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I

POLÍGONOS

    269) Linha poligonal ou linha quebrada é aquela que é formada por sucessivos segmentos de recta, tendo, dois a dois, um extremo comum, não existindo dois segmentos com o mesmo extremo na mesma recta (Fig. 370).
   Os segmentos que constituem a linha poligonal são os lados e os extremos dos segmentos são os vértices. Na Fig. 370 está uma linha poligonal cujos lados são os segmentos AB, BC, CD e DE e os vértices os pontos A, B, C, D e E.
   Os pontos onde a linha poligonal começa e acaba chamam-se extremos. Na Fig. 370 os extremos são A e E.

   270) Linha poligonal fechada é a linha poligonal cujos extremos coincidem (Fig. 371); no caso contrário a linha poligonal diz-se aberta (Fig. 370).

 Representaremos uma linha poligonal pelas letras dos seus vértices, escritos pela sua ordem. Assim a linha poligonal da Fig. 371 representa-se por ABCDE.

 Dois lados consecutivos de uma linha poligonal são aqueles que têm um vértice comum e dois vértices consecutivos são os que pertencem ao mesmo lado.

 271) Uma linha poligonal fechada diz-se convexa quando limita um domínio convexo (Fig. 372). Se o domínio limitado por uma linha poligonal for côncavo, esta diz-se côncava (Fig. 373).

   272) Consideremos uma linha poligonal convexa fechada (Fig. 371 e 372).

 A recta definida por dois vértices consecutivos divide o plano em dois semi-planos em que um deles contém todos os outros vértices.

 Chama-se polígono ao domínio limitado por uma linha poligonal fechada; conforme a linha que limita um polígono for convexa ou côncava, assim o polígono se diz, respectivamente, convexo ou côncavo. Na Fig. 371 está representado o polígono convexo ABCDE (1) e na Fig. 373 está representado um polígono côncavo.

 Quando nos referirmos a polígonos apenas consideraremos os convexos.

 Os lados consecutivos e os vértices consecutivos de um polígono são os mesmos da linha poligonal que limita o polígono.

  273) As semi-rectas que têm como origem comum um dos vértices de um polígono, e contêm os dois lados consecutivos que partem desse vértice, são os lados de um ângulo que se diz ângulo interno do polígono ou simplesmente ângulo do polígono.
————

 (1) A notação usada para a leitura duma linha poligonal convexa fechada ou para o polígono correspondente é análoga.
                                                          

 Os lados e os ângulos de um polígono são os elementos do polígono.

 Os pontos pertencentes à intersecção dos interiores dos ângulos de um polígono dizem-se interiores ao polígono. O conjunto desses pontos é o interior do polígono
.

 Os pontos que não pertencem ao interior de um polígono nem aos lados, dizem-se exteriores. O conjunto desses pontos é o exterior do polígono.

 274) ângulo externo de um polígono é o ângulo limitado pelo prolongamento de um dos lados com a semi-recta que contém o lado consecutivo.

 Na Fig. 374 está representado o ângulo DEF externo em E.

 O ângulo AEG também é externo em E, mas é igual ao ângulo DEF por serem verticalmente opostos (66) podendo, por isso, ser considerado qualquer deles.

 275) Já foram estudados os polígonos com três lados — triângulo ou trilátero — e os de quatro lados — quadrângulo ou quadrilátero.

 Os outros polígonos são: o de 5 lados, pentágono; o de 6, hexágono; o de 7, heptágono; o de 8, octógono; o de 9, eneágono; o de 10, decágono; o de 11, undecágono; o de 12, dodecágono; o de 15, pentadecágono; o de 20, icoságono.

 Os polígonos além dos anteriores não têm nome especial, dizendo-se o número de lados. Assim, diz-se um polígono de 13 lados, de 22 lados, etc.

 276) Um polígono regular é aquele que tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais.

 Linha poligonal regular é uma porção de linha poligonal que limita um polígono regular e cujos extremos são dois vértices do polígono.

 277) Perímetro de uma linha poligonal ou de um polígono é a soma do comprimento dos seus lados.

 Atendendo à definição anterior, conclui-se que o perímetro de um polígono regular é igual ao produto do comprimento de um dos lados pelo número deles.

EXERCÍCIOS LXX

    1) Dos polígonos: triângulo isósceles, triângulo equiângulo, trapézio isósceles, paralelogramo, quadrado,quais são os regulares? Justificar a resposta.

    2) O losango é um polígono regular? Justificar a resposta.

    3) O rectângulo é um polígono regular? Justificar a resposta.

    4) Determinar, em centímetros, o perímetro de um icoságono regular em que um dos lados mede 57 mm.

    5) Como se chama o polígono regular cujo lado mede 1,8 dm e o perímetro é de 27 dm?

    6) Como se chama o polígono regular cujo lado mede 13,5 dm e o perímetro é de 1485 cm?

