Parte I

Geometria Plana

Capítulo I

I – CONJUNTOS

• É conhecido o significado de expressões como conjunto de alunos de um liceu; conjunto de divisões de uma casa; conjunto de carteiras de uma sala, etc. Cada aluno, cada divisão, cada carteira, etc, constituem um elemento do respectivo conjunto.

Em Matemática consideram-se conjuntos não só de entes ou seres naturais (alunos, divisões, carteiras, etc.) como de outros seres. Como exemplos destes últimos temos o conjunto das vogais:

a, e, i , o, u,

o conjunto dos divisores de 20:

1, 2, 4, 5, 10, 20,

o conjunto dos números naturais:

1, 2, 3, 4, 5, …

• se os elementos de um conjunto se podem contar o conjunto diz-se finito; no caso contrário diz-se infinito.

Como exemplos de conjuntos finitos temos o das vogais, o dos divisors de 20, etc; como exemplos de conjuntos infinitos temos o dos números naturais, o dos números ímpares, etc.

Um conjunto considera-se determinado desde que seja conhecida a lei de formação dos seus elementos, isto é, desde que, dado um ser, haja a possibilidade de verificar se pertence ou não ao conjunto. Assim o número 3/5 não pertence ao conjunto dos números naturais mas 1000 pertence.

• Um conjunto é, em geral, designado por uma letra maiúscula, Por exemplo, podemos representar o conjunto das vogais pela letra V, o dos divisors de 20 pela letra D e o dos números naturais pela letra N, etc.

Para designar que um elemento  a pertence a um conjunto A escreve-se  a ∈ A, que se lê: a pertence a A ou a existe em A.

Assim, nos exemplos anteriores, podemos escrever:

i ∈ A;  5 ∈ D  e 27 ∈ N.

Para representar um conjunto finito usa-se escrever dentro de um colchete os símbolos que representam os seus elementos. Teremos, para o conjunto de vogais:

V = {a, e, i, o, u}

e para o de divisores de 20:

D = {1, 2, 3, 5, 10, 20}

• Diz-se que um conjunto está ordenado linearmente quando é possível relacionar os seus elementos mediante os verbos preceder ou seguir de tal modo que:

1º - Dados dois elementos a e b ou  a precede b  ou  b precede a.

2º - Se a precede b e b precede c, então a precede c – propriedade transitiva.

Como exemplos de conjuntos ordenados linearmente temos o dos números naturais:

1, 2, 3, 4, 5, …

e o dos números ímpares:

1, 3, 5, 7, 9, …

• Intersecção de dois ou mais conjuntos é o conjunto formado pelos elementos  comuns a esses conjuntos.

 A intersecção de dois conjuntos A e B representa-se da seguinte forma:

I = A ∩ B,

que se lê: I é a intersecção dos conjuntos A e B.

A intersecção dos conjuntos

V ={a, e, i, o, u}   e  F = {b, c, d, e, f, i}

e o conjunto

I = {e, i}

      Na Fig. 1 estão representados os conjuntos de pontos A e B cuja intersecção é o conjunto C, que está a sombreado, o que podemos representar por C = A ∩ B.

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Fig. 1

Também na Fig. 2 estão representados os conjuntos de pontos A, B e C cuja intersecção é o conjunto D, o que se representa por D = A ∩ B ∩ C.

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Fig. 2

• União ou reunião de dois ou mais conjuntos é o conjunto formado pelos elementos comuns e não comuns pertencentes a esses dois conjuntos.

A união de dois conjuntos A e B representa-se da seguinte forma:

R = A ∪ B,

que se lê: R é a reunião ou a união dos conjuntos A e B.

A união dos conjuntos

V ={a, e, i, o, u}   e  F = {b, c, d, e, f, i}

é o conjunto

R = {a, b, c, d, e, f, i, o, u}

            Na Fig. 3 está representada a união dos conjuntos de pontos A e B, e na Fig. 4 a união dos conjuntos A, B e C.

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Fig 3

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Fig. 4

• Se todos os elementos de um conjunto B pertencerem a um conjunto A diz-se que B é uma parte, está contido ou é um subconjunto de A, o que se representa da seguinte forma:

B ⊂ A

            Com o mesmo significado diz-se que A contém B, o que se pode representar por  

A ⊃ B

            Sendo V o conjunto de vogais do alfabeto e F o conjunto de todas as letras, poderemos escrever

V ⊂ F  ou F ⊃ V.

            Na Fig. 5 estão representados os conjuntos de pontos A  e B. O conjunto B é um subconjunto de A, isto é

B ⊂ A  ou A ⊃ B.

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Fig. 5

• Embora a ideia de conjunto pressuponha, naturalmente, a existência de mais que um elemento, faremos algumas vezes referência a conjuntos com um só elemento, conjuntos unitários.

Por exemplo, a intersecção dos conjuntos:

V ={a, e, i, o, u}   e  A = {b, c, d, e, f, g}

é o conjunto unitário

I = {e}.

• Usa-se chamar conjunto vazio ao que não contém qualquer elemento. Para representar o conjunto vazio usa-se o símbolo  ∅.

A intersecção do conjunto V formado pelas vogais com o conjunto formado pelas consoantes é o conjunto vazio, isto é:

V ∩ C = ∅.