = PB × PC.

Justificações 1) Porquê? (219 e 223).   2) Porquê? (251 ) 3) Porquê? (245 - 2.º ) 4) Porquê? (237 - 1.º )

 

COR. - Se de um dado ponto tirarmos secantes para umacircunferência, é constante o rpoduto dos segmentos definidosem cada secante pelo ponto e pelos pontos de intersecçãocom a circunferência.

Na demonstração feita consideraram-se duas secantes; para quaisquer outras secantes chegar-se-ia a idêntica conclusão.

 

265) TEOREMA RECÍPROCO: Se as rectas AD e BC se intersectam num ponto P e PA × PD = PB × PC, a circunferência que passa pelos pontos A, B e C passa por D (Figs. 363 e 364).

Hipótese: As rectas AD e BD intersectam-se no ponto P; PA × PD = PB × PC.

Tese: A circunferência que passa pelos pontos A, B e C passa pelo ponto D.

Demonstração

Se a circunferência que passa pelos pontos A, B e C não passasse por D, intersectaria AP num ponto D'. Teríamos então (264)

PA × PD' = PB × PC 

e, portanto (63 - 1.ª )

PA × PD' = PA × PD 

donde

PD' = PD

A igualdade anterior permite concluir que D' e D coincidem, existindo, por isso, D na circunferência que passa por A, B C.

 

266) Ao produto constante, considerado no Cor. do teorema do parágrafo 264, dá-se o nome de potência do ponto em relação à circunferência.

No caso dos segmentos terem o mesmo sentido a potência é positiva (ponto exterior à circunferência, Fig. 363) e no caso contrário é negativa (ponto interior à circunferência, Fig. 364).

A potência é nula se o ponto existir sobre a circunferência, visto que, neste caso, um dos segmentos é nulo.

 

Aplicações:

I - Determinar a potência de um ponto em relação a uma circunferência de 5 unidades de raio, sabendo que dista do centro 12 unidades.

Como a potência de um ponto em relação a uma circunferência não varia com a secante, podemos considerar a secante que passa pelo centro da circunferência (Fig. 365). Por ser PO = 12 e OA = 5, será PA = 7 e PB = 17. Teremos, então, representando por K a potência, K = PA × PB ou K = 119.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Fig.365 Criado com Cinderella

II - Determinar gràficamente o terceiro proporcional a 4 e 3.

 

Consideremos duas rectas perpendiculares AD e BC (¹) e seja O o seu ponto de intersecção (Fig. 366). Marquemos sobre AD o segmento OA = 4 e sobre BC, e em sentidos contrários, OB = 3 e OC = 3. Façamos passar por A, B e C uma circunferência que encontra AD em D.O terceiro proporcional é OD = 2,2 aproximadamente (²). (¹) As rectas podiam ser oblíquas mas, para maior facilidade de leitura, é conveniente serem perpendiculares. (²) O quarto proporcional a três números podia ser determinado da mesma maneira, marcando-se o segmento OA igual ao primeiro número dado, o segmento OB igual ao segundo e o segmento OC igual ao terceiro.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Fig. 366 Criado com Cinderella

Justificação:

Teremos (264)

OA × OD = OB × OC,     donde    OA ⁄ OD = OB ⁄ OC

ou

4 ⁄ 3 = 3 ⁄ OD  

 

EXERCÍCIOS LXVIII

 

1) Se (Fig. 367) PA = 8 cm, PB = 12 cm e PC = 6 cm, quanto mede PD? 2) Se (Fig. 367) PA = 4 m, AB = 12 m e PD = 10 m, quanto mede CD? 3) Se (Fig. 367) AB = 11 m, PA = 2 m e PD = 2 PC, quanto mede CD? 4) Se (Fig. 367) AB = 5 PA, PC = 1,6 m e CD = 11,6 m, quanto mede AB? 5) Se (Fig. 367) a potência do ponto P é igual a -21 e PC = 3, quanto mede CD? 6) Se (Fig. 368) PB = 12 cm, AB = 10 cm e PC = 3 cm, quanto mede CD? 7) Se (Fig. 368) PA = 2⁄3 PC e PB = 6 m, quanto mede PD? 8) Se (Fig. 368) PA = 1 ⁄2 PD e PC = 4 m, quanto mede PB? 9) Se (Fig. 368) PC = 1 ⁄3 PB, que relação existe entre PA e PD? 10) Se (Fig. 368) PA = 3 e AB = 8, qual é a potência do ponto P em relação à circunferência?

