CAPÍTULO III

I

ÂNGULOS SÓLIDOS

400) Dadas três semi-rectas não complanares, com a mesma origem, chama-se triedro à intersecção dos três semi-espaços cujas origens são os planos definidos por cada par de semi-rectas e que contêm a outra semi-recta.

Assim, na Fig. 507 estão representadas as três semi-rectas VA, VB e VC não complanares e os semi-espaços ABVC, BVCA e AVCB.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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As semi-rectas VA, VB e VC são as arestas do triedro, O ponto V origem comum destas semi-rectas é o vértice do triedro e o ﮮ AVB, o ﮮBVC e o ﮮ AVC que limitam o triedro são as suas faces.

A notação usada para se representar um triedro é a de escrever, a seguir à letra correspondente ao vértice, as letras correspondentes a pontos existentes cada um na sua aresta. Na Fig. 507 está representado o triedro V-ABC.

Os semi-planos que contenham duas faces consecutivas de um triedro e que tenham como origem comum à aresta correspondente definem um diedro do triedro.

As faces e os diedros de um triedro são os seus elementos.

401) Consideremos as semi-rectas VA, VB, VC, ……, VM de origem comum V, não complanares três a três e tais que o plano definido por duas consecutivas deixa todas as outras no mesmo semi-espaço.

Dá-se o nome de ângulo sólido convexo, ângulo poliédrico convexo ou angulóide convexo, à intersecção de todos os semi-espaços cujas origens são os planos definidos por duas semi-rectas consecutivas, e que contêm todas as outras semi-rectas (1).

As semi-rectas VA, VB, VC, ……, VM têm o nome de arestas do ângulo sólido, os ângulos definidos por duas arestas consecutivas são as faces e a origem comum das semi-rectas é o vértice no ângulo sólido.

Duas faces de um ângulo sólido dizem-se consecutivas quando têm uma aresta comum.

A notação usada para se representar um ângulo sólido é a de escrever, a seguir à letra correspondente ao vértice, as letras correspondentes a pontos existentes cada um na sua aresta.

Na Fig. 508 está representado o ângulo sólido convexo V-ABCDE.

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Os dois semi-planos que contêm duas faces consecutivas de um ângulo sólido e que tenham como origem comum a aresta cor­respondente definem um diedro do ângulo sólido.

As faces e os diedros de um ângulo sólido são os elementos do ângulo sólido.

402) Um ângulo sólido diz-se triedro (400), tetraedro, pentaedro, hexaedro, etc., conforme o número de faces é de três, quatro, cinco (Fig. 508), seis, etc.

403) Um ponto diz-se interior a um ângulo sólido quando lhe pertence mas não existe em nenhuma das faces.

O conjunto dos pontos interiores a um ângulo sólido formam o seu interior.

Os pontos que não pertencem ao interior de um ângulo sólido nem às suas faces são exteriores e o seu conjunto é o exterior do ângulo sólido.

Facilmente se conclui que os Pontos interiores ao segmento definido por dois pontos, cada um da sua face de um ângulo sólido, são interiores a este ângulo sólido.

Também a semi-recta cuja origem é o vértice do ângulo sólido e que passa por um ponto interior, tem todos os seus pontos interiores ao ângulo sólido, com excepção da origem.

Uma semi-recta nestas condições diz-se interior ao ângulo sólido.

404) Um triedro denomina-se rectângulo, birrectângulo, trirrectângulo ou oitante quando tem um, dois ou três diedros rectos.

Um triedro diz-se equilátero quando tem as três faces: iguais, isósceles duas e escaleno as três faces desiguais.

405) Para se representarem as faces de um triedro usaremos letras minúsculas correspondentes às letras maiúsculas de pontos marcados nas arestas opostas.

Assim, no triedro V-ABC (Fig. 507), a face a opõe-se à aresta VA, a face b à aresta VB e a face c à aresta VC. Desde, que não existam dúvidas, também representaremos os diedros pela letra maiúscula correspondente; teremos assim o Died. A, o Died. B e o Died. C.

EXERCÍCIOS CXI

1) Classificar o triedro cujas faces têm por medidas π/4:rad., ½ ﮮ recto e 50g.

