Cinderella
PF - Capítulo XI (I)
Antonieta Constantino [não registado], 2006-07-29 01:24 [#817]
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CAPÍTULO XI

I

CONSEQUÊNCIAS NUMÉRICAS DA SEMELHANÇA

APLICADAS AOS TRIÂNGULOS

 

 



255) Projecção ortogonal de um ponto sobre uma recta é o pé da perpendicular baixada desse ponto para a recta. Na Fig. 346 o ponto B é a projecção ortogonal do ponto A sobre a recta CD ( AB ⊥ CD ).

 

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Fig.346

Criado com Cinderella

Projecção ortogonal de um segmento sobre uma recta (¹) é o segmento definido pelas projecções ortogonais dos extremos do segmento sobre a recta ( Fig. 347) .

_______________

(¹) Além das projecções ortogonais, há as projecções oblíquas que não fazem parte do programa liceal e, por isso, quando nos exercícios e parágrafos seguintes se fizer referência a projecções só consideraremos as ortogonais.

 

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Fig. 347

Criado com Cinderella

Como na Fig. 347 MM'⊥ AB, NN' ⊥ AB, PP' ⊥ AB, RR' ⊥ AB e TT' ⊥ AB, os segmentos M'N', P'R' e S'T' são as projecções ortogonais dos segmentos MN, PR e ST sobre a recta AB.

No segmento ST o ponto S e a projecção S' coincidem, visto S existir sobre a recta AB.

O segmento XY ⊥ AB tem como projecção ortogonal um ponto, visto coincidirem as projecções X' e Y' dos pontos X e Y.

 

EXERCÍCIOS LXII

1) Num Δ ABC acutângulo determinar as projecções do lado AB sobre BC, do lado BC sobre AC e do lado AC sobre AB.

2) Num Δ XYZ, obtusângulo em X, determinar a projecção do lado XYsobre o lado XZe do lado XZ sobre o lado XY.

3) Qual é a projeccção de um cateto de um triângulo rectângulo sobre o outro cateto?

4) Determinar as projecções dos braços de um triângulo isósceles sobre a base. Têm alguma relação de grandeza as projecções?

5) Que relação tem um segmento paralelo a uma recta com a sua projecção sobre essa recta?

6) Qual é a projecção de uma das diagonais de um quadrado sobre a outra diagonal?

7) Qual é a projecção da diagonal de um rectângulosobre cada um dos lados do rectângulo?

 

256) Meio proporcional entre dois segmentos AB e CD é o segmento XY tal que

AB ⁄ XY = XY ⁄ CD ou XY² = AB × CD

 

257) TEOREMA: Num triângulo rectângulo, a alura referente à hipotenusa divide-o em dois triângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado

(Fig.348)

Hipótese: Dado o Δ ABC rectângulo em A.

AD ⊥ BC .

Tese: Δ ABD ∼ Δ ACD;

Δ ABD ∼ Δ ABC; 

Δ ACD ∼ Δ ABC;

 

 

 

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Fig. 348

Criado com Cinderella



Demonstração

Passos

1) O Δ ABD e o Δ ACD são rectângulos

2) ∠ BAD = ∠ ACD

3) Δ ABD ∼ Δ ACD;

    Δ ABD ∼ Δ ABC;

    Δ ACD ∼ Δ ABC.

Justificações

1) Porquê? (73)

2) Porquê? (134)

3) Porquê? (251, Cor. I)

 

 

 

 

COR. 1 - Num triângulo rectângulo, a altura referente à hipotenusa é meio proporcional entre os segmentos que determina na hipotenusa (Fig. 349)

 

Decomponhamos o Δ ABC da Fig. 348 no Δ ABD e no Δ ACD, que, como vimos, são semelhantes.

Como em triângulos semelhantes os lados homólogos são proporcionais (245), teremos,

 

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Fig. 349

Criado com Cinderella

BD ⁄ AD = AD ⁄ CD ou n ⁄ h = h ⁄ m

sendo n = med. BD, h = med. AD e m = med. CD.

 

COR II - Num triângulo rectângulo, qualquer cateto é meio proporcional entre a hipotenusa e a sua projecção sobre ela (Fig. 350).

 

Consideremos o Δ ABC e o Δ ABD da Fig. 348. Teremos (245) BC ⁄ AB = AB ⁄ BD ou a ⁄ c = c ⁄ n sendo a = med. BC, c = med. AB e n = med. BD.