    278) TEOREMA: : Num polígono, qualquer lado é menor do que a soma de todos os outros (Fig. 375).

    Hipótese:  Dado o polígono ABCDE...

    Tese:  AB<BC + CD + DE +...;

   BC<AB+CD+DE+...;

   CD<AB+BC+DE+...;

    Demonstração

   Este teorema é consequência imediata do postulado:

   O segmento de recta é a linha mais curta que se pode traçar unindo dois pontos (16, a).

    EXERCÍCIOS LXXI

   1) Pode existir um quadrilátero cujos lados meçam: a) 16 m, 84 m, 36 m e 22m? b) 8 dm, 15 cm, 50 cm e 150 mm? Justificar a resposta.

   2) Pode existir um pentágono cujos lados meçam: a) 6 m, 7 m, 8 m, 9 m e 30 m? b) 14 m, 18 dm, 20 dm, 12 m e 5 cm? Justificar a resposta.

   3) Pode existir um triângulo cujo perímetro seja 20 m e dois dos lados meçam 8 m e 10 m? Justificar a resposta.

   4) Pode existir um trapézio de perímetro igual a 30 m e cujas bases meçam 15 m e 8 m e um dos lados oblíquos 6 m? Justificar a resposta.

   5) Pode existir um trapézio isósceles de perímetro igual a 18 cm e cujas bases meçam 8 cm e 60 mm? Justificar a resposta.

   6) Pode existir um hexágono com cinco lados iguais, medindo cada um deles 18 dm e sendo o perímetro igual a 18 m? Justificar a resposta.

    279) Diagonal de um polígono é o segmento de recta cujos extremos são dois vértices não consecutivos do polígono. Na Fig. 376 estão traçadas as diagonais AC, AD e AE.

    280) TEOREMA: O número total de diagonais que se podem tirar de um vértice de um polígono é igual ao número de lados menos três (Fig. 376).

    Hipótese: Dado o polígono ABCDEF... de n lados.

    Tese: O número de diagonais que se podem tirar de um vértice é n - 3.

    Demonstração

   Seja A o vértice donde se tiraram as diagonais.

   O vértice A e os consecutivos não definem diagonais. Só os vértices C, D, E, ... é que as definem com A.

   Como em qualquer polígono o número de lados é igual ao número de vértices, conclui-se que, se for n o número de lados do polígono, será n - 3 o número de diagonais que se podem tirar do vértice A. (Na Fig. 376, n = 6 e as diagonais tiradas do vértice A são 6 - 3 = 3).
                                  

    Cor. I - O número total de diagonais que se podem tirar de todos os vértices de um polígono é igual a [n (n - 3)] / 2, sendo n o número de lados.

    Como são n vértices, o número total de diagonais seria de n (n - 3), mas, como a cada dois vértices de um polígono corresponde uma única diagonal, o número total é de

    Cor. II - O número de triângulos em que se pode decompor um polígono tirando por um vértice todas as diagonais é igual ao número de lados menos dois.  

                                       v   

    EXERCÍCIOS LXXII

    1) Qual o número de diagonais que se podem tirar de um vértice de: a) um quadrilátero? b) um pentágono? c) um polígono de 17 lados?

    2) Qual é o polígono em que se podem tirar de um vértice: a) 6 diagonais? b) 12 diagonais? c) 37 diagonais?

    3) Qual é o número total de diagonais que se podem tirar de todos os vértices de: a) um octógono? b) um dodecágono? c) um polígono de 100 lados?

    4) Quantos triângulos se formam tirando diagonais por um dos vértices de: a) um eneágono? b) um polígono de 26 lados? c) um polígono de 100 lados?

    5) Qual é o polígono em que, tirando diagonais de um dos vértices, se formam: a) 13 triângulos? b) 18 triângulos? c)198 triângulos?

   281) TEOREMA: A soma dos ângulos internos de um polígono é igual a tantas vezes dois rectos quanto o número de lados menos dois.

    Hipótese: Dado o polígono ABCDE... de n lados e em que a soma dos ângulos internos é Si.

    Tese: Si = (n - 2) . 2 rectos.

    Demonstração

   Tracem-se todas as diagonais partindo de um dos vértices, por exemplo, de A (Fig. 376).

   Tirando por um dos vértices todas as diagonais possíveis, a soma dos ângulos internos do polígono é igual à soma de todos os ângulos dos triângulos em que fica dividido.

   Se for n o número de lados do polígono o número de triângulos é de n - 2 (280, Cor. II). Portanto, a soma dos ângulos internos do polígono é (136):

Si = (n - 2). 2 rectos.

    Cor.- Cada ângulo interno de um polígono regular de n lados é igual a [(n - 2) . 2 rectos] / n.

    EXERCÍCIOS LXXIII

    1) Qual é, em graus, a soma dos ângulos internos de: a) um octógono? b) um undecágono? c) um polígono de 32 lados?

    2) Qual é o polígono em que a soma dos ângulos internos é igual a: a) 1 800º? b) 23 400º? c) 20 000 grados?

