COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA; COMPRIMENTO DE UM ARCO

 

    304) Para determinar o comprimento de uma linha curva não se pode proceder como se fosse um segmento de recta ou uma linha poligonal. Na prática usa-se, por vezes, assentar um fio sobre a linha curva e, em seguida, esticá-lo e efectuar a determinação do seu comprimento. Obtem-se assim o que se chama o comprimento da linha curva. Podemos então dizer que:

  O comprimento de uma linha curva é a medida linear daquela linha rectificada.

 A forma de proceder anterior dá, em geral, resultados bastante grosseiros, não sendo usada em matemática.

 

   305) Uma linha poligonal diz-se inscrita numa linha curva quando todos os seus vértices e pontos extremos existem sobre aquela linha. Assim na Fig. 396, a linha poligonal ABCDE está inscrita na linha curva, sendo os seus extremos coincidentes.

  A cada um dos lados da linha poligonal inscrita numa linha curva chama-se corda .

  Pelo postulado que diz: "O segmento de recta é a linha mais curta que se pode traçar unindo dois pontos (16, a)", conclui-se que qualquer arco de curva da Fig. 396 é maior do que a corda correspondente.

    

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 Do triângulo ABC e do triângulo CDE conclui-se que (84)

  AB + BC > AC e CD + DE > CE donde, somando membro a membro as desigualdades anteriores,

  AB + BC + CD + DE > AC + CE

 Verifica-se assim que, quando o número de lados da linha poligonal aumenta, o perímetro também aumenta, aproximando-se cada vez mais do comprimento da linha curva, o que nos permite afirmar:

 O comprimento de uma linha curva é o limite para que tendem os perímetros das linha poligonais inscritas, com os extremos comuns com a curva, quando o número de lados duplica indefinidamente.

 

   306) Consideremos o triângulo ACE, equilátero inscrito na circunferência de centro em O (Fig. 397) e sejam B, D e F os pontos médios dos arcos menores subtensos pelos lados daquele triângulo. Construa-se o hexágono regular ABCDEF.

    

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 Determinando os pontos médios dos arcos menores subtensos pelos lados do hexágono, podia construir-se um dodecágono regular inscrito na circunferência de centro O. Empregando o mesmo processo, poderiam construir-se polígonos regulares de 24 lados, de 48 lados, etc.

 Representemos por P3, P6, P12, P24,... respectivamente os perímetros do triângulo equilátero, do hexágono regular, do dodecágono regular, do polígono regular de 24 lados, etc... inscritos na circunferência de centro O.

 Como (Fig. 397).

      AB + BC > AC; CD + DE > CE; EF + FA > EA

 conclui-se que

      AB + BC + CD + DE + EF + FA > AC + CE + EA

 donde P6 > P3

 Análogamente se conclui que

      P12 > P6; P24 >P12; P48 > P24...

 A sucessão dos perímetros

      P3, P6, P12, P24,...

 é crescente, mas qualquer um dos seus termos é sempre inferior ao comprimento da circunferência de centro em O, o que se conclui atendendo a que qualquer arco de uma circunferência é maior que a corda que o subtende.

 Como os perímetros dos polígonos regulares inscritos na circunferência de centro O se aproximam cada vez mais do comprimento daquela circunferência à medida que se duplica o número de lados, podemos afirmar que:

 O comprimento de uma circunferência é o limite para que tendem os perímetros dos polígonos regulares inscritos quando o número de lados duplica indefinidamente.

 

   307) TEOREMA: A razão dos perímetros de duas circunferências é igual à razão dos raios (Fig. 398).

    

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   Hipótese: Dadas a circunferência de centro O e a circunferência de centro O' de raios R e r e de comprimentos C e c.

   Tese: C/c = R/r

 

Demonstração:

 Inscreva-se em cada circunferência um polígono regular de n lados (na Fig. 398 n = 6). Sejam Pn e pn os perímetros dos polígonos inscritos na circunferência de centro O e na circunferência de centro O'.

 Teremos (295)    Pn/pn = R/r.

 Duplicando indefinidamente o número de lados de cada polígono inscrito, obtem-se (306) que

 o limite de Pn quando n tende para infinito é C e o limite de pn quando n tende para infinito é c.