2) Classificar o triedro cujos diedros têm por medidas 80º, 90º e π/2 rad.

3) Classificar o triedro cujas faces têm por medidas π/4rad., 100 g e 90º.

4) Fez-se passar um plano por duas arestas não consecutivas de um ângulo sólido pentaedro. Como se chama cada uma das partes em que ficou dividido o ângulo sólido?

5) Qual é o número de planos que é necessário fazer passar por uma das arestas de um ângulo sólido hexaedro e pelas outras arestas, não consecutivas, para o decompor em triedros?

6) Qual é a secção feita num ângulo sólido hexaedro por um plano que intersecta todas as arestas?

7) Qual é a secção feita num triedro equilátero por um plano perpendicular a uma das arestas?

8) Qual é a secção feita num triedro por um plano paralelo a uma face?

9) Qual é a secção feita num ângulo sólido tetraedro por um plano paralelo a uma das arestas?

II

RELAÇÕES ENTRE AS FACES DE UM TRIEDRO

406) Teorema: Num triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas (Fig. 509).

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Hipótese: Dado o triedro V-ABC.

Tese: a < b+c;     b < c+a;           c < a+b.

Demonstração

Suponhamos que b é a maior face. Sobre esta face trace-se uma semi-recta VD de forma que ﮮCVD = ﮮ BVC e marque-se VB = VD.

Tomando B para um dos vértices do Δ ABC, construa-se este triângulo de forma que AC passe por D.

Teremos                                      Δ BVC = Δ CVD

visto ser VB = VD,  ﮮCVD = ﮮ BVC e VC comum aos dois triângulos (79). Será, portanto (75-2.ª),

BC = CD.

DoΔ ABC conclui-se que (84, Cor.)

AB > AC – BC

ou                                                                   AB > AC - CD

donde                                                             AB > AD.

Do Δ  AVD e do Δ AVB conclui-se que (1)

AVD < AVB

donde (85-3.ª)                                    AVD + DVO < AVB + BVC

e, portanto,                                                     b < c + a.

Como se supôs ser b a maior face, o teorema é evidente para as faces a e c.

Cor. I – Num triedro, qualquer face é maior do que a diferença das outras duas.

Conclui-se imediatamente das relações anteriores. Supondo b > a > c, teremos:

a > b – c;         b > a – c          e          c > b – a.

As relações anteriores ainda são verificadas se

a = b = c          ou                    a = b > c          ou        b > a = c.

Cor. II – Qualquer face de um triedro está compreendida entre a soma das outras duas e a sua diferença.

Cor. III – Num ângulo sólido, qualquer face é menor do que a soma de todas as outras.

Este corolário é evidente para todas as faces excepto para a maior.

Seja AVD a face maior (Fig. 510).

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Decomponhamos o ângulo sólido em triedros em que a aresta comum seja VA. Teremos, no triedro V-ACD

AVD < AVC + CVD

e no triedro V-ABC

AVC < AVB + BVC.

Somando membro a membro as desigualdades anteriores, obteremos

AVD + AVC < AVC + CVD + AVB + BVC

donde                                          AVD <CVD + AVB + BVC.

407) Teorema: A soma das faces de um triedro é menor do que 4 rectos (Fig. 511).

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Hipótese: Dado o triedro V-ABC.

Tese: a + b + c < 4 rectos.

Demonstração

Prolongue-se a aresta VA do triedro V -ABC e seja VD a semi-recta oposta. Esta semi-recta não está no plano definido pelas semi-rectas VB e VC e, portanto, pode considerar-se um triedro com estas arestas, ou seja, o triedro V-HCD. Considerando este triedro teremos (406):

a < BVD + CVD.

Como                  BVD = 2 rectos – c     e          CVD = 2 rectos – b,

teremos                                               a < 2 rectos – c + 2 rectos – b,

donde                                                 a + b + c < 4 rectos.

Cor. – A soma das faces de um triedro está compreendida entre 0 e 4 rectos.

408) Demonstra-se que:

Teorema: A soma das faces de um ângulo sólido está compreendida entre 0 e 4 rectos.

Aplicações:

I – Entre que valores pode variar a medida da face x do triedro V-XYZ em que y = 80º e z = 110º?