    3) Pode existir um polígono em que a soma dos ângulos internos seja igual a: a) 600º? b) 1600º? c) 2160º?

    4) Qual é, no sistema centesimal, a medida de um dos ângulos de um pentágono, sabendo que a soma de todos os outros é 450º?

    5) Quanto mede, em graus, o ângulo interno de: a) um hexágono regular? b) um decágono regular? c) um polígono regular de 72 lados?

    6) Qual é, no sistema centesimal, a medida de um ângulo interno de um dodecágono regular?

    7) Qual é, em radianos, a medida de um ângulo interno de um pentágono regular?

    8) Qual é, no sistema centesimal, a medida de um ângulo interno de um icoságono regular?

    9) Qual é o polígono regular em que um dos ângulos internos mede: a) 108º? b) 165º? c) 179º?

    10) Qual é o polígono regular em que um dos ângulos internos mede 2/3 de um ângulo recto?

    11) Pode existir um polígono regular em que um dos ângulos internos meça: a) 140º? b) 100º? c) 160º? Justificar as respostas.

    12) Há algum polígono regular em que um dos ângulos internos tenha por medida 130 grados? Justificar a resposta.

    13) Qual é o polígono em que se podem tirar de um vértice 17 diagonais? Quantos triângulos se formam? Qual é o número total de diagonais? Qual é a soma dos ângulos internos?

    14)Qual é o polígono que não tem diagonais? Qual é a soma dos ângulos internos desse polígono?

    15) Qual é o polígono que é dividido em dois triângulos pelas diagonais tiradas de um vértice? Quantas diagonais se podem tirar de cada vértice? Qual é o número total de diagonais? Qual é a soma dos ângulos internos?

    16) Qual é o polígono em que a soma dos ângulos internos é igual a 540º? Quantas diagonais se podem tirar de um vértice? Quantos triângulos se formam com as diagonais anteriores? Qual é o número total de diagonais?

    17) Os ângulos de um pentágono são directamente proporcionais a 2, 3, 4, 5 e 6. Determinar, no sistema sexagesimal, a medida de cada um dos ângulos anteriores.

   282) TEOREMA: A soma dos ângulos externos de um polígono é igual a 4 rectos (Fig. 377).

    Hipótese: Dado o polígono ABCDE... de n lados, em que a soma dos ângulos externos é Se

    Tese: Se = 4 rectos.

    Demonstração

   Atendendo a que

   ângulo a + ângulo A = 2 rectos, ângulo b + ângulo B = 2 rectos,...

   teremos    ângulo a + ângulo b + ... + ângulo A + ângulo B + ... = n . 2 rectos,

   donde    ângulo a + ângulo b + ... = n . 2 rectos - (ângulo A + ângulo B + ...).

    Por ser (281) ângulo A + ângulo B + ... = (n - 2) . 2 rectos, conclui-se que ângulo a + ângulo b + ...= n . 2 rectos - (n - 2) . 2 rectos

   donde    ângulo a + ângulo b + ... = 4 rectos

    ou

    Cor.I - Um ângulo externos de um polígono regular de n lados é igual a 4 rectos/n.

    Cor. II - Um polígono convexo não pode ter mais do que três ângulos agudos.

    Se um polígono tivesse mais de três ângulos agudos teria mais de três ângulos externos obtusos e a soma destes ângulos seria maior do que 4 rectos, o que é impossível.

    EXERCÍCIOS LXXIV

    1) Quanto mede, em graus, o ângulo externo de: a) um pentágono regular?b) um pentadecágono regular? c) um polígono regular de 36 lados?

    2) Qual é o polígono regular em que um dos ângulos externos mede: a) 120º? b) π/4 rad.? c) 2/9 de um ângulo recto?

    3) Qual é, em radianos, a medida de um ângulo externo de um octógono regular?

    4) Qual é o polígono regular em que o ângulo interno é: a) 3 vezes maior do que o ângulo externo? b) 5 vezes maior do que o ângulo externo?

    5) Qual é o polígono regular em que o ângulo externo é: a) o dobro do interno? b) igual ao interno?

    6) Quanto mede, em graus, cada ângulo externo de um polígono regular em que a soma dos ângulos internos é igual a: a) 1600 grados? b) 3240º? c) 12 600º?

    7) Pode existir um polígono regular em que um dos ângulos externos meça: a) 80º? b) 5π/8 rad.? c) 80 grados? Justificar as respostas.

    8) Pode existir um polígono convexo em que quatro dos ângulos internos meçam π/4 rad., 70º, 95 g e 2/3 de um ângulo recto? Justificar a resposta.

    9) Os ângulos externos de um pentágono são representados por 3x + 10 g, x + 20 g, 2 x - 5 g, 6x g, 4x - 25 g. Determinar, no sistema centesimal, a medida de cada um dos ângulos externos.