 Da primeira igualdade conclui-se, depois de se aplicarem os limites aos dois membros (demonstra-se, em Álgebra, que os limites de uma soma de um número finito de parcelas, de um produto e de um quociente, em que o limite do divisor é diferente de zero, são respectivamente, iguais à soma dos limites das parcelas, ao produto dos limites dos factores e ao quociente dos limites do dividendo e do divisor):

C/c = R/r

 

 COROLÁRIO I - A razão entre os comprimentos de duas circunferências é igual à razão dos diâmetros.

 

 Da igualdade C/c = R/r, obtem-se outra equivalente: C/c = (2R)/(2r), donde C/c = D/d, sendo D e d os diâmetros das circunferências dadas.

 

 COROLÁRIO II - A razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro é uma constante.

 

 Alternando os meios da relação anterior, obtem-se

 C/D = c/d

 Considerando uma das circunferências fixa, por exemplo, a circunferência de centro O, para qualquer outra circunferência, sem ser a de centro em O', chegava-se a uma relação análoga à anterior.

 Como C e D são constantes para a mesma circunferência e a razão de duas constantes é uma constante, teremos:

 C/D = constante

 A razão constante entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro foi representada pela letra grega π, isto é

 C/D = π

 

 COROLÁRIO III - O comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2piR.

 

 Da igualdade anterior conclui-se que C = πD, ou por ser D = 2R,

 C = 2 π R.

 

 308) PROBLEMA: Determinar o valor da razão entre o comprimento de uma circunferência e o diâmero (Método de Arquimedes).

 Consideremos uma circunferência de raio igual a 1 e um hexágono regular inscrito. Será portanto l6 = 1 (300).

 Apliquemos a fórmula deduzida no problema do parágrafo 303 para determinar os valores dos perímetros dos polígonos regulares inscritos naquela circunferência de 12, 24, 48, 96, 192, 384 e 768 lados. Teremos os comprimentos dos lados dos polígonos:

 l12 = raízquad(2-raízquad(4-1^2)) = 0,51764

 l24 = raízquad(2-raízquad(4-0,51764^2)) = 0,26105

 l48 = raízquad(2-raízquad(4-0,26105^2)) = 0,13081

 l96 = raízquad(2-raízquad(4-0,13081^2)) = 0,06534

 l192 = raízquad(2-raízquad(4-0,06534^2)) = 0,03272

 l384 = raízquad(2-raízquad(4-0,03272^2)) = 0,01636

 l768 = raízquad(2-raízquad(4-0,01636^2)) = 0,00818

 com os respectivos perímetros:

 l12 : 6,21168

 l24 : 6,26526

 l48 : 6,27870

 l96 : 6,28206

 l192 : 6,28291

 l384 : 6,28312

 l768 : 6,28317

 Tomando para valor aproximado do comprimento da circunferência o perímetro do polígono regular inscrito de 768 lados, obteremos um valor de

 π = C/D = 6,28317/2 (R = 1)

 ou

 π = 3,14159

 

 

 Exercícios LXXXI

 

 1) O apótema de um quadrado mede 3,2 m. Determinar o comprimento da circunferência circunscrita.

 2) Quanto mede a base de um triângulo isósceles isoperímetro de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 125,6 cm de comprimento? A medida comum dos lados iguais do triângulo isósceles é de 32,4 cm.

 3) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 4 m. Qual é o comprimento da circunferência?

 4) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência e o comprimento desta.

 5) Determinar a razão entre o perímetro de um quadrado circunscrito a uma circunferência e o comprimento desta.

 6) O comprimento de uma circunferência é de 25,12 m e o apótema de um polígono regular inscrito na mesma circunferência mede 2 m. Que polígono é?

 7) Uma corda com 15 cm de comprimento subtende um arco de 120º. Determinar o comprimento da circunferência.

 8) Quantas voltas dá a roda de uma bicicleta de 72 cm de diâmetro quando percorre 9 km?

 9) Uma senhora pretende comprar uma fita para o chapéu, que tem 22 cm de diâmetro. Quantos centímetros de fita é necessário comprar?

 10) Um decorador pretende pintar em volta de um prato circular um grupo contendo 18 figuras igualmente distanciadas. Determinar, com aproximação de decimilímetros, o comprimento de cada arco da circunferência exterior do prato, correspondente a cada figura, sabendo que o diâmetro daquela circunferência mede 36 cm.

 11) Determinar o comprimento de uma correia que passa em volta de duas rodas iguais cujos raios medem 12 cm (Fig. 399) e cujos eixos estão situados à distância de 80 cm.

