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PF - Capítulo XI (I) |
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Antonieta Constantino [não registado], 2006-07-29 01:24 [#817] |
Ficheiro anexo 'CapituloXI(I).html': |
CAPÍTULO XI
I
CONSEQUÊNCIAS NUMÉRICAS DA SEMELHANÇA
APLICADAS AOS TRIÂNGULOS
255) Projecção ortogonal de um ponto sobre uma recta é o pé da perpendicular baixada desse ponto para a recta. Na Fig. 346 o ponto B é a projecção ortogonal do ponto A sobre a recta CD ( AB ⊥ CD ).
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Fig.346 Criado com Cinderella |
Projecção ortogonal de um segmento sobre uma recta (¹) é o segmento definido pelas projecções ortogonais dos extremos do segmento sobre a recta ( Fig. 347) .
_______________
(¹) Além das projecções ortogonais, há as projecções oblíquas que não fazem parte do programa liceal e, por isso, quando nos exercícios e parágrafos seguintes se fizer referência a projecções só consideraremos as ortogonais.
Fig. 347
Criado com Cinderella
Como na Fig. 347 MM'⊥ AB, NN' ⊥ AB, PP' ⊥ AB, RR' ⊥ AB e TT' ⊥ AB, os segmentos M'N', P'R' e S'T' são as projecções ortogonais dos segmentos MN, PR e ST sobre a recta AB.
No segmento ST o ponto S e a projecção S' coincidem, visto S existir sobre a recta AB.
O segmento XY ⊥ AB tem como projecção ortogonal um ponto, visto coincidirem as projecções X' e Y' dos pontos X e Y.
EXERCÍCIOS LXII
1) Num Δ ABC acutângulo determinar as projecções do lado AB sobre BC, do lado BC sobre AC e do lado AC sobre AB.
2) Num Δ XYZ, obtusângulo em X, determinar a projecção do lado XYsobre o lado XZe do lado XZ sobre o lado XY.
3) Qual é a projeccção de um cateto de um triângulo rectângulo sobre o outro cateto?
4) Determinar as projecções dos braços de um triângulo isósceles sobre a base. Têm alguma relação de grandeza as projecções?
5) Que relação tem um segmento paralelo a uma recta com a sua projecção sobre essa recta?
6) Qual é a projecção de uma das diagonais de um quadrado sobre a outra diagonal?
7) Qual é a projecção da diagonal de um rectângulosobre cada um dos lados do rectângulo?
256) Meio proporcional entre dois segmentos AB e CD é o segmento XY tal que
AB ⁄ XY = XY ⁄ CD ou XY² = AB × CD
257) TEOREMA: Num triângulo rectângulo, a alura referente à hipotenusa divide-o em dois triângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado
(Fig.348)
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Fig. 348 Criado com Cinderella |
Demonstração
Passos
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Justificações
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COR. 1 - Num triângulo rectângulo, a altura referente à hipotenusa é meio proporcional entre os segmentos que determina na hipotenusa (Fig. 349)
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Fig. 349 Criado com Cinderella |
BD ⁄ AD = AD ⁄ CD ou n ⁄ h = h ⁄ m
sendo n = med. BD, h = med. AD e m = med. CD.
COR II - Num triângulo rectângulo, qualquer cateto é meio proporcional entre a hipotenusa e a sua projecção sobre ela (Fig. 350).
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Fig. 350 Criado com Cinderella |
Considerando o Δ ABC e o Δ ACD da Fig. 348, concluía-se anàlogamente que:
BC ⁄ AC = AC ⁄ CD ou a ⁄ b = b ⁄ m
COR III - Num triângulo rectângulo, a altura referente à hipotenusa é o quarto proporcional entre a hipotenusa e os catetos.
Da Fig. 350 conclui-se que
BC ⁄ AB = AC ⁄ AD ou a ⁄ c = b ⁄ h
Aplicação:
Determinar gràficamente o meio proporcional entre 2 e 4,5.
Justificar a construção.
Marquemos, no mesmo sentido, sobre uma recta (Fig. 351) um segmento AB = 2 unidades e outro BC = 4,5 unidades.