II

POLÍGONOS SEMELHANTES

   283) Dois polígonos, com o mesmo número de lados, dizen-se semelhantes quando têm os ângulos respectivamente iguais e os lados homólogos proporcionais.

  Os ângulos respectivamente iguais devem estar dispostos na mesma ordem e chamam-se ângulos homólogos e os vértices respectivos vértices homólogos; os lados homólogos são aqueles cujos extremos são vértices homólogos.

  Para designarmos que dois polígonos são semelhantes usaremos o sinal ~ .

   Se (Fig. 378) ABCDE ~ A'B'C'D'E' sendo ângulo A = ângulo A', ângulo B = ângulo B', ângulo C = ângulo C', ângulo D = ângulo D' e ângulo E = ângulo E', teremos

   284) A razão de semelhança de dois polígonos semelhantes é a razão de dois lados homólogos.

  Se a razão de semelhança for igual a 1 conclui-se que os lados homólogos são iguais, e como os ângulos também são iguais, cada um a cada um, os dois polígonos podem sobrepor-se (23 e 35). Podemos, portanto, afirmar que:

  Dois polígonos são iguais se têm os lados correspondentes iguais e os ângulos iguais, cada um a cada um, e dispostos na mesma ordem.

   285) Como consquência da definição de polígonos semelhantes pode afirmar-se que:

  Os polígonos regulares com o mesmo número de lados são semelhantes.

  Como a medida de cada um dos ângulos internos de qualquer dos polígonos é dada por [(n - 2). 2 rectos] / n (281, Cor.), conclui-se que eles são iguais.

  Também as razões entre quaisquer dois lados, um de cada polígono, são iguais, visto tratar-se de dois polígonos regulares.

  Verificam-se assim as condições para que dois polígonos sejam semelhantes (283).

   286) Procedendo duma forma análoga à empregada para os triângulos semelhantes (248), conclui-se facilmente o:

   TEOREMA: A razão dos perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à razão de semelhança.

    EXERCÍCIOS LXXV

    1) Num quadrilátero os lados medem 15 cm, 20 cm, 12 cm e 25 cm. Quanto mede cada um dos lados de outro quadrilátero semelhante, mas maior do que o anterior, sendo a razão de semelhança igual a 6/5?

    2) Num pentágono os lados medem 8 m, 12 m, 16 m, 10 m e 18 m. Quanto mede um dos lados de um pentágono semelhante àquele, mas menor, sbendo que a razão de semelhança é igual a 3/4?

    3) Os lados de octógono medem 2 cm, 12 cm, 18 mm, 20 cm, 2 dm, 0,1 m, 8 cm e 40 mm. Qual é, em centímetros o perímetro de um octógono semelhante ao anterior, mas maior, sendo a razão de semelhança igual a 1 / 4?

    4) Determinar a razão dos perímetros de dois hexágonos semelhantes, sabendo que dois lados homólogos medem 4 cm e 6 cm.

    5) Se dois polígonos são semelhantes, e forem traçados os segmentos definidos pelos pontos médios dos lados consecutivos, demonstrar que os triângulos correspondentes obtidos são semelhantes.

    6) Num hexágono regular um dos lados mede 18 cm e a razão de semelhança, para outro hexágono menor, é igual a 3/2. Quanto mede o lado do outro hexágono?

    7) Num pentágono regular um dos lados mede 6 cm e noutro o perímetro é igual a 40 cm. Qual é a razão de semelhança?

    8) O perímetro de um heptágono regular é 14 cm e a razão de semelhança, para outro heptágono maior, é 5/4. Qual é a medida do lado deste último heptágono?

   287) TEOREMA:Dois polígonos semelhantes podem ser decompostos no mesmo número de triângulos semelhantes, cada um a cada um, e semelhantemente dispostos (Fig. 379).

    Hipótese: ABCDE ~ MNPQR. Cada um destes polígonos está dividido em triângulos pelas diagonais tiradas dos vértices homólogos A e M.

    Tese: Δ ABC ~ Δ MNP, Δ ACD ~ Δ MPQ, Δ ADE ~ Δ MQR.

    Demonstração

    (283) ângulo B = ângulo N e AB / MN = BC / NP, conclui-se que (253) Δ ABC ~ Δ MNP.

   Atendendo a que (283) ângulo BCD = ângulo NPQ e (245-1.º) ângulo a = ângulo m, teremos (63-3.ª) ângulo b = ângulo n.

   Por outro lado (245) AC / MP = BC / NP e (283) BC / NP = CD / PQ, donde

e portanto (253)    Δ ACD ~ Δ MPQ

   Analogamente se demonstrava que Δ ADE ~ Δ MQR.

   287) TEOREMA RECÍPROCO: São semelhantes dois polígonos que se podem decompor no mesmo número de triângulos semelhantes, cada um a cada um, e semelhantemente dispostos (Fig. 379).