 

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Fig. 350

Criado com Cinderella

Considerando o Δ ABC e o Δ ACD da Fig. 348, concluía-se anàlogamente que:

BC ⁄ AC = AC ⁄ CD ou a ⁄ b = b ⁄ m 

 

COR III - Num triângulo rectângulo, a altura referente à hipotenusa é o quarto proporcional entre a hipotenusa e os catetos.

Da Fig. 350 conclui-se que

BC ⁄ AB = AC ⁄ AD ou a ⁄ c = b ⁄ h    

 

Aplicação:

Determinar gràficamente o meio proporcional entre 2 e 4,5.

Justificar a construção.

Marquemos, no mesmo sentido, sobre uma recta (Fig. 351) um segmento AB = 2 unidades e outro BC = 4,5 unidades.

 

 

Tomando para diâmetro AC, tracemos uma semicircunferência.

Pelo ponto B tiremos uma perpendicular a AC, e seja D o ponto de encontro com a semicircunferência. O meio proporcional é BD = 3 unidades.

 

 

 

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Fig. 351

Criado com Cinderella

Justificação:

O Δ ADC é rectângulo porque o ∠ ADC está inscrito numa semicircunferência (219, Cor. 1) e, portanto,

AB ⁄ BD = BD ⁄ BC ou 2 ⁄ BD = BD ⁄ 4,5 

 

EXERCÍCIOS LXIII

Na Fig. 352 o Δ ABC é rectângulo em A, h é a medida da altura referente à hipotenusa, m e n as medidas das projecções dos catetos sobre a hipotenusa.

 

l) Se (Fig.352) m = 9 cm e n = 4 cm, determinar h.

2) Se (Fig.352) a = 40 m e n = 4 m, determinar h.

3) Se (Fig.352) h = 9 m e m = 27 m, determinar a.

4) Se (Fig.352) c = 16 cm e n = 8 cm, determinar a.

5) Se (Fig.352) b = 40 cm e m = 32 cm, determinar n.

6) Se (Fig.352) a = 8 m e m = 6 m, determinar c.

7) Se (Fig.352) a = 25 cm e c = 10 cm, determinar m.

 

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Fig. 352

Criado com Cinderella

8) Num triângulo rectângulo a altura referente à hipotenusa mede 6 cm e a projecção de um dos catetos sobre a hipotenusa 4 cm. Quanto mede a hipotenusa?

9) Num triângulo rectângulo a hipotenusa mede 10 m e a projecção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede 6,4 m. Calcular a medida do outro cateto.

10) No Δ XYZ, em que ∠ Y = 90° , z = 8 cm e y = 16 cm, qual é a projecção de z sobre y?

11) Determinar a medida do raio de uma circunferência, sabendo que um dos segmentos em que uma corda de 8 m divide o seu diâmetro conjugado¹ mede 2 m.

12) Os segmentos que uma corda de uma circunferência determina no seu diâmetro conjugado medem 3 m e 12 m. Qual é o comprimento da corda?

13) O pé da perpendicular baixada de um ponto dee uma circunferênciapara um diâmetro divide este em dois segmentos cujas medidas são 2 m e 30 m. Quais são as distâncias do ponto aos extremos do diâmetro?

14) Determinar gràficamente o meio proporcional entre: a) 2 e 8 ; b) 2,5 e 10 . Justificar as construções.

15) Determinar gràficamente: a)12 ; b)18 .

16) Dados dois segmentos a e b, determinar gràficamente o segmento: a) x = √ a · b ; b) x = √3a · b.

17) Demonstrar que os quadrados dos catetos de um triângulo rectângulo estão entre si como as suas projecções sobre a hipotenusa.

18) Demonstrar que, se um cateto de um triângulo rectângulo é triplo do outro, a projecção de um deles sobre a hipotenusa é nove vezes maior que a do outro.

______________

( ¹ É o diâmetro perpendicular à corda.)

 

258) TEOREMA DE PITÁGORAS: Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (Fig. 353).

Hipótese: Dado o Δ ABC rectângulo em A.

Tese: a² = b² + c²

 

 

 

 

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Fig. 353

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Demonstração

Trace-se a altura AD relativa à hipotenusa.

Passos

1) a ⁄ b = b ⁄ n ; a ⁄ c = c ⁄ m

2) an = b² ; am = c²

3) a(n + m) = b² + c²

4) a² = b² + c²



Justificações

1) Porquê? (257, Cor. II)

2) Porquê? (237-1° )

3) Porquê? (63 - 2.ª )

4) Porque n + m = a (63 - 6.ª )

COR. - Num triângulo rectângulo, o quadrado de um cateto é igual à diferença entre o quadrado da hipotenusa e o quadrado do outro cateto.