Teremos

x < y + z (406), x> z -y (406, Cor. I)            e          x +.y + z < 360º (407)    ou

x < 80° + 110, x > 110° - 80  e          x + 80º + 110º < 360º donde

x < 190°, x > 30          e          x < 170°.

Os valores de x que verificam simultaneamente as desigualdades anteriores são

30º < x < 170º

II – Entre que valores pode variar, no sistema centesimal, a medida de uma face de um ângulo sólido pentaedro em que as outras faces medem π/4 rad, 135 g, 36º e 25 g?

Como π/4 = 50 g e 36° = 40 g, teremos (406, Cor. III)

x < 50 g + 135 g + 40 g + 25 g

135 g < x: + 50 g + 40 g + 25 g (1)

e (408)

x + 50 g + 135 g + 40 g + 25 g < 400 g,

donde

x <250g, x > 20g         e         x < 150 g.

Será, portanto,

20 g < x < 150 g.

EXERCÍCIOS CXII

1) Pode existir um triedro cujas faces meçam 40º, 30º e 80º? Justificar a resposta.

2) Pode existir um triedro cujas faces meçam: 130º, 120º e 121º? Justificar a resposta.

3) Pode existir um triedro cujas faces meçam 80º, 91º e 170º? Justificar a resposta.

4) Pode existir um triedro cujas faces meçam: π/10 rad., 20 g e 36º? Justificar a resposta.

5) Entre que valores pode variar a media da face a de um triedro V-ABC se b = 100º e c = 50º? Justificar a resposta.

6) Entre que valores pode variar a medida da face y de um triedro V-XYZ em que x = 110º e z = 120º?

7) Entre que valores, no sistema sexagesimal, pode variar a medida da face b de um triedro V-ABC em que a = π/3  rad. e c = 4/3ﮮ recto? Justificar a resposta.

8) Pode existir um ângulo sólido tetraedro cujas faces meçam: 80º, 70º, 60º e 50º? Justificar a resposta.

9) Pode existir um ângulo sólido pentaedro cujas faces meçam: π/4 rad., ½ ﮮ recto, 50 g, 5º e 140º? Justificar a resposta.

10) Entre que valores pode variar a medida da face de um ângulo sólido tetraedro em que as outras faces medem 40º, 120º e 50º? Justificar a resposta.

11) Entre que valores, no sistema centesimal, pode variar a medida da face de um ângulo sólido pentaedro, sabendo que as outras faces medem: 54º, 3π/4 rad., 70 g e 4/5 ﮮ recto?

12) Qual é o limite superior dos valores por que pode passar a face maior de um ângulo sólido tetraedro em que a soma de todas as faces é igual a 320º?

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

Dizer quais dos enunciados dos exercícios que vão de 1 a 20 são falsos ou verdadeiros:

1) Um trapézio é uma figura plana.

2) Dois planos podem ter um único ponto comum.

3) Duas rectas podem existir numa porção limitada de plano.

4) Se uma recta é perpendicular a duas rectas de um plano, é sempre perpendicular ao plano.

5) Dois pontos do espaço equidistantes dos extremos de um segmento, definem o plano mediador daquele segmento.

6) Por um ponto exterior a uma recta passa um único plano perpendicular à recta.

7) Se duas rectas são perpendiculares e uma delas é perpendicular a um plano, a outra também o é.

8) Se duas rectas são paralelas, existe um único plano, passando por uma.das rectas, paralelo à outra.

9) Se dois planos α e β são paralelos a um plano δ, as intersecções de α e β com um plano secante são rectas paralelas.

10) Se duas rectas AB e CD são paralelas a uma recta EF, as rectas AB e CD definem um plano.

11) Se o plano a, determinado pelas rectas AB e CD, intersecta o plano β segundo uma recta EF, paralela a AB, CD nunca é paralela a EF.

12) Se dois planos são perpendiculares, existe num deles uma única recta perpendicular ao outro.

13) Se um plano não é perpendicular à aresta de um diedro, não pode ser perpendicular a nenhuma das faces.

14) As intersecções de dois planos por um terceiro são rectas complanares.

15) Se dois planos são paralelos e um deles é perpendicular a um plano, o outro também o é.