    Hipótese: Dados os polígonos ABCDE e MNPQR em que Δ ABC ~ Δ MNP, Δ ACD ~ Δ MPQ, Δ ADE ~ Δ MQR.

    Tese: ABCDE ~ MNPQR.

    Demonstração

    Os polígonos ABCDE e MNPQR (Fig. 379) estão decompostos em triângulos semelhantes pelas diagonais tiradas, respectivamente dos vértices A e M.

   Por ser (245)

   teremos

   Como (245-1.º) ângulo a = ângulo m e ângulo b = ângulo n, é (63-2.ª):

   Duma forma análoga se conclui que

   Atendendo a que ângulo B = ângulo N e ângulo E = ângulo R (245-1.º), teremos (283)

   Aplicação:

   Construir um polígono semelhante ao polígono ABCDE em que é dado o lado MN homólogo de AB.

   Tracem-se as diagonais AC e AD do polígono ABCDE (Fig. 380) e construa-se o Δ MNP ~ Δ ABC, tendo por lado MN (251-Aplic.).

   Construa-se, em seguida, o Δ MPQ ~ Δ ACD, sendo MP o lado homólogo de AC. Construindo, depois sobre MQ, o Δ MQR ~ Δ ADE, obtém-se o pentágono MNPQR que é o pedido, o que se justifica pelo teorema anterior.

    EXERCÍCIOS LXXVI

    1) Construir um polígono MNPQRS semelhante a um hexágono ABCDEF sendo o lado MN homólogo de AB (MN < AB).

    2) Construir um polígono XYZU semelhante a um trapézio ABCD sendo dado o lado XY homólogo da base maior AB (XY > AB).

    3) Construir um polígono ABCD semelhante a um quadrilátero irregular MNPU sendo dado o lado AB homólogo de NP (AB < NP).

    4) Construir um pentágono ABCDE semelhante ao pentágono MNRST sendo a razão de semelhança, daquele polígono para este igual a 3/2.

    5) Construir um paralelogramo semelhante a outro paralelogramo maior sendo a razão dos perímetros igual a 3/4.

    6) Demonstrar que dois paralelogramos são semelhantes quando têm dois lados consecutivos proporcionais e os ângulos por eles formados iguais.

III

POLÍGONOS REGULARES

    289) Um polígono diz-se inscrito numa circunferência quando todos os seus vértices estão sobre a circunferência. Neste caso a circunferência diz-se circunscrita ao polígono e o seu centro tem o nome de circuncentro.
   Um polígono diz-se circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes à circunferência.
   Neste caso a circunferência diz-se inscrita no polígono e o seu centro chama-se incentro. Na Fig. 381 o polígono ABCDE está inscrito na circunferência (O) e o polígono FGHIJ está circunscrito.

   290) TEOREMA: É regular todo o polígono, com os lados iguais, inscrito numa circunferência (Fig. 382).

    Hipótese: Dado o polígono ABCDE, de lados iguais, inscrito na circunferência (O).

    Tese:  ABCDE é um polígono regular.

    Demonstração

   Como os lados do polígono são iguais, teremos (189)

   donde (63-2.ª)

   e, portanto (219, Cor. II), ângulo A = ângulo B = ângulo C = ângulo D = ângulo E, concluindo-se, assim, que ABCDE é o polígono regular (276).

   COR. - Dividindo uma circunferência em partes iguais, e traçando os segmentos definidos pelos pontos de divisão consecutivos, obtêm-se um polígono regular.

    Com efeito, como a arcos iguais correspondem cordas iguais, o polígono inscrito, tendo os lados iguais, é regular.

   291) TEOREMA: A todo o polígono regular pode circunscrever-se uma circunferência (Fig. 383).

    Hipótese: Dado o polígono regular ABCDE.

    Tese: Existe uma circunferência que pode ser circunscrita a ABCDE.

    Demonstração

   Tracem-se as diagonais AC e BD do polígono, correspondentes aos quatro vértices consecutivos A, B, C e D. Seja P o ponto de intersecção das diagonais.

   Como os lados do polígono são iguais, assim como os ângulos, teremos (79    Δ ABC = Δ BCD;

   donde (75-2.ª) BD = AC e (75-1.ª) ângulo a = ângulo b,

   e, por consequência, (88)   PB = PC.

   Atendendo a que BD - PB = PD e AC - PC = AP conclui-se que    PD = AP

   e, portanto,   PB × PD = PC × AP

   Então, uma circunferência que passe pelos pontos A, B e C passa também por D (265).

   Analogamente se provava que os outros vértices existiam na circunferência anteriormente considerada, o que justifica a existência de uma circunferência circunscrita ao polígono ABCDE (289).

   292) TEOREMA: Em todo o polígono regular pode inscrever-se uma circunferência (Fig. 384).

    Hipótese: Dado o polígono regular ABCDE.

    Tese: Existe uma circunferência que pode ser inscrita em ABCDE.

