Cinderella: Palma Fernandes Cap.III

Palma Fernandes Cap.III - Ângulos
Samuel Teixeira, 2006-07-03 15:18 [#801] Publicado em 2006-07-03 15:23 por Jorge Nuno Silva
Tópicos: ângulos, Palma Fernandes
Ficheiros anexos: capiii.htm 1_3.gif 2_5.gif 3_1_7.gif 3_10_71.gif 3_2.gif 5_4.gif 7_3.gif ang.gif cbd.gif cbe.gif cbea.gif ccd.gif cce.gif fig34.gif fig35.gif fig36.gif fig37.gif fig38.gif fig39.gif fig40.gif fig41.gif fig42.gif fig43_44.gif fig45.gif fig46.gif fig47.gif fig48.gif fig49_50.gif fig51_52.gif fig53.gif fig54.gif fig55.gif fig56.gif fig57.gif fig58.gif fig59.gif fig60.gif fig61_62.gif fig63.gif fig64.gif fig65.gif fig66.gif fig67.gif

Trabalho para avaliação de Samuel Teixeira da disciplina de Elementos de Geometria do Mestrado em Matemática para o Ensino. Trata-se do 'Capítulo III - Ângulos' do Livro de Palma Fernandes.

Elementos de Geometria - Palma Fernandes

Capítulo III - Ângulos

III
ÂNGULOS

40)Consideremos dois semi-planos existentes no mesmo plano e cujas origens AA' e BB' se intersectam no ponto O (Fig. 34).
Dá-se o nome de ângulo convexo ou saliente à intersecção dos dois semi-planos.

Na Fig. 34 está representado a tracejado o ângulo convexo AOB que é a intersecção dos semi-planos AA'B e BB'A, isto é, semi-plano AA'B ∩ semi-plano BB'A = ângulo convexo AOB.
Às semi-rectas que limitam um ângulo dá-se o nome de lados e à sua origem comum chama-se vértice. O ângulo AOB da Fig. 34 tem por lados OA e OB e por vértice o ponto O.

Para designar um ângulo empregaremos o sinal

teremos assim o

AOB (¹) (Fig. 34).
Na Fig. 34 também figuram os ângulos convexos:

A'OB' que é a intersecção dos semi-planos AA'B' e BB'A e

A'OB intersecção dos semi-planos AA'B e BB'A'.

     41) Consideremos dois dos semi-planos da Fig. 35.
     Dá-se o nome de ângulo côncavo ou reentrante à união dos dois semi-planos.
     Na Fig. 35 está represntado a tracejado o ângulo côncavo AOB que é a união dos semi-planos AA'B' e BB'A', isto é,
________________
     (¹) A letra correspondente ao vértice figura sempre no meio das outras quando queremos ler ou representar o ângulo. Assim, pode ler-se ou representar-se

AOB ou

BOA.

semi-plano AA'B' U semi-plano BB'A' = ângulo côncavo AOB. As semi-rectas OA e OB são os lados do ângulo e O o seu vértice.
É evidente que a união de um ângulo convexo com um

ângulo côncavo que tenham os mesmos lados e o mesmo vértice é um plano.
Um ângulo côncavo contém os prolongamentos dos lados, o que não sucede com o ângulo convexo.
Quando nos referimos a ângulos apenas consideramos os convexos salvo aviso em contrário.

     As definições de ângulo convexo e de ângulo côncavo estão de acordo com as definições de domínio convexo e côncavo (33) como é fácil verificar.

     42) Atendendo à definição de figuras geométricas iguais (35), teremos:
     Dois ângulos dizem-se iguais ou congruentes se coincidem ou deslocando um deles se pode fazer coincidir com o outro.
     Dois ângulos iguais, como figuras iguais que são, gozam das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva (35).