16) Se duas rectas são perpendiculares ao mesmo plano, elas são perpendiculares entre si.

17) Um plano intersecta dois planos perpendiculares segundo rectas perpendiculares

18) Se três planos determinam em duas rectas secantes segmentos correspondentes proporcionais, os planos são paralelos.

19) Se uma recta é oblíqua a um plano, é oblíqua em relação a qualquer plano paralelo àquele.

20) Se duas rectas AE e CD são paralelas a um plano, aquelas rectas definem sempre um plano.

Os enunciados que vão de 21 a 26 são de teoremas estudados em geometria plana. Dizer se esses teoremas se verificam sempre em geometria no espaço.

21) Se uma recta intersecta outra, intersecta todas as que são paralelas a esta última.

22) Duas rectas perpendiculares a uma outra são paralelas entre si.

23) Por um ponto só é possível fazer passar uma única recta perpendicular a outra.

24) Se uma recta é perpendicular a outra, é perpendicular a todas as que são paralelas a esta última.

25) Duas rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.

26) D lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos fixos é uma recta perpendicular no ponto médio do segmento definido por aqueles dois pontos.

27) Cada um dos enunciados seguintes é verdadeiro. Em cada enunciado substituir as palavras perpendicular e paralela, respectivamente por paralela e perpendicular, e dizer quais dos enunciados obtidos são verdadeiros.

a) Por um ponto exterior a um plano passa uma única recta perpendicular ao plano.

b) Por um ponto exterior a uma recta passa uma única recta paralela à primeira.

c) Se de um ponto se tirarem uma recta e um plano paralelos a outro plano, aquela recta e o plano são apostos.

d) Se uma de duas rectas paralelas é perpendicular a um plano, a outra também o é.

28) Quantos planos se podem fazer passar por uma recta paralelamente a outra recta, se as rectas forem: a) paralelas? b) enviesadas? c) concorrentes?

29) Dois planos secantes podem ter uma recta perpendicular a ambos? Justificar a resposta.

30) Quantos planos perpendiculares a outro se podem fazer passar por uma recta, se esta for: a) perpendicular ao plano? b) oblíqua ao plano? c) paralela ao plano?

31) Se dois planos são perpendiculares, existem num deles rectas paralelas ao outro? Justificar a resposta.

32) Nos seguintes exercícios, α e β são planos, AB e CD são rectas e P um ponto. Que conclusão se tira de cada um dos seguintes casos?

a) AB // α  e  α // β .

b) α ┴ β  e AB ┴ α .

c) AB┴ α, CD ┴ α.

d) α intersecta βem AB e CD //AB.

e) α // β e AB Є α.

f) α passa por P, β passa por P, α ┴ AB e β ┴ AB.

33) Um plano é definido por quaisquer duas rectas? E por quaisquer três pontos? E por qualquer recta e um ponto? Justificar a resposta.

34) Uma recta AB é perpendicular a um plano α. Por um ponto P do espaço tiraram-se duas rectas PC e PD paralelas a α. Seja β o plano definido pelas rectas PC e PD; que posição ocupa AB em relação a β? Justificar a resposta.

35) Uma recta AB é oblíqua a um plano α. Se por um ponto P de a tirarmos uma recta PC paralela a AB, a recta PC e o plano α podem coincidir? Justificar a resposta.

36) Por um ponto P no espaço fez-se passar um plano a perpendicular a uma recta AB e outro plano βparalelo a um plano δ. Que posição ocupa a recta PQ, intersecção de α e β , em relação a AB e em relação a δ? Justificar a resposta.

37) Uma recta AE é perpendicular a um plano α; se por um ponto do espaço fizermos passar uma recta CD perpendicular a α, e por esta recta fizermos passar um plano β, que posição ocupa AB em relação a β? Justificar a resposta.

38) O ângulo formado pelo bissector de um diedro convexo com uma recta perpendicular a uma das faces mede π/5 rad. Qual é, em graus, a medida angular do diedro?

39) Qual é o lugar geométrico das rectas que se apoiam simultaneamente sobre duas rectas concorrentes?

40) Qual é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de dois planos secantes?

41) Qual é o lugar geométrico determinado por uma recta que se move paralelamente a si mesma, apoiando-se sobre outra recta?