    

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 12) Um clube de atletismo deseja comprar um campo de forma quadrada a fim de construir uma pista circular em que o comprimento da circunferência exterior seja 2oo m. Determinar, aproximando a metros, qual deve ser a largura do lado do quadrado.

 13) Um campo de corridas circular tem de largura 5 m e o raio da circunferência maior mede 30 m. Dois corredores desejam efectuar uma única corrida à volta do campo, correndo um sobre a circunferência exterior e outro sobre a interior. Que avanço deve ser dado ao corredor que corre na circunferência exterior de forma que o caminho percorrido pelos dois seja o mesmo?

 14) O ponteiro dos minutos e o das horas de um relógio têm de comprimento, respectivamente, 1,5 cm e 1 cm. Determinar o caminho percorrido a mais, durante um dia, pelo extremo do ponteiro dos minutos em relação ao extremo do ponteiro das horas.

 

 

 309) É fácil relacionar o comprimento de um arco de circunferência com a sua amplitude, atendendo a que os comprimentos dos arcos de uma dada circunferência são proporcionais às suas amplitudes. Se a unidade escolhida for o ângulo recto, teremos, para um arco de comprimento c e amplitude n rectos:

    2πR corresponde a 4 rectos

    c corresponde a n rectos

 donde      (2πR)/(4 rectos) = c/(n rectos)

 ou     c = 2πR.n/(4r), (n amplitude em ângulos rectos).

 No sistema sexagesimal, por serem 4 rectos = 360º, teremos

    c = 2 π R . n/360º     (n amplitude em graus).

 No sistema centesimal será

    c = 2 π R . n/(400g)      (n amplitude em grados).

 Em radianos teremos

    c = 2 π R . n/(2π)

  ou      c = Rn     (n amplitude em radianos).

 

 

    Aplicações:

 

 I - Determinar o comprimento de um arco de circunferência a que corresponde um ângulo ao centro de 24º30', medindo o raio 2 metros.

 

 Por ser 24º30' = 1470' e 360º = 21600'

 teremos      c = 2x3,14x2 1470/21600

 donde     c = 0,854 m.

 

 II - O comprimento do arco de uma circunferência é 0,75 metros e o seu diâmetro mede 3 metros; qual é a sua amplitude em radianos?

 

 Como c = R . n, sendo c = 0,75 m e R = 1,5 m, obtem-se n = 1/2 rad.

 

 

 Exercícios LXXXII

 

 1) Qual é o comprimento do arco de circunferência de amplitude igual a 4/5 radianos e de 10 metros de raio?

 2) Qual é o comprimento de um arco de circunferência de amplitude igual a 25,2410 g e de 100 metros de raio?

 3) Qual é a amplitude, no sistema sexagesimal, de um arco de circunferência de 6,28 metros de comprimento e de 2 metros de raio?

 4) Qual é a amplitude, no sistema centesimal, de um arco de circunferência de 3,14 metros de comprimento e de 2 metros de raio?

 5) Qual é a amplitude, no sistema sexagesimal, de um arco de circunferênciade 3,14 metros de comprimento e de 8 metros de raio?

 6) Um arco de circunferência de amplitude igual a 2,5 radianos foi descrito com o raio de 4 metros. Calcular o comprimento desse arco.

 7) Qual é maior: o comprimento de um arco de circunferência de 1 metro de raio e 50 g de amplitude, ou o de um arco de 4 metros de raio e de 10º de amplitude? Justificar a resposta.

 8) Qual é a medida, no sistema centesimal, de um ângulo de um segmento cujos lados compreendem um arco de comprimento igual a 15,7 metros, medindo o raio 25 metros?

 9) Um ângulo inscrito numa circunferência mede 0,8 radianos e o comprimento do arco compreendido entre os lados do ângulo é igual a 16 metros. Quanto mede o raio?

 10) Qual é a medida, no sistema centesimal, de um ângulo inscrito numa circunferência, sabendo que o comprimento do arco compreendido entre os seus lados é 12,56 metros e o raio 4 metros?

 11) Determinar, no sistema centesimal, a medida do ângulo inscrito num arco de comprimento igual a 9,42 metros, sendo 4 metros a medida do raio.

 12) Um ângulo ex-inscrito mede 110 g. Sabendo que o prolongamento do lado exterior passa pelo centro da circunferência, determinar qual o comprimento do arco compreendido entre os lados do ângulo. O raio da circunferência mede 10 cm.