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Fig. 351 Criado com Cinderella |
Justificação:
O Δ ADC é rectângulo porque o ∠ ADC está inscrito numa semicircunferência (219, Cor. 1) e, portanto,
AB ⁄ BD = BD ⁄ BC ou 2 ⁄ BD = BD ⁄ 4,5
EXERCÍCIOS LXIII
Na Fig. 352 o Δ ABC é rectângulo em A, h é a medida da altura referente à hipotenusa, m e n as medidas das projecções dos catetos sobre a hipotenusa.
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Fig. 352 Criado com Cinderella |
8) Num triângulo rectângulo a altura referente à hipotenusa mede 6 cm e a projecção de um dos catetos sobre a hipotenusa 4 cm. Quanto mede a hipotenusa?
9) Num triângulo rectângulo a hipotenusa mede 10 m e a projecção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede 6,4 m. Calcular a medida do outro cateto.
10) No Δ XYZ, em que ∠ Y = 90° , z = 8 cm e y = 16 cm, qual é a projecção de z sobre y?
11) Determinar a medida do raio de uma circunferência, sabendo que um dos segmentos em que uma corda de 8 m divide o seu diâmetro conjugado¹ mede 2 m.
12) Os segmentos que uma corda de uma circunferência determina no seu diâmetro conjugado medem 3 m e 12 m. Qual é o comprimento da corda?
13) O pé da perpendicular baixada de um ponto dee uma circunferênciapara um diâmetro divide este em dois segmentos cujas medidas são 2 m e 30 m. Quais são as distâncias do ponto aos extremos do diâmetro?
14) Determinar gràficamente o meio proporcional entre: a) 2 e 8 ; b) 2,5 e 10 . Justificar as construções.
15) Determinar gràficamente: a) √ 12 ; b) √ 18 .
16) Dados dois segmentos a e b, determinar gràficamente o segmento: a) x = √ a · b ; b) x = √3a · b.
17) Demonstrar que os quadrados dos catetos de um triângulo rectângulo estão entre si como as suas projecções sobre a hipotenusa.
18) Demonstrar que, se um cateto de um triângulo rectângulo é triplo do outro, a projecção de um deles sobre a hipotenusa é nove vezes maior que a do outro.
______________( ¹ É o diâmetro perpendicular à corda.)
258) TEOREMA DE PITÁGORAS: Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (Fig. 353).
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Fig. 353 Criado com Cinderella |
Demonstração
Trace-se a altura AD relativa à hipotenusa.
Passos
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Justificações
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COR. - Num triângulo rectângulo, o quadrado de um cateto é igual à diferença entre o quadrado da hipotenusa e o quadrado do outro cateto.
Do teorema anterior deduz-se que
b² = a² - c² e c² = a² - b²
259) TEOREMA RECÍPROCO DO DE PITÁGORAS: Se num triângulo o quadrado de um lado é igual á soma dos quadrados dos outros dois, o triângulo é rectângulo (Fig. 354).
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Fig. 354 Criado com Cinderella |
Demonstração
Construa-se o Δ MNP, rectângulo em M e cujos catetos, MP e MN, sejam, respectivamente, iguais a AC e AB.
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Justificações
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Aplicações:
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Fig. 355 Criado com Cinderella |
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Fig. 356 Criado com Cinderella |
Justificação:
Pelo teorema de Pitágoras teremos,
AC² = BC² + AB² e CD ² = AC² + AD²
donde
CD ² = BC² + AB² + AD²
ou
CD = √ 1² +2² + 3²
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Fig. 357 Criado com Cinderella |
Justificação:
Como ∠ ACB = 1 ∠ recto, o Δ ACB é rectângulo em C e, portanto,
BC² = AB² - AC²
donde
BC = √ 5² - 4².
EXERCÍCIOS LXIV
1) Quanto mede a hipotenusa de um triângulo rectângulo em que um dos catetos mede 18 cm e o outro é 4 ⁄3 deste?
2) Determinar a medida de um dos lados de um rectângulo cujadiagonal mede 26 cm e o outro lado adjacente àquele 24 cm.