    Demonstração

   Seja 0 o centro da circunferência circunscrita ao polígono ABCDE. Por 0 tirem-se as perpendiculares a cada um dos lados do polígono.

   Por ser (200) OF = OG = OH= OI = OJ

   conclui-se que a circunferência de centro 0 e raio OF passa pelos pontos G, H, I, e J (230-I).

   Como AB, BC, CD, DE e EA são tangentes à circunferência de raio OF (204), esta está inscrita no polígono ABCDE (289).

    293) Ao centro comum das circunferências circunscrita e inscrita num polígono regular dá-se o nome de centro do polígono.

  Raio de um polígono regular é o raio da circunferência circunscrita e apótema é o raio da circunferência inscrita.

  Ângulo ao centro de um polígono regular é o ângulo formado por dois raios correspondentes a dois vértices consecutivos.

    294) Facilmente se concluem as seguintes propriedades:

    1.ª - Todos os raios de um polígono regular são iguais, assim como as apótemas.

    2.ª - O segmento da perpendicular baixada do centro de um polígono regular para um lado é um apótema do polígono.

    3.ª - Os ângulos ao centro de um polígono regular são iguais.

    4.ª - A medida de um ângulo ao centro de um polígono regular de n lados é igual a 4 rectos/n

    EXERCÍCIOS LXXVII

    1) Quanto mede, em graus, um ângulo ao centro de: a) um octógono regular? b) um polígono regular de 18 lados? c) um icoságono regular?

    2) Qual é o polígono regular em que um dos ângulos ao centro mede: a) 2/3 ângulo recto? b) 2π /15 rad.? c) 8º?

    3) Quanto mede, em graus, o ângulo ao centro de um polígono regular em que a soma dos ângulos internos é igual a : a) 2 π rad.? b) 6120º? c) 7600 g?

    4) Pode existir um polígono regular em que um dos ângulos ao centro meça: a) π /4 rad? b) 5º? c) 7 g?

    5) Um ângulo de um segmento mede π/3 rad. Qual é o polígono regular, inscritível na circunferência, que tem por lado a corda?

    6) Seja o ângulo ABC um ângulo inscrito numa circunferência. Sabendo que o ângulo ABC = 5/4 ângulo recto e AB é o lado do quadrado inscritível, qual é o polígono regular, inscritível na mesma circunferência, que tem por lado BC?

    7) Quantos graus mede um ângulo inscrito no maior dos arcos determinados por um dos lados do hexágono regular inscrito numa circunferência?

    8) Se ABCDEF é um hexágono regular, provar que: a) ângulo ACE = ângulo ADE = ângulo ABE; b) ângulo ABD = ângulo AED; c) AD perpendicular BF. (Considerar a circunferência circunscrita ao hexágono).

    9) Se as diagonais AD e CE de um pentágono regular ABCDE se intersectam no ponto P, demonstrar que PA × PD = PC × PE.

    10) ABCDEFG é um heptágono regular. Seja P o ponto de intersecção dos prolongamentos dos lados CD e da diagonal AE. Provar que PE × PA = PD × PC.

    11) Demonstrar que um ângulo ao centro de um polígono regular é suplemento de um ângulo interno.                                                       

    295) TEOREMA: A razão dos perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados é igual à razão de dois apótemas ou de dois raios (Fig. 385).

    Hipótese: Dados os polígonos regulares ABCDEF e MNPQRS, de raios r e r', apótemas a e a' e perímetros p e p'.

    Tese: p / p' = a / a'; p / p' = r / r'.

    Demonstração

   Sejam 0 e 0', respectivamente, os centros dos polígonos ABCDEF e MNPQRS.

   O Δ AOF e o Δ MO'S são isósceles, visto ser OA = OF e O'M = O'S. Atendendo a que (294-4.ª)  ângulo AOF = ângulo MO'S, conclui-se que (251, Cor. III)

   Como (286 e 284), p / p' = AF / MS

   e (254, 246 e 245) a / a' = AF / MS e r / r' = AF / MS

   teremos   p / p' = a / a' e p / p' = r / r'

    EXERCÍCIOS LXXVIII

    1) Os apótemas de dois heptágonos regulares medem 10 cm e 15 cm. Quais são as razões dos seus perímetros e dos seus raios?

    2) A razão dos perímetros de dois pentágonos regulares é 5/3 e o raio do menor mede 6 cm; determinar a medida do raio do maior.

    3) O perímetro de um octógono regular é 7/3 do de outro octógono regular. Quais são as medidas dos apótemas, sabendo que um deles tem menos 4 cm do que o outro?

    4) Se o raio de um decágono regular for 5/2 do raio de outro decágono e o perímetro de um tiver mais 21 cm do que o outro, determinar o perímetro de cada decágono.                                                    

IV

RELAÇÕES ENTRE OS LADOS E APÓTEMAS DE ALGUNS POLÍGONOS REGULARES E O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA

   296) Representaremos por l3 , l4 , l6 ...ln , respectivamente, os lados dos polígonos regulares de 3, 4, 6,... n lados e por a3 , a4 , a6 ,...an os apótemas dos mesmos polígonos.