Do teorema anterior deduz-se que

b² = a² - c²     e     c² = a² - b²

 

259) TEOREMA RECÍPROCO DO DE PITÁGORAS: Se num triângulo o quadrado de um lado é igual á soma dos quadrados dos outros dois, o triângulo é rectângulo (Fig. 354).

Hipótese: Dado o Δ ABC em que a² = b² + c².

Tese: O Δ ABC é rectângulo.

 

 

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Fig. 354

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Demonstração

Construa-se o Δ MNP, rectângulo em M e cujos catetos, MP e MN, sejam, respectivamente, iguais a AC e AB.

Passos

1) m ² = n ² + p ²

2) m ² = b² + c²

3) m ² = a ² ou m = a

4) Δ ABC = Δ MNP

5) Δ ABC é rectângulo.

Justificações

 1) Porquê? (258).

 1) Porquê? (85 -1.ª).

 1) Porquê? (63 -1.ª).

 1) Porquê? (81).

 1) Porque o Δ MNP é rectângulo e pela alínea anterior.

 

Aplicações:

I - Dadas duas circunferências com o mesmo centro, calcular a medida do raio da circunferência menor, sabendo que o raio da maior mede 5 m e que o comprimento da corda da circunferência maior, que é tangente à menor, é de 8 m.

Da Fig. 355 conclui-se que

5² = 4² + r²   ou    r = 3 m.

 

 

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Fig. 355

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II - Determinar gràficamente, utilizando triângulos rectângulos, o valor de

1² +2² + 3² .

Constroi-se um triângulo rectângulo cujos catetos meçam 1 e 2 unidades (Fig. 356) e, em seguida, outro triângulo rectângulo em que um dos catetos é a hipotenusa do primeiro e o outro igual a 3 unidades.

A hipotenusa deste último triângulo dá-nos o valor pedido, que é x = 3,7 aproximadamente.

 

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Fig. 356

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Justificação:

Pelo teorema de Pitágoras teremos,

AC² = BC² + AB²   e    CD ² = AC² + AD²

donde

CD ² = BC² + AB² + AD² 

ou

CD = √ 1² +2² + 3²

 

 

 

III - Determinar gràficamente o valor de x = √ 5² - 4².

Seja AB = 5 unidades (Fig. 357). Trace-se yuma semicircunferência cujo diâmetro seja AB. Com centro em A e raio igual a 4 unidades, trace-se um arco de circunferência que encontra a semicircunferência em C. Será

x = BC    ou    x = 3 .

 

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Fig. 357

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Justificação:

Como ∠ ACB = 1 ∠ recto, o Δ ACB é rectângulo em C e, portanto,

BC² = AB² - AC² 

donde

BC = √ 5² - 4².

 

EXERCÍCIOS LXIV

1) Quanto mede a hipotenusa de um triângulo rectângulo em que um dos catetos mede 18 cm e o outro é 4 ⁄3 deste?

2)  Determinar a medida de um dos lados de um rectângulo cujadiagonal mede 26 cm e o outro lado adjacente àquele 24 cm.

3) Determinar o comprimento de uma corda traçada numa circunferência cujo raio mede 5 cm e cuja distância ao centro é de 3 cm.

4) A altura de um trapézio rectângulo mede 2 cm e a diagonal menor mede 2,5 cm; quanto mede a base menor?

5) Determinar a medida do lado de um losango cujas diagonais medem 0,6 m e 0,8 m.

6) Sabendo que os catetos de um triângulo rectângulo medem 30 cm e 40 cm, determinar as medidas das suas projecções sobre a hipotenusa.

7) Os raios de duas circunferências concêntricas medem 4 cm e 5 cm. Determinar o comprimento da corda da circunferência maior que é tangente à circunferência menor.

8) Determinar a medida da altura de um trapézio isósceles cujas bases medem 7,2 m e 2,4 m e a diagonal 6 m.

9)Determinar a medida do segmento da tangente exterior comum a duas circunferências cujos raios medem 3 m e 12 m, sendo a distância dos centros 15 m.

10) O segmento de recta definido pelos centros de duas circunferências exteriores é intersectado pela tangente interior comum, num ponto que dista dos centros 5 m e 20 m. Sabendo que os raios das circunferências medem 3 m e 12 m, determinar a medida do segmento da tangente limitado pelos pontos de contacto.