42) Considerar quatro pontos A, B, C e D, em que os três primeiros são colineares, e duas rectas AO e BO concorrentes no ponto O, não complanares simultaneamente com os dois pontos C e D. Quantos planos definem as duas rectas e os 4 pontos? Justificar a resposta.

43) Quantos planos se podem incluir numa porção finita de espaço? Justificar a resposta:

44) Considerar o Δ ABC, equilátero, e seja PA uma recta perpendicular simultaneamente aos lados AB e AC do triângulo dado.

a) Que posição tem PA em relação ao plano do Δ ABC? Justificar a resposta.

b) Que posição tem PA em relação ao lado BC do Δ ABC? Justificar a resposta.

c) Considerar os segmentos PA, PB e PC. Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PB? Justificar a resposta.

d) Que relação de grandeza têm os segmentos PB e PC? Justificar a resposta.

e) Sejam M e N, respectivamente, os pontos médias dos lados AB e BC do Δ ABC. O segmento MN que posição tem em relação ao plano definido por PA e AC? Justificar a resposta.

45) Considerar um paralelogramo ABCD em que a diagonal maior é AC. Seja O o ponto de encontro das diagonais e OP uma recta perpendicular ao plano do paralelogramo ABCD.

a) Que posição tem OP em relação a cada um dos lados do paralelogramo? Justificar a resposta.

b) Considerar os segmentos PA, PB, PC e PD. Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

c) Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PB? Justificar a resposta.

d) Quantos planos definem o ponto P, os lados do paralelogramo e as suas diagonais? Justificar a resposta.

46) Considerar um paralelogramo ABCD e uma recta PA, passando por A, perpendicular a ambas as diagonais AC e BD do paralelogramo.

a) Que posição tem PA em relação ao plano do paralelogramo ABCD? Justificar a resposta.

b) Que posição tem o plano α, definido por PA e AD, em relação ao plano do paralelogramo ABCD? Justificar a resposta.

c) Que posição tem o plano αem relação ao lado BC do paralelogramo? Justificar a resposta.

d) Se o ﮮ BAC = 20º e ﮮ ACB = 100º, quanto mede o ângulo da recta CD com o plano α?

47) Se as projecções de quatro pontos sobre um plano são colineares, os pontos:

a) podem ser colineares?

b) são sempre colineares?

c) são sempre complanares?

48) Qual é o número de planos que é necessário fazer passar por uma das arestas de um ângulo sólido hexaedro, e pelas outras arestas não consecutivas, para o decompor em ângulos sólidos tetraedros?

49) Pode existir um ângulo sólido tetraedro com todas as faces iguais medindo cada face:

a) 65º?b) 80 grados?  c) π/2 rad.?      d) 100º?

50) A soma das faces de um triedro é 300º. Qual é o limite superior dos valores que pode ter a maior das faces?

51) Decompôs-se um ângulo sólido em 5 triedros fazendo passar planos por uma das arestas e pelas outras não consecutivas. Qual é o ângulo sólido?

52) Se todas as faces de um ângulo sólido são iguais, qual é o maior número de faces que pode ter aquele ângulo sólido se cada uma das faces medir:

a) 50º? b) 60 grados?  c) π/2 rad.?      d) 100º            e) 130 grados? f) 2π /3 rad.?

53) Considerar o ﮮABC agudo e uma semi-recta BP perpendicular ao plano do ângulo no ponto B. Classificar, quanto às faces e aos diedros, o triedro definido pelas semi-rectas BA, BC e BP.

54) Qual é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes das faces de um triedro?

55) Qual é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes das três arestas de um triedro?

56) Sejam AB e CD duas rectas enviesadas, AC e BD duas transversais. Demonstrar que AC e BD não podem ser complanares.

57) Na Fig. 512 está representado um quadrilátero no espaço ABCD. Demonstrar que são paralelos os segmentos que unem os pontos médios dos lados AB e AC e dos lados BD e CD.

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58) Demonstrar que os segmentos que unem os pontos médios dos lados consecutivos de um quadrilátero no espaço formam um paralelogramo.

59) Uma recta AB é perpendicular a um plano α.

Se α┴β,  demonstrar que a projecção de AB sobre β é perpendicular à intersecção de α e β.