   297) PROBLEMA: Inscrever um quadrado numa circunferência (Fig. 386).

    Dado: A circunferência (O).

    Pedido: Construir um quadrado inscrito na circunferência (O).

    Resolução

   Trace-se o diâmetro AC e, em seguida, construa-se o diâmetro BD perpendicular AC. Traçando as cordas AB, BC, CD e DA, obtém-se o quadrado pedido.

    Justificação

   Como (93)

   ângulo AOB = ângulo BOC = ângulo COD = ângulo DOA

   teremos (191)   AB = BC = CD = DA

   e, portanto, ABCD é um quadrado (290).

   298) TEOREMA: O lado do quadrado inscrito numa circunferência é igual ao produto do raio-por raiz 2 (Fig. 387).

    Hipótese: É dado o quadrado ABCD inscrito na circunferência (O) de raio R.

    Tese: l4 = R raiz 2

    Demonstração

   Sejamos OA e OB dois raios consecutivos do quadrado. Como o ΔAOB é rectângulo em O, teremos (258)

   AB2 = OA2 + OB2 ou l4(elevado a 2) = R(elevado a 2) + R(elevado a 2)

   donde

    COR. - O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual ao produto do raio por (raiz2)/2.

   Seja OE o apótema do quadrado ABCD (Fig. 387). Prolongando OE, obtém-se outro apótema OF que lhe é igual (294-1.ª).

   Como FE = DA, teremos OE = DA/2 e, portanto,

   299) PROBLEMA: Inscrever um hexágono regular numa circunferência (Fig. 388).

    Dado: A circunferência (O).

    Pedido: Construir um hexágono regular inscrito na circunferência (O).

    Resolução

   Com raio igual ao da circunferência (O) e centro num ponto A, existente na circunferência, trace-se um arco de circunferência que encontra a circunferência no ponto B.

   Procedendo de uma forma análoga à anterior, com centros em B, C, D e E e o mesmo raio, determinaram-se, respectivamente, os pontos C,D,E e F.

   Traçando as cordas AB, BC, CD, DE, EF e FA, obteve-se o hexágono ABCDEF, que é o pedido.

    Justificação

   Tracem-se os raios OA, OB, OC, OD, OE e OF.

   Como OA = OB = AB, o Δ OAB é equilátero, e, portanto, ângulo AOB = 60º.

   Analogamente se concluía que

   ângulo BOC = ângulo COD = ângulo DOE = ângulo EOF = ângulo FOA = 60º.

   Será então (191)

   AB= BC = CD = DE = EF = FA

   e, portanto, ABCDEF é um hexágono regular (290).

   300) TEOREMA: O lado do hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio (Fig. 389).

    Hipótese: É dado o hexágono regular ABCDEF inscrito na circunferência de raio R.

    Tese: l6 = R.

    Demonstração

   Da forma como foi feita a construção do hexágono regular no parágrafo anterior conclui-se que

    COR. I - O apótema do hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio multiplicado por (raiz3)/2.

   Seja OM o apótema do hexágono ABCDEF (Fig. 389). Do ΔEMO, rectângulo em M, conclui-se que

   donde

    COR. II - Se num triângulo rectângulo um dos ângulos medir 30º o cateto oposto é metade da hipotenusa.

   Consideremos o Δ ABC, rectângulo em B, e a circunferência circunscrita (Fig. 390).

   Se ângulo A = 30º, é arco BC = 60º (219), sendo, por isso, BC o lado do hexágono regular inscritível na circunferência.

   Como AC = 2R ( arco AC = 180º) e BC = R, fica provado que BC = AC/2

   301) PROBLEMA: Inscrever um triângulo equilátero numa circunferência (Fig. 391).

    Dado: A circunferência (O).

    Pedido: Construir um triângulo equilátero inscrito na circunferência (O).

    Resolução

   Trace-se o diâmetro AE e, com raio igual ao da circunferência (O) e centro em E, descrevam-se dois arcos de circunferência que intersectam a circunferência (O) nos pontos B e C. Traçando as cordas AB, BC e CA, obtém-se o triângulo pedido.

    Justificação

   Construam-se as cordas BE e CE que são os lados do hexágono regular inscritível na circunferência (O) (299). Será, então, arco BE = arco CE = 60º, donde arco BEC = 120º.

   Como arco AB = 180º - arco BE e arco AC = 180º - arco CE, conclui-se que arco AB = 120º e arco AC = 120º.

   As cordas AB, BC e CA são iguais (188) e o ΔABC é equilátero.

   302) TEOREMA: O lado l3 do triângulo equilátero inscrito numa circunferência é igual ao produto do raio por raiz3 (Fig. 392).

    Hipótese: É dado o Δ ABC equilátero inscrito na circunferência (O) de raio R.