43) Consideremos o semi-plano MNP de origem MN e um ponto O sobre a recta (Fig. 36).
Deslocando o

ABC e sobrepondo o lado BA a ON (37) o lado BC vai ocupar a posição OP.
Axioma: Dado um semi-plano e considerando uma das semi-rectas em que um ponto divide a sua origem, há um único ângulo nesse semi-plano igual a um dado ângulo que tem por lado uma dessas semi-rectas.

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Capítulo III - Ângulos

44) Bissectriz de um ângulo é a semi-recta que o divide em dois ângulos iguais; cada um destes ângulos é metade daquele.

45) Chama-se ângulo raso a cada um dos semi-planos cuja origem é a recta formada por duas semi-rectas opostas. As semi-rectas são os lados do ângulo e a sua origem comum é o vértice.
O

ABC da Fig. 37 é raso visto as

semi-rectas BA e BC serem opostas; BA e BC são os lados do ângulo e B o seu vértice.

     46) Atendendo ao axioma do parágrafo 37 podemos afirmar que:
     Todos os ângulos rasos são iguais.

     47) Um ângulo recto é o que é igual a metade de um ângulo raso (Fig. 38).
     Atendendo à definição de bissectriz de um ângulo (44)

concluímos que a bissectriz de um ângulo raso divide-o em dois ângulos rectos. Por esse motivo e por serem iguais todos os ângulos rasos (46) podemos afirmar que:
Todos os ângulos rectos são iguais.

48) Um ponto diz-se interior a um ângulo quando lhe pertence mas não existe em nenhum dos lados. Na Fig. 39 o ponto M é interior ao

ABC.

O conjunto dos pontos interiores a um ângulo formam o seu interior.
Sejam R e S dois pontos, respectivamente, existentes nos lados BA e BC do

ABC (Fig. 39). Qualquer ponto interior ao segmento RS é também interior ao

ABC.
Com efeito o segmento MS não intersecta a recta AB, pertencendo, por isso, o ponto M ao semi-plano ABC (32).Duma forma análoga

conclui-se que o ponto M pertence ao semi-plano BCA.
Como o ponto M pertence aos dois semi-planos ABC e BCA ele pertence à sua intersecção (5) e, portanto, ao

ABC (40).

49) Consideremos uma semi-recta BM cuja origem é o vértice do

ABC e M um ponto interior a este ângulo (Fig. 40). A semi-recta BM tem todos os pontos interiores ao

ABC, com excepção do ponto B. Nestas condições diz-se que a semi-recta é interior ao ângulo.
O conjunto dos lados de um ângulo e das semi-rectas interiores cuja origem comum é o vértice do ângulo, formam o ângulo.

50) Ângulo nulo é aquele cujos lados são duas semi-rectas sobrepostas, com a mesma origem (vértice) e que não tem pontos interiores. Na Fig. 41 está representado o

ABC que é nulo.

51) Ângulo giro é aquele cujos lados são duas semi-rectas sobrepostas, com a mesma origem (vértice), e que ocupa todo o plano (Fig. 42).

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Capítulo III - Ângulos

Desta definição e da de ângulo raso (45) conclui-se que este ângulo é metade daquele.
Também fàcilmente se conclui que um ângulo giro é igual a quatro ângulos rectos.

52) Um ângulo agudo é aquele que é menor que um ângulo recto e maior que um ângulo nulo (Fig. 43).

Fig. 43 - Ângulo agudo; Fig. 44 - Ângulo obtuso

     Um ângulo obtuso é aquele que é maior que um ângulo recto mas menor que um ângulo raso (Fig. 44).
     Os ângulos agudos e obtusos são chamados ângulos oblíquos.

     53) Dois ângulos dizem-se da mesma espécie quando são ambos agudos ou ambos obtusos; dizem-se de espécie diferente quando um é agudo e o outro é obtuso.