11) Um dos catetos de um triângulo rectângulo mede 12 cm e a hipotenusa 20 cm. Determinar a medida da altura referente à hipotenusa.

12) Um cateto de um triângulo rectângulo mede 6 cm e a hipotenusa 6,1 cm; noutro triângulo semelhante o cateto menor mede 11 cm. Determinar o perímetro deste último triângulo.

13) Determinar a medida da hipotenusa de um triângulo rectângulo de perímetro igual a 24 cm e semelhante a outro cujos catetos medem3 cm e 4 cm.

14) Um triângulo rectângulo cujos catetos medem 6 m e 8 m é semelhante a outro cuja hipotenusa mede 30 m. Determinar as medidas dos catetos deste triângulo.

15) Determinar gràficamente os valores de: a) x = √ 6² + 8² ;   b) x = √ 4 + 9 ;    c) x = √ 2² + 3² + 4² . Justificar as construções.

16) Determinar gràficamente os valores de: a) x = √ 2 ;    b) x = √ 3 ;    c) x = √ 4 (¹) . Justificar as construções.

(¹) Notar que, por exemplo, √ 3 se pode considerar √ 1² + 1² + 1² 

17) Determinar gràficamente os valores de: a) x = √10² - 6² ;    b) x = √ 4² - 3,2²  ;   c) x = √4² + 3² - 2 ² . Justificar as construções.

18) Sendo o Δ ABC rectângulo em A, D o ponto médio de AB e DE ⊥ BC, demonstrar que EC² - EB² = AC.

19) Para se determinar a distância entre dois pontos A e B (Fig. 358) separados por uma cas, marcaram-se duas direcções perpendiculares AC e BC. Verificou-se, em seguida, que AC = 12 m e BC = 16 m.

Qual é a distância de A a B?

 

 

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Fig. 358

Criado com with Cinderella

 

260) TEOREMA: Num triângulo, o quadrado do lado opostoa um ângulo agudo é igual á soma dos quadrados dos outros dois menos o dobro do produto de um deles pela projecção do outro sobre ele (Fig. 359).

Hipótese: Dado o Δ ABC em que

∠ A é agudo e BD ⊥ AC.

Tese: a² = b² + c² - 2bm.

 

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Fig. 359

Criado com Cinderella

Demonstração

Passos

1) h² = a² - n² ;   h² = c² - m²

2) a² - n² = c² - m²

3) a² - (b - m)² = c² - m²

4) a² = b² + c² - 2bm (²)

(²) O estudante pode verificar que este teorema tanto é aplicável para o triângulo acutângulo como para o rectângulo ou para o obtusângulo 



Justificações

1) Porquê? (258, Cor.).

2) Porquê? (63, 1.ª).

3) Porque n = b - m.

4) Da alínea 3.

 

 

 

261) TEOREMA: Num triângulo obtusângulo, o quadrado do lafo oposto ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados dos outros dois mais o dobro do produto de um deles pela projecção do outro sobre ele (Fig. 360)

Hipótese: Dados o Δ ABC em que

∠  C é obtuso e BD ⊥ AC.

Tese: c² = a ² + b² - 2bm

 

 

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Fig. 360

Criado com Cinderella

Demonstração

Passos

1) b² = a² - m² ;   h² = c² - (b + m)²

2) a² - m² = c² - (b + m)²

3) c² = a² + b² + 2bm



Justificações

1) Porquê? (258, Cor.).

2) Porquê? (63, 1.ª).

3) Da alínea 2.

 

Aplicações:

I - Determinar a projecção do lado b sobre o lado a no Δ ABC em que a = 10 cm, b = 7 cm e c = 8 cm.

Notemos que nos segundos membros das relações anteriormente deduzidas só figuram dois lados e a projecção de um destes lados sobre o outro. Convirá, neste caso, que no segundomembro só figurem os lados a e b para se poder determinar a projecção de b sobre a.

Como ∠ A é o maior ângulo, visto ser o maior lado (91, Cor. I), c está oposto a um ângulo agudo. Devemos, portanto, aplicar a igualdade.

c² = a² + b² + 2a

ou, efectuando as substituições,

64 = 100 + 49 - 2 × 10. m

donde

m = 4,25 cm.

 

II - Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ ABC em que a = 3, b = 5 e c = 6.

Como um triângulo não pode ter mais do que um ângulo obtuso ou um ângulo recto (136, Cor. I), só o ∠ C o poderá ser.