    Tese: l3 = R raiz3

    Demonstração

   Trace-se o segmento BE. Como o Δ ABE é rectângulo em B e BE = l6 = R, teremos

   donde

   COR. - O apótema do triângulo equilátero inscrito numa circunferência é igual a metade do raio.

   O quadrilátero formado pelos lados OB, BE, EC e CO (Fig. 392) é um losango, visto os seus lados serem todos iguais ao raio. Será, então (162, Cor. I), OD = OE/2 ou

    EXERCÍCIOS LXXIX

    1) Determinar o perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência cujo raio mede 3 m.

    2) O perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual a 18,6 cm. Qual é o perímetro do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência?

    3) Quanto mede o apótema de um triângulo equilátero isoperímetro (1) de um trapézio rectângulo cujas bases medem 10 m e 6 m e a altura 3 m?

    4) Determinar a relação entre o apótema do hexágono regular inscrito numa circunferência e o lado do quadrado circunscrito à mesma circunferência.

    5) Determinar a razão entre o lado do triângulo equilátero inscrito numa circunferência e o apótema do quadrado inscrito na mesma circunferência.

    6) Determinar a razão entre os perímetros do triângulo equilátero inscrito numa circunferência e do quadrado circunscrito à mesma circunferência.

    7) Num triângulo rectângulo um dos ângulos mede 30º e o lado oposto mede 6 cm. Quanto mede a hipotenusa?

    8) Num triângulo rectângulo a hipotenusa mede 8 cm e um dos ângulos agudos 60º. Quanto mede o cateto adjacente a este ângulo?

————

(1) Que tem o mesmo perímetro.
                 

    9) O ângulo ABC = 90º está inscrito numa circunferência. Sendo arco AB = 60º, determinar a medida da corda BC, sabendo que o raio da circunferência mede 4 cm.

    10) O ângulo ABC = 105º está inscrito numa circunferência. Sendo arco AB = 90º, determinar a medida de BC, sabendo que o lado AB mede 4 cm.

    11) Numa circunferência está inscrito um trapézio em que dois lados oblíquos às bases subtendem arcos de 60º. Determinar o perímetro do trapézio, sabendo que a base maior é um diâmetro e este mede 16 cm.

    12) Uma corda subtende um arco de 120º. Determinar o comprimento da corda, sabendo que a sua distância ao centro é 12 cm.

    13) Os pontos A e B (Fig. 393) estão separados por um lago. Um observador partiu na direcção AC de forma que ângulo CAB = 60º e parou no ponto C quando ângulo ACB = 90º.

   A distância de A a C foi medida, obtendo-se 800 m. Qual é a distância de A a B?

    14) Um observador pretende determinar a altura da torre AB (Fig. 394) e, para isso, coloca-se no ponto D de forma que ângulo ADB = 15º. Andando em direcção à torre, passa no ponto C, onde ângulo ACB = 30º, e verifica que DC = 72 m. Qual é a altura da torre?

   303) PROBLEMA: Determinar a relação entre o lado de um polígono regular de 2 n lados inscrito numa circunferência e o lado de um polígono regular de n lados inscrito na mesma circunferência (Fig. 395).

    Dados: O polígono regular de n lados iguais a AC, inscrito na circunferência (O) de raio R.

    Pedidos: Determinar a relação entre AB, lado do polígono regular de 2 n lados, inscrito na circunferência (O), e AC.

   Tracemos o segmento OB, que é perpendicular a AC por bissectar o arco que a corda AC subtende (Pág. 150 - Nota: Teor. a).

   Sendo OB perpendicular AC, bissecta AC (196) e, portanto, AD = DC.

   Representando por ln e l2n os lados dos polígonos regulares inscritos na circunferência (O) de n de 2n lados, teremos, considerando o Δ ABO (260), l(elevado a 2)2n = OA(elevado a 2) +OB(elevado a 2) - 2 OB × OD

   ou   l(elevado a 2)2n = R(elevado a 2) + R(elevado a 2) - 2R × OD.

    Mas   OD(elevado a 2) = OA(elevado a 2) - AD(elevado a 2)

   ou   OD = raiz R(elevado a 2) - ((l(elevado a 2)n)/4), donde OD = 1/2 raiz 4R(elevado a 2) - l(elevado a 2)n.

    Teremos, então, l(elevado a 2)2n = 2R(elevado a 2) - 2R × 1/2 raiz 4R(elevado a 2) - l(elevado a 2)n

   ou   l2n = raiz R (2R - raiz 4R(elevado a 2) - l(elevado a 2)n).

    EXERCÍCIOS LXXX

    1) Determinar a medida do lado do octógono regular inscrito numa circunferência de 2 cm de raio.

    2) Determinar o lado do dodecágono regular inscrito numa circunferência de 10 m de diâmetro.

    3) O perímetro de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência é de 19,5 cm; qual é o perímetro do octógono regular inscrito na mesma circunferência?