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Fig.367                     Fig. 368 Criado com Cinderella

 11) Determinar a potência de um ponto em relação a uma circunferência de 4 unidades de diâmetro, sabendo que dista do centro 8 unidades.

 12) Determinar a potência de um ponto em relação a uma circunferência de 4 unidades de raio, sabendo que dista do centro da circunferência 7 unidades.

 13) Determinar o raio de uma circunferência, sabendo que a distância de um ponto ao centro da circunferência é 9 unidades e a potência é igual a 80.

 14) Determinar a distância de um ponto ao centro da circunferência de 8 unidades de diâmetro, sabendo que a potência é igual a 33.

 15) Determinar a potência de um ponto em relação a uma circunferência, sabendo que dista do centro 3 unidades e o raio mede 5 unidades.

 16) Determinar gràficamente, o quarto proporcuinal a 5, 4 e 2. Justificar a construção.

 17) Determinar gràficamente, o terceiro proporcuinal a 8 e 4. Justificar a construção.

 

267) Tirando por um ponto P exterior a uma circunferência uma secante, chama-se segmento da secante ao definido por P e pelo ponto de intersecção mais afastado; ao outro segmento definido por P e pelo ponto de intersecção mais próximo dá-se o nome de parte externa da secante.

Na Fig. 369, PB é o segmento da secante e PA a sua parte externa.

 

268) TEOREMA: Se tirarmos por um ponto uma tangente e uma secante a uma circunferência, o segmento da tangente é meio proporcional entre o segmento da secante e a sua parte externa (Fig. 369).

Hipótese: Dadas a Θ (O),       a tangente PT e a secante PB. Tese:PA ⁄ PT = PT ⁄PB

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Fig. 369 Criado com Cinderella

Demostração

Tracem-se as cordas AT e BT.

Passos 1) ∠ ATP = ∠ ABT. 2) Δ PTA ∼ Δ PTB. 3) PA ⁄ PT = PT ⁄ PB.

Justificações 1) Porquê? (221 e 219). 2) Porquê? (251 ) 3) Porquê? (245 - 2.º )

 

COR. - O quadrado do segmento da tangente, tirada de um ponto para uma circunferência, é igual à potência do ponto em relação à circunferência.

Com efeito, PT² = PA × PB e, como PA × PB é a potência do ponto P em relação à Θ (O), fica justificado o corolário.

 

EXERCÍCIOS LXIX

1) Se (Fig. 369) PA = 4 cm e AB = 5 cm, quanto mede PT?

2) Se (Fig. 369) PA = 1⁄3 AB e PB = 8 cm, quanto mede PT?

3) Se (Fig. 369) PT = 18 cm e PA = 4 ⁄9 PB, quanto mede AB?

4) Se (Fig. 369) PA = 2 ⁄3 PT e PB = PT + 6 cm, quanto mede PT?

5) Se (Fig. 369) PA = 3 ⁄4 PB e PT = 8 cm, quanto mede PA?

6) Determinar o comprimento do segmento da tangente, tirada de um ponto para uma circunferência, de raio igual a 6 cm, estando o ponto à distância de 4 cm da circunferência.

7) A potência de um ponto em relação a uma circunferência é igual a 1,44. Determinar o comprimento do segmento da tangente tirada do ponto para a circunferência.

8) A distância de um ponto ao centro de uma circunferência é de 10 cm e o comprimento do segmento da tangente tirada desse ponto é de 8 cm. Qual é a medida do raio da circunferência?

9) Dadas duas circunferências secantes, demonstrar que são iguais os segmentos das tangentes tiradas por um ponto da recta que passa pelos pontos omuns das circunferências.

10) Seja AB a recta que une os pontos de contacto de encontro de duas circunferências secantes e P o ponto de intersecção com uma das tangentes comuns às circunferências. Se forem M e N os pontos de contacto da tangente, demonstrar que PM = PN.