3) Determinar o comprimento de uma corda traçada numa circunferência cujo raio mede 5 cm e cuja distância ao centro é de 3 cm.
4) A altura de um trapézio rectângulo mede 2 cm e a diagonal menor mede 2,5 cm; quanto mede a base menor?
5) Determinar a medida do lado de um losango cujas diagonais medem 0,6 m e 0,8 m.
6) Sabendo que os catetos de um triângulo rectângulo medem 30 cm e 40 cm, determinar as medidas das suas projecções sobre a hipotenusa.
7) Os raios de duas circunferências concêntricas medem 4 cm e 5 cm. Determinar o comprimento da corda da circunferência maior que é tangente à circunferência menor.
8) Determinar a medida da altura de um trapézio isósceles cujas bases medem 7,2 m e 2,4 m e a diagonal 6 m.
9)Determinar a medida do segmento da tangente exterior comum a duas circunferências cujos raios medem 3 m e 12 m, sendo a distância dos centros 15 m.
10) O segmento de recta definido pelos centros de duas circunferências exteriores é intersectado pela tangente interior comum, num ponto que dista dos centros 5 m e 20 m. Sabendo que os raios das circunferências medem 3 m e 12 m, determinar a medida do segmento da tangente limitado pelos pontos de contacto.
11) Um dos catetos de um triângulo rectângulo mede 12 cm e a hipotenusa 20 cm. Determinar a medida da altura referente à hipotenusa.
12) Um cateto de um triângulo rectângulo mede 6 cm e a hipotenusa 6,1 cm; noutro triângulo semelhante o cateto menor mede 11 cm. Determinar o perímetro deste último triângulo.
13) Determinar a medida da hipotenusa de um triângulo rectângulo de perímetro igual a 24 cm e semelhante a outro cujos catetos medem3 cm e 4 cm.
14) Um triângulo rectângulo cujos catetos medem 6 m e 8 m é semelhante a outro cuja hipotenusa mede 30 m. Determinar as medidas dos catetos deste triângulo.
15) Determinar gràficamente os valores de: a) x = √ 6² + 8² ; b) x = √ 4 + 9 ; c) x = √ 2² + 3² + 4² . Justificar as construções.
16) Determinar gràficamente os valores de: a) x = √ 2 ; b) x = √ 3 ; c) x = √ 4 (¹) . Justificar as construções.
(¹) Notar que, por exemplo, √ 3 se pode considerar √ 1² + 1² + 1²
17) Determinar gràficamente os valores de: a) x = √10² - 6² ; b) x = √ 4² - 3,2² ; c) x = √4² + 3² - 2 ² . Justificar as construções.
18) Sendo o Δ ABC rectângulo em A, D o ponto médio de AB e DE ⊥ BC, demonstrar que EC² - EB² = AC.
19) Para se determinar a distância entre dois pontos A e B (Fig. 358) separados por uma cas, marcaram-se duas direcções perpendiculares AC e BC. Verificou-se, em seguida, que AC = 12 m e BC = 16 m.
Qual é a distância de A a B?
Fig. 358
Criado com with Cinderella
260) TEOREMA: Num triângulo, o quadrado do lado opostoa um ângulo agudo é igual á soma dos quadrados dos outros dois menos o dobro do produto de um deles pela projecção do outro sobre ele (Fig. 359).
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Fig. 359 Criado com Cinderella |
Demonstração
Passos
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Justificações
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261) TEOREMA: Num triângulo obtusângulo, o quadrado do lafo oposto ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados dos outros dois mais o dobro do produto de um deles pela projecção do outro sobre ele (Fig. 360)
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Fig. 360 Criado com Cinderella |
Demonstração
Passos
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Justificações
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Aplicações:
I - Determinar a projecção do lado b sobre o lado a no Δ ABC em que a = 10 cm, b = 7 cm e c = 8 cm.
Notemos que nos segundos membros das relações anteriormente deduzidas só figuram dois lados e a projecção de um destes lados sobre o outro. Convirá, neste caso, que no segundomembro só figurem os lados a e b para se poder determinar a projecção de b sobre a.