54) Dois ângulos adjacentes são aqueles que têm o vértice e um lado comum, estando cada um dos outros lados situados nos semi-planos opostos cuja origem é a recta a que pertence o lado comum (Fig. 45).
Assim o

AOB e o

BOC (Fig. 45) são adjacentes porque

têm o vértice O e o lado OB comum e os lados OA e OC estão situados nos semi-planos opostos OBA e OBC.
     Porém, o AOB e o AOC, que têm o vértice O e o lado OA comuns não são adjacentes, visto os lados OB e OC estarem ambos no semi-plano OAB (ou OAC).
     O AOC é igual à soma do AOB com o BOC, isto é,
AOC = AOB + BOC
     Assim para se obter o ângulo soma de outros dois basta torná-los adjacentes, suprindo o lado comum.
     Daquela igualdade conclui-se que
AOB = AOC - BOC e BOC = AOC - AOB.

     55) Há várias unidades escolhidas para a medição de ângulos, sendo das principais as do [sistema sexagesimal], que são:
     O grau é um ângulo igual à nonagésima parte do ângulo recto.
     O minuto é a sexagésima parte do grau.
     O segundo é a sexagésima parte do minuto.
     Um ângulo cuja medida é de dez graus, quinze minutos e dezoito segundos escreve-se: 10º 15' 18''.

EXERCÍCIOS IV

1) Qual é o número de graus do ângulo que fazem os ponteiros de um relógio, quando são: a) 3 horas? b) 4 horas? c) 6 horas? d) 1 hora e 30 minutos?

2) Qual é o menor número de graus de que se deve rodar o ponteiro dos minutos para adiantar um relógio de: a) meia hora? b) 5 minutos? c) 12 minutos?

3) Para acertar um relógio, rodou-se o ponteiro dos minutos de um ângulo de 60º. Quantos minutos há de diferença entre a hora verdadeira e aquela que o relógio marcava?

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Capítulo III - Ângulos

4) Na Fig. 46 dar exemplos de: a) um ângulo âgudo; b) um ângulo obtuso; c) dois ângulos adjacentes; d) dois ângulos com um lado e o vértice comuns sem serem adjacentes.

5) Na Fig. 46

AOB =

COD,

BOC = 75º e

AOD = 107º. Quantos graus mede o

BOD?

6) Na Fig. 46

AOB =

COD,

AOC = 1

recto e

BOC = 72º. Quantos graus mede o ângulo formado pelas bissectrizes do

AOB e do

COD?

Na Fig. 47 AE é uma recta.
7) Se (Fig. 47)

a = 64º,

c = 60º e

d = 29º, quanto mede o

b?

8) Se (Fig. 47)

AOD = 150º,

AOC = 1

recto, quanto mede o

9) Se (Fig. 47)

AOD = 140º e

COE = 91º 30', quanto mede o

c?

10) Se (Fig. 47)

AOC = 1

recto,

BOD = 92º 15' e

a = 70º 12', quanto mede o

c?

11) Se (Fig. 47)

AOD = 141º 18' e

BOE =115º 12', quanto mede o

BOD?

12) Se (Fig. 47)

a = 3x,

b = x,

c = [7/2]x e

d = [3/2]x, determinar a medida de cada um daqueles ângulos.

13) Se (Fig. 48)

AOB = 64º,

BOC = 89º,

COD = 44º e

DOE = 76º, quanto mede o ângulo formado pelas bissectrizes do

AOB e do

AOE?

14) Se (Fig. 48)

AOB = x,

BOC = [4/3]x,

COD = [1/2]

BOC,

DOE = [5/4]x e

EOA = 2.

AOB, determinar a medida de cada um daqueles ângulos.

15) OA, OB e OC são semi-rectas, com a mesma origem O, dispostas por aquela ordem e tal que

AOB = 64º e

BOC = 52º. Seja OP a bissectriz do

AOB; determinar a medida do

POC.

16) OA, OB e OC são semi-rectas, com a mesma origem O, dispçostas por aquela ordem e tal que

AOB = 126º 18' e

BOC = 150º 44'. Determinar a medida do ângulo formado pelas bissectrizes do

AOC e do

AOB.