Atendendo aos teoremas anteriores (259, 260 e 261), conclui-se que conforme o quadrado de c for igual, menor ou maior do que a soma dos quadrados dos outros dois lados, a e b, assim o triângulo é rectângulo, acutângulo ou obtusângulo.

Por ser c² = 36 e a² + b² = 34, podemos afirmar que o triângulo é obtusângulo, visto ser necessário adicionar 2 ( 2am ou 2bm ) a a² + b² para dar um resultado igual a c² (261).

 

EXERCÍCIOS LXV

1) Determinar a projecção do lado c sobre o lado a, no Δ ABC em que a = 8 cm, b = 4 cm e c = 6 cm.

2) Determinar a projecção do lado x sobre o lado z, no Δ XYZ em que x = 6, y = 7 e z = 5.

3) Determinar a projecção do lado x sobre o lado y, no Δ XYZ em que x = 6 m, y = 8 m e z = 7 m.

4) Determinar a projecção do lado n sobre o lado m, no Δ MNP em que m = 5, n = 6 e p = 8.

5) Determinar a medida do lado r do Δ RST, sabendo que s = 5 cm, t = 7 cm e a projecção de t sobre s é 3,8 cm. O Δ RST é acutângulo.

6) Determinar a medida do lado a do Δ ABC, obtusângulo em A, em que b = 8 cm, c = 4 cm e a projecção do lado b sobre c é igual a 2,5 cm.

7) Determinar a medida do lado z do ΔXYZ, obtusângulo em X, em que x = 10 m, y = 5 m e a projecção do lado y sobre o lado x é igual a 3,05 m.

8) No Δ ABC determinar a, sabendo que b = 3 dm, c = 5 dm e ∠ A = 45° . (Aproximar a centímetros).

9) No Δ ABC a = 4 dm, b = 15 dm e c = 13 dm. Determinar a medida da altura relativa ao lado a.

10) No Δ XYZ x = 20 m, y = 18 m e z = 34 m. Determinar a medida da altura relativa ao lado y.

11) No Δ XYZ x = 7 cm, y = 6 cm e z = 10 cm. Determinar a medida da altura relativa ao lado z.

12) No paralelogramo ABCD, AB = 24 cm, BC = 9 cm e a projecção de AB sobre AD mede 12 cm. Determinar a medida da diagonal BD.

13) Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ ABC em que a = 4 dm, b = 7 dm e c = 10 dm. Justificar a resposta.

14) Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ XYZ em que x = 7 m, y = 8 m e z = 9 m. Justificar a resposta.

15) Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ MNP em que m = 0,3, n = 0,5 e p = 0,4. Justificar a resposta.

16) Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ ABC em que a = 9 cm, b = 9 cm e c = 13 cm. Justificar a resposta.

17) No Δ ABC, AB = 8 cm, BC = 15 cm e ∠ ABC > 90°. Provar que AC > 17 cm.

18) No Δ XYZ, x = 24 cm, y = 10 cm e ∠ XYZ < 90°. Provar que z < 26 cm.

19) Qual é o maior número inteiro, em centimetros, que pode ser tomado para lado de um triângulo acutângulo, sabendo que os outros dois lados medem 4 cm e 7 cm.

20) O Δ ABC é isósceles de base BC; seja CD a altura relativa ao lado AB. Demonstrar que BC² = 2 AB · BD.

21) AD e BE são duas alturas do Δ ABC. Demonstrar que EC × AC = CD × BC.

 

262) TEOREMA: Num triângulo, a bissectriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos aditivosproporcionais aos lados adjacentes (Fig. 361).

Hipótese: BD é a bissectriz

do ∠ B do Δ ABC.

Tese: AD ⁄ AB = DC ⁄ BC

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Fig. 361

Created with Cinderella

Demonstração

Prolongue-se o lado BC do Δ ABC e, pelo vértice A, tire-se uma recta AB ‌ ‌  BD. Como BD é interior ao ∠ ABC o ponto D é interior ao lado AC (49).

Passos

1) AD ⁄ EB = DC ⁄ BC

2) ∠ EAB = ∠ ABD.

3) ∠ AEB = ∠ DBC.

4) ∠ ABD = ∠ DBC.

5) ∠ EAB = ∠ AEB.

6) EB = AB.

7) AD ⁄ AB = DC ⁄BC



Justificações

1) Porquê? (239, Cor.I).

2) Porquê? (122).

3) Porquê? (124).

4) Porquê? (44).

5) Pelas alíneas 2, 3 e 4 (63, 1.ª).

6) Porquê? (88).

7) Substituindo 6 em 1 (85, 1.ª).