Como ∠ A é o maior ângulo, visto ser o maior lado (91, Cor. I), c está oposto a um ângulo agudo. Devemos, portanto, aplicar a igualdade.
c² = a² + b² + 2am
ou, efectuando as substituições,
64 = 100 + 49 - 2 × 10. m
donde
m = 4,25 cm.
II - Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ ABC em que a = 3, b = 5 e c = 6.
Como um triângulo não pode ter mais do que um ângulo obtuso ou um ângulo recto (136, Cor. I), só o ∠ C o poderá ser.
Atendendo aos teoremas anteriores (259, 260 e 261), conclui-se que conforme o quadrado de c for igual, menor ou maior do que a soma dos quadrados dos outros dois lados, a e b, assim o triângulo é rectângulo, acutângulo ou obtusângulo.
Por ser c² = 36 e a² + b² = 34, podemos afirmar que o triângulo é obtusângulo, visto ser necessário adicionar 2 ( 2am ou 2bm ) a a² + b² para dar um resultado igual a c² (261).
EXERCÍCIOS LXV
1) Determinar a projecção do lado c sobre o lado a, no Δ ABC em que a = 8 cm, b = 4 cm e c = 6 cm.
2) Determinar a projecção do lado x sobre o lado z, no Δ XYZ em que x = 6, y = 7 e z = 5.
3) Determinar a projecção do lado x sobre o lado y, no Δ XYZ em que x = 6 m, y = 8 m e z = 7 m.
4) Determinar a projecção do lado n sobre o lado m, no Δ MNP em que m = 5, n = 6 e p = 8.
5) Determinar a medida do lado r do Δ RST, sabendo que s = 5 cm, t = 7 cm e a projecção de t sobre s é 3,8 cm. O Δ RST é acutângulo.
6) Determinar a medida do lado a do Δ ABC, obtusângulo em A, em que b = 8 cm, c = 4 cm e a projecção do lado b sobre c é igual a 2,5 cm.
7) Determinar a medida do lado z do ΔXYZ, obtusângulo em X, em que x = 10 m, y = 5 m e a projecção do lado y sobre o lado x é igual a 3,05 m.
8) No Δ ABC determinar a, sabendo que b = 3 dm, c = 5 dm e ∠ A = 45° . (Aproximar a centímetros).
9) No Δ ABC a = 4 dm, b = 15 dm e c = 13 dm. Determinar a medida da altura relativa ao lado a.
10) No Δ XYZ x = 20 m, y = 18 m e z = 34 m. Determinar a medida da altura relativa ao lado y.
11) No Δ XYZ x = 7 cm, y = 6 cm e z = 10 cm. Determinar a medida da altura relativa ao lado z.
12) No paralelogramo ABCD, AB = 24 cm, BC = 9 cm e a projecção de AB sobre AD mede 12 cm. Determinar a medida da diagonal BD.
13) Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ ABC em que a = 4 dm, b = 7 dm e c = 10 dm. Justificar a resposta.
14) Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ XYZ em que x = 7 m, y = 8 m e z = 9 m. Justificar a resposta.
15) Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ MNP em que m = 0,3, n = 0,5 e p = 0,4. Justificar a resposta.
16) Dizer qual a natureza, quanto aos ângulos, do Δ ABC em que a = 9 cm, b = 9 cm e c = 13 cm. Justificar a resposta.
17) No Δ ABC, AB = 8 cm, BC = 15 cm e ∠ ABC > 90°. Provar que AC > 17 cm.
18) No Δ XYZ, x = 24 cm, y = 10 cm e ∠ XYZ < 90°. Provar que z < 26 cm.
19) Qual é o maior número inteiro, em centimetros, que pode ser tomado para lado de um triângulo acutângulo, sabendo que os outros dois lados medem 4 cm e 7 cm.
20) O Δ ABC é isósceles de base BC; seja CD a altura relativa ao lado AB. Demonstrar que BC² = 2 AB · BD.
21) AD e BE são duas alturas do Δ ABC. Demonstrar que EC × AC = CD × BC.