17) OA, OB, OC e OD são semi-rectas, com a mesma origem O, dispostas por aquela ordem e tal que

AOC = 90º 46',

BOD =100º 18' e

BOC = 36º 34'. Determinar a medida do

AOD.

56) Dois ângulos suplementares são aqueles cuja soma é igual a um ângulo raso.
Assim, o AOB e o BOC (Fig. 49) ou o a e o b (Fig. 50) são suplementares adjacentes e no segundo apenas suplementares.

Fig. 49 - Ângulos suplementares adjacentes; Fig. 50 - Ângulos suplementares

AOB chama-se suplemento do

BOC e vice-versa.
O mesmo se diz do

a em relação ao

b.

     57) Facilemnte se conclui que:
     1.º - Os ângulos suplementos do mesmo ângulo são iguais.
     2.º - Os ângulos suplementos de ângulos iguais são iguais.
     3.º - Se um ângulo é suplemento de um de dois ângulos iguais é suplemento do outro.
     4.º - O ângulo suplemento de um ângulo obtuso é um ângulo agudo e vice-versa.

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Capítulo III - Ângulos

58) Dois ângulos complementares são aqueles cuja soma é igual a um ângulo recto.
O

AOB e o

BOC (Fig. 51) ou o

a e o

b (Fig. 52) são complementares.

No primeiro caso são complementares adjacentes e no segundo caso apenas complementares.
Ao

AOB chama-se complemento do

BOC e vice-versa. O mesmo se diz do

a em relação ao

Fig. 51 - Ângulos complementares adjacentes; Fig. 52 - Ângulos complementares

     59) É fácil concluir que:
     1.º - Os ângulos complementos do mesmo ângulo são iguais.
     2.º - Os ângulos complementos de ângulos iguais são iguais.
     3.º - Se um ângulo é complemento de um de dois ângulos iguais é complemento do outro.

EXERCÍCIOS V

1) Quanto mede o suplemento do ângulo de: a) 55º? b) 114º 18' 26''? c)

do ângulo recto?

2) Qual é a medida do ângulo que é duas vezes menor do que o seu suplemento?

3) Qual é a medida do ângulo que é quatro vezes maior do que o seu suplemento?

4) Qual é a medida do ângulo que é

do seu suplemento?

5) Qual é a medida do ângulo que tem mais 24º do que o seu suplemento?

6) Um ângulo excede o seu suplemento em 44º. Determinar a medida daquele ângulo.

7) Dois ângulos suplementares são proporcionais a 3 e a 5. Determinar aqueles ângulos.

8) Adicionando 28º a um ângulo obtém-se o seu suplemento. Determinar aquele ângulo.

9) Quantos graus mede o complemento do ângulo de: a) 74º 18'? b)

do ângulo raso c)

do ângulo recto?

     10) Qual é o complemento do ângulo suplementar de 112º 17' 17''?

     11) Qual é o suplemento do ângulo complementar de 73º 52''?

     12) Qual é a medida do ângulo que é cinco vezes maior do que o seu complemento?

     13) Qual é a medida do ângulo que é oito vezes menor do que o seu complemento?

14) Qual é a medida do ângulo que é

do seu complemento?

     15) Qual é a medida do ângulo que tem menos 32º do que o seu complemento?

     16) Um ângulo excede o seu complemento em 21º. Determinar a medida daquele ângulo.

     17) Adicionando 15º a um ângulo obtém-se o seu complemento. Determinar aquele ângulo.

     18) A soma do suplemento de um ângulo com o seu complemento é igual a 140º. Determinar o ângulo.

     60) Ao efectuar-se a medição do comprimento de um segmento de recta, com uma régua graduada, ajusta-se uma das divisões da régua a um dos extremos do segmento. Pode suceder que o outro extremo do segmento coincida com uma das divisões da régua, mas pode também ficar compreendido entre duas divisões consecutivas.
No primeiro caso a medição faz-se exactamente, mas no segundo caso já é com aproximação que se dá a medida do segmento, sendo este último caso o mais vulgar. Também ao

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Capítulo III - Ângulos

ser feita a medida de um ângulo com um transferidor sucede, em geral, obter-se uma medida aproximada do ângulo.
     Na vida corrente as medições que se fazem, sejam de comprimentos, ângulos, de capacidade, etc., são aproximadas e poucas vezes absolutamente rigorosas.