 



 

EXERCÍCIOS LXVI

1) Se (Fig. 361) AB = 12 cm, BC = 16 cm e AD = 6 cm, quanto mede DC?

2) Se (Fig. 361) AB = 9 m, BC = 15 m e AC = 16 m, quanto mede AD?

3) Se (Fig. 361) BC = 16 cm, AC = 21 cm e DC = 12 cm, quanto mede AD?

4) Os lados AB, BC e CA do Δ ABC medem, respectivamente, 8, 7 e 6 centímetros. Determinar o comprimento dos segmentos em que a bissectrz do ângulo interno A divide o lado oposto.

5) Determinar a grandeza dos segmentos em que a bissectriz do ângulo interno Y do Δ XYZ divide o lado oposto, sendo XY = 8 m, XZ = 5 m e YZ = 12 m.

6) Determinar as medidas dos segmentos em que a bissectriz do ∠ A do Δ ABC, rectângulo em B, divide o lado oposto, sendo b = 25 cm e c = 15 cm.

7) Os segmentos em que a bissectriz do ângulo interno C do Δ ABC divide o lado oposto medem 6 e 3 metros. Sendo BC o lado maior, e sabendo que BC + AC = 18 metros, determinar as medidas dos lados do triângulo.

8) O Δ ABC tem os vértices sobre a Θ(O). Seja D o ponto médio do AB. Trace-se o segmento CD e seja E o ponto onde CD encontra o lado AB. Demonstrar que AE × BC = BE × AC.

 

263) TEOREMA: Num triângulo, a bissectriz de um ângulo externo divide o lado oposto em dois segmentos subtractivos proporcionais aos lados adjacentes (Fig. 362).

Hipótese: BD é a bissectriz

do ∠ B do Δ ABC.

Tese: AD ⁄ AB = DC ⁄BC

 

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Fig. 362

Criado com Cinderella

Demonstração

Pelo vértice C do Δ ABC tire-se uma recta CE ‌ ‌  BD. Se BD é exterior ao ∠ ABC não pode intersectar o lado AC (49), só podendo, por isso, intersectar o seu prolongamento.

Passos

1) AD ⁄ AB = CD ⁄ EB

2) ∠ ECB = ∠ CBD.

3) ∠ BEC = ∠ FBD.

4) ∠ CBD = ∠ FBD.

5) ∠ ECB = ∠ BEC.

6) EB = BC.

7) AD ⁄ AB = CD ⁄BC



Justificações

1) Porquê? (239, Cor.I).

2) Porquê? (122).

3) Porquê? (124).

4) Porquê? (44).

5) Pelas alíneas 2, 3 e 4 (63, 1.ª).

6) Porquê? (88).

7) Substituindo 6 em 1 (85, 1.ª).

 



 

 

EXERCÍCIOS LXVII

1) Se (Fig. 362) AB = 20 cm, BC = 12 cm e CD = 9 cm, quanto mede AD?

2) Se (Fig. 362) AB = 18 m, BC = 15 m e AD = 24 m, quanto mede AC?

3) Se (Fig. 362) AB = 20 cm, BC = 15 cm e AC = 6 cm, quanto mede AD e CD?

4) Determinar a grandeza dos segmentos subtractivos em que a bissectriz do ângulo externo em B do Δ ABC divide o lado oposto, sendo AB = 10 m, BC = 8 m e AC = 4 m.

5) Determinar a grandeza dos segmentos em que a bissectriz do ângulo interno Y do Δ XYZ divide o lado oposto, sendo XY = 8 m, XZ = 5 m e YZ = 12 m.

6) Determinar a grandeza dos segmentos subtractivos em que a bissectriz do ângulo externo em C do Δ ABC divide o lado oposto, sendo BC = 4 m, AC = 6 m e AB = 7 m.

7) Determinar as medidas dos segmentos subtractivos em que a bissectriz do ângulo externo em C divide o lado oposto no Δ ABC, rectângulo em A, sendo b = 2,8 m, m e c = 21 m.

8) Os segmentos sutractivos em que a bissectriz do ângulo externo em A do Δ ABC divide o lado oposto medem 28 m e 20 m. Sendo AB > AC e AC + 2 AB = 19 m, determinar as medidas dos lados do triângulo.

9) As bissectrizes do ângulo interno e do ângulo externo em A do Δ ABC intersectam o lado oposto e o seu prolongamento, respectivamente, nos pontos D e E. Demonstrar que BD ⁄ DC = BD ⁄ DC.