262) TEOREMA: Num triângulo, a bissectriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos aditivosproporcionais aos lados adjacentes (Fig. 361).
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Fig. 361 Created with Cinderella |
Demonstração
Prolongue-se o lado BC do Δ ABC e, pelo vértice A, tire-se uma recta AB BD. Como BD é interior ao ∠ ABC o ponto D é interior ao lado AC (49).
Passos
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Justificações
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EXERCÍCIOS LXVI
1) Se (Fig. 361) AB = 12 cm, BC = 16 cm e AD = 6 cm, quanto mede DC?
2) Se (Fig. 361) AB = 9 m, BC = 15 m e AC = 16 m, quanto mede AD?
3) Se (Fig. 361) BC = 16 cm, AC = 21 cm e DC = 12 cm, quanto mede AD?
4) Os lados AB, BC e CA do Δ ABC medem, respectivamente, 8, 7 e 6 centímetros. Determinar o comprimento dos segmentos em que a bissectrz do ângulo interno A divide o lado oposto.
5) Determinar a grandeza dos segmentos em que a bissectriz do ângulo interno Y do Δ XYZ divide o lado oposto, sendo XY = 8 m, XZ = 5 m e YZ = 12 m.
6) Determinar as medidas dos segmentos em que a bissectriz do ∠ A do Δ ABC, rectângulo em B, divide o lado oposto, sendo b = 25 cm e c = 15 cm.
7) Os segmentos em que a bissectriz do ângulo interno C do Δ ABC divide o lado oposto medem 6 e 3 metros. Sendo BC o lado maior, e sabendo que BC + AC = 18 metros, determinar as medidas dos lados do triângulo.
8) O Δ ABC tem os vértices sobre a Θ(O). Seja D o ponto médio do AB. Trace-se o segmento CD e seja E o ponto onde CD encontra o lado AB. Demonstrar que AE × BC = BE × AC.
263) TEOREMA: Num triângulo, a bissectriz de um ângulo externo divide o lado oposto em dois segmentos subtractivos proporcionais aos lados adjacentes (Fig. 362).
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Fig. 362 Criado com Cinderella |
Demonstração
Pelo vértice C do Δ ABC tire-se uma recta CE BD. Se BD é exterior ao ∠ ABC não pode intersectar o lado AC (49), só podendo, por isso, intersectar o seu prolongamento.
Passos
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Justificações
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EXERCÍCIOS LXVII
1) Se (Fig. 362) AB = 20 cm, BC = 12 cm e CD = 9 cm, quanto mede AD?
2) Se (Fig. 362) AB = 18 m, BC = 15 m e AD = 24 m, quanto mede AC?
3) Se (Fig. 362) AB = 20 cm, BC = 15 cm e AC = 6 cm, quanto mede AD e CD?
4) Determinar a grandeza dos segmentos subtractivos em que a bissectriz do ângulo externo em B do Δ ABC divide o lado oposto, sendo AB = 10 m, BC = 8 m e AC = 4 m.
5) Determinar a grandeza dos segmentos em que a bissectriz do ângulo interno Y do Δ XYZ divide o lado oposto, sendo XY = 8 m, XZ = 5 m e YZ = 12 m.
6) Determinar a grandeza dos segmentos subtractivos em que a bissectriz do ângulo externo em C do Δ ABC divide o lado oposto, sendo BC = 4 m, AC = 6 m e AB = 7 m.
7) Determinar as medidas dos segmentos subtractivos em que a bissectriz do ângulo externo em C divide o lado oposto no Δ ABC, rectângulo em A, sendo b = 2,8 m, m e c = 21 m.
8) Os segmentos sutractivos em que a bissectriz do ângulo externo em A do Δ ABC divide o lado oposto medem 28 m e 20 m. Sendo AB > AC e AC + 2 AB = 19 m, determinar as medidas dos lados do triângulo.
9) As bissectrizes do ângulo interno e do ângulo externo em A do Δ ABC intersectam o lado oposto e o seu prolongamento, respectivamente, nos pontos D e E. Demonstrar que BD ⁄ DC = BD ⁄ DC.