     61) Os nossos sentidos levam-nos muitas vezes a conclusões erradas. Assim, quando se está num comboio parado tem-se a sensação de que ele está em movimento desde que passe ao lado outro comboio; se pusermos na água um lápis ele parece quebrado no ponto em que emerge da água.
     Nas Figs. 53, 54, 55 e 56 os nossos sentidos enganam-nos.

Fig. 53

Assim, na Fig. 53 o segmento AB parece menor do que CD e na Fig. 54 o segmento AB parece maior do que CD.
Na Fig. 55 não é fácil ver quais são os segmentos que pertencem à mesma recta e na Fig. 56 AB e CD não parecem linhas rectas mas sim linhas curvas.
O estudante poderá verificar o erro das conclusões a que o sentido visual o levou.

Fig. 56

     62) Vimos que as medições dão, em geral, valores aproximados (60) e que o sentido da vista nos pode levar a cometer erros (61).
     No estudo da geometria somos levados a conclusões rigorosas e, por isso, não podemos efectuar essas conclusões empregando medições ou confiando nos nossos sentidos.
     Para chegar a conclusões rigorosas baseamo-nos em factos reconhecidos como verdadeiros, ligando esses factos por meio de um [raciocínio ], que é um dos maiores dons do homem.
     Assim, no estudo de certas questões de geometria, são dados certos factos a partir dos quais chegamos a uma conclusão, provando-se que são verdadeiras as passagens intermédias para chegar àquela conclusão.
     Para se provar que não se erra no raciocínio, vai-se dando a justificação de cada passagem da questão tratada.
     O que ficou dito anteriormente é o que se chama uma demonstração, ficando assim provada a sua necessidade em geometria por se tratar de uma ciência rigorosa.

     63) No estudo que a seguir vai ser feito, aplicar-se-ão algumas das seguintes propriedades:
     1.ª - Duas quantidades iguais a uma terceira ou a quantidades iguais, são iguais entre si.
     2.ª - Adicionando a mesma quantidade ou quantidades iguais a outras iguais, obtêm-se somas iguais.
     3.ª - Subtraindo a mesma quantidade ou quantidades iguais a outras iguais, obtêm-se diferenças iguais.
     4.ª - Multiplicando pela mesma quantidade ou por quantidades iguais outras iguais, obtêm-se produtos iguais.
     5.ª - Dividindo pela mesma quantidade ou por quantidades iguais diferentes de zero outras iguais, obtêm-se quocientes iguais.
     6.ª - O todo é igual à soma das partes.
     7.ª - O todo é maior que qualquer das suas partes.

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Capítulo III - Ângulos

Aplicações:
I - Se (Fig. 57)

ABC =

MNP e

a =

b, demonstrar que

c =

Demonstração
Passos	Justificações
1) ABC -- a = MNP -- b. 2) c = d.	1) Porque subtraindo quantidades =s a outras =s obtêm-se diferenças =s (63-3.ª). 2) Porque ABC -- a = c e MNP -- b = d (54).

II - Na Fig. 58 AB é uma recta. Se

a =

b e

c =

d, demonstrar que

e =

Demonstração
Passos	Justificações
1) a + c = b + d. 2) ACF =CDG. 3) e = f.	1) Porque adicionando quantidades =s a outras =s obtêm-se somas =s (63-2.ª). 2) Porque a + c = ACF e b + d = CDG (63-6.ª). 3) Porque s suplementos de s =s são =s (57-2.º).

EXERCÍCIOS VI

1) Se (Fig. 59)

a =

b e

c =

d, demonstrar que

ABC =

A'B'C'.

2) Se (Fig. 60)

AOC =

BOD, demonstrar que

a =

b.

3) Se (Fig. 60)

a =

b, demonstrar que

AOC =

BOD.

4) Na Fig. 61 AE é uma recta,

AOC = 1

recto e

b =

c. Demonstrar que

a =

d.

5) Na Fig. 61 AE é uma recta,

a =

d e

b =

c. Demonstrar que

AOC = 1

recto.

6) Na Fig. 62

ABC =

A'B'C' = 1

recto,

a =

a' e

b =

b'. Demonstrar que

c =

c'.

7) Se (Fig. 62)

ABC =

A'B'C' = 1

recto,

ABD =

A'B'D' e

b =

b', demonstrar que

CBE =

C'B'E'.

8) Na Fig. 63 EF é uma recta,

ABC = 1

recto,

ADC = 1

recto e

x =

y. Demonstrar que

EBC =

CDF.

9) Na Fig. 63 EF é uma recta,

EBC =

CDF e

ABC =

ADC. Demonstrar que

x =

Fig. 63

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Capítulo III - Ângulos

     64) Teorema é uma questão verdadeira que carece de ser demonstrada.
     Num teorema são dados alguns elementos - hipótese - a partir dos quais se prova o que se pretende - tese.
     Corolário é uma consequência de um teorema, de um axioma ou de um problema.

     65) Dois ângulos verticalemnte opostos ou opostos pelo vértice são aqueles em que os lados de um estão no prolongamento dos lados do outro.
     O

a e o

c (Fig. 64) são verticalmente opostos, assim como o

b e o

66) TEOREMA: Os ângulos verticalmente opostos são iguais (Fig. 64).

Hipótese: O

a e o

c são verticalmente opostos.

Tese:

a =

Demonstração
Passos	Justificações
1) a é suplemento do b e c é suplemento do b. 2) a = c.	1) Porque dois s suplementares são aqueles cuja soma é = a um raso (56). 2) Porque os s suplementos do mesmo são =s (57-1.º).

EXERCÍCIOS VII

1) Sabendo que FC e EB são rectas (Fig. 65) e que

AOC = 1

recto, dar exemplos de: a) ângulos verticalemnte; b) ângulos complementares não adjacentes.

2] Se (Fig. 65)

a = 50º,

c = 60º e

d = 80º, quanto mede o

f?

3) Se (Fig. 65)

FOD = 130º e

COE = 141º, quanto mede o

d?

4) Se (Fig. 65)

b =

c e

EOD = 100º quanto mede o

e?

5) Se (Fig. 65)

AOC = 92º,

BOD = 118º e

AOD = 168º, determinar a medida de

e.

6) Se (Fig. 65)

a e

e forem complementares, OD for a bissectriz do

EOC e

c = 74º18', determinar a medida do

7) Se (Fig. 65)

a = 2.

b e

e = 31º48', quanto mede o

f?

8) Na Fig. 65

AOC = 1

recto; demonstrar que o

a e o

e são complementares.

9) Se (Fig. 66)

COA = 91º e

b = 59º quanto mede o

10) Se (Fig. 66)

AOC = 93º18' e

e = 151º20' quanto mede o

b?

11) Se (Fig. 66)

d = x + 10º e

a = 2x - 5º, quanto mede o

e?

12) Provar que

b +

d =

AOC (Fig. 66).

13) Provar que

COA -

d =

b (Fig. 66).

14) Se (Fig. 66)

b e

COD = 90º, provar que

COE = 135º.

15) Se (Fig. 66)

COE =

AOE, provar que

b =

d.

16) Se (Fig. 67)

a =

h, provar que

a =

e.

17) Se (Fig. 67)

f, provar que

g =

b.

18) Se (Fig. 67)

b é suplemento do

h, provar que

g =

b.

19) Se (Fig. 67)

c é suplemento do

e, provar que

b =

Fig. 66
Fig. 67

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