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| Capítulo IV |
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| egsandra, 2005-10-27 10:29 [#662] Publicado em 2005-10-27 15:14 por Jorge Nuno Silva |
| Tópicos: geometria euclidiana, Palma Fernandes, alunos |
| Ficheiros anexos: Capítulo IV.html cindyrun.jar fig132.cdy fig133.cdy fig134.cdy fig135.cdy fig136.cdy fig137.cdy fig138.cdy fig139.cdy fig140.cdy fig141.cdy fig142.cdy fig143.cdy fig144.cdy fig145.cdy fig146.cdy fig147.cdy fig148.cdy fig149.cdy fig150.cdy fig151.cdy fig152.cdy fig153.cdy fig154.cdy fig155.cdy fig156.cdy fig157.cdy fig158.cdy fig159.cdy fig160.cdy fig161.cdy fig162163.cdy fig164.cdy fig165.cdy fig166.cdy fig167.cdy fig168.cdy fig169.cdy fig170.cdy fig171.cdy fig172.cdy fig173.cdy fig174.cdy fig175.cdy fig176.cdy fig177.cdy fig178.cdy fig179.cdy fig180.cdy |
Trabalho realizado por Sandra Sofia Coelho.
Ficheiro anexo 'Capítulo IV.html':
CAPÍTULO IV
I
ÂNGULOS DETERMINADOS EM DUAS RECTAS POR UMA SECANTE
118)Consideremos as duas rectas
AB e CD (Fig. 132) e uma recta secante EF. Os
vários ângulos determinados pela secante são:
1) ângulo a, ângulo b, ângulo h e ângulo g,
que se chamam externos.
2) ângulo a e ângulo h; ângulo be ângulo g,
que se chamam externos do mesmo lado da secante.
3) ângulo c, ângulo d, ângulo e e ângulo f,
que se chamam internos.
4) ângulo c e ângulo f; ângulo d e ângulo
e, que se chamam internos do mesmo lado da secante.
5) ângulo a e ângulo g; ângulo b e ângulo
h, que se chamam alternos-externos.
6) ângulo c e ângulo e; ângulo d e ângulo
f, que se chamam alternos-internos.
7) ângulo a e ângulo e; ângulo b e ângulo
f; ângulo c e ângulo g; ângulo d e ângulo
h, que se chamam correspondentes.
EXERCÍCIOS XXI
Classificar, quanto à posição relativa, os ângulos das figuras seguintes:
a) ângulo a e ângulo b; b) ângulo
c e ângulo d; c) ângulo e e ângulo f; d)
ângulo f e ângulo g; e) ângulo h e ângulo
i;
f) ângulo j e ângulo k; g) ângulo j e ângulo
l; h) ângulo m e ângulo n; i) ângulo m e
ângulo o;
119) Duas rectas dizem-se
paralelas quando, situadas no mesmo plano, não têm nenhum ponto comum
(l) (Fig. 134).
Um segmento de recta ou uma semi-recta dizem-se paralelos em relação a uma recta, a uma semi-recta ou a um segmento de recta se as rectas que se obtêm prolongando os segmentos ou as semi-rectas forem paralelas.
(l) Alguns autores definem rectas paralelas como sendo as que, estando situadas no mesmo plano, não tem nenhum ponto comum ou são coincidentes. Nestas condições verificam-se para as rectas paralelas as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
Para se designar que duas rectas, dois segmentos ou duas semi-rectas
são paralelas usar-se-á o sinal ||. Teremos, assim,
AE || CD (Fig. 134), que se lê: «AB é paralela a CD».
Atendendo à definição de rectas paralelas podemos considerá-las como
dois conjuntos de pontos cuja intersecção é um conjunto vazio. No caso
anterior ABHCD = 0.
Note-se que esta notação só é aplicável a rectas paralelas e não a
segmentos de recta nem a semi-rectas, como sucede com a outra notação
que é aplicável a qualquer dos casos.
120) Axioma de Euclides
Por um ponto exterior a uma recta, é possível fazer passar uma recta
paralela e só uma (2).
COR. - Se duas rectas são paralelas, toda a
recta que intersecta uma intersecta a outra. (Fig. 135).
Na fig. 135, AB∩CD = 0 e EF∩AB = P. Se EF não
intersectasse CD ser-lhe-ia paralela e por P passariam duas rectas
paralelas a CD, o que é impossível pelo postulado anterior. Então, se
EF não é paralela a CD, intersecta-a.
121) TEOREMA: Se são iguais dois ângulos alternos-internos determinados em duas rectas por uma secante, as rectas são paralelas (Fig. 136 e 137).
(2) No parágrafo 146 ver-se-à como se faz a construção duma recta paralela a outra passando por um ponto exterior.
Hipótese: AB e GD são rectas cortadas pela
secante EF.
Tese: AB || CD.
Demonstração
Passos
1) AB e CD ou são paralelas ou concorrentes.
2) Se AB e CD fossem concorrentes, no ponto P, formava-se um triângulo
(Fig. 137).
3) Ângulo a > ângulo b (Fig. 137).
4) A alínea anterior é impossível.
5) AB || CD.
Justificações
1) Porque, no plano, duas rectas distintas ou são ||s ou concorrentes
(93 e 119).
2) Porque duas rectas concorrentes encontram-se num ponto (93).
3) Porquê? (87).
4) Por hipótese, ângulo a = ângulo b.
5) Se as rectas AB e CD não são concorrentes, são ||s.
Cor. - Se duas rectas são perpendiculares a
uma terceira, as rectas são paralelas (Fig. 138).
Os ângulos alternos-internos são iguais porque são ângulos rectos.
Portanto, AB é paralela a CD, o que se conclui pelo teorema
anterior.
122) TEOREMA RECÍPROCO: Se duas
rectas são paralelas, são os ângulos alternos-intentos determinados por
uma secante (Fig. 139).
Hipótese: Dados AB || CD e a secante EF.
Tese: ângulo a = ângulo b e ângulo c =
ângulo d.
Demonstração
Seja EG uma recta tal que ângulo FEG = ângulo b.
Passos
1) EG || CD.
2) EG coincide com AB.
3) ângulo FEG = ângulo a.
4) ângulo a = ângulo b.
5) ângulo c = ângulo d.
Justificações
1) Porquê? (121).
2) Porquê? (120).
3) Porquê? (42).
4) Porquê? (36).
5) Porquê? (57-2º).
COR. - Se uma recta é perpendicular a outra, é perpendicular a todas que são paralelas a esta última.
EXERCÍCIOS XXII
1) Quando AB || CD (Fig. 140) qual é das condições
seguintes:
ângulo c = 40º e ângulo f = 50º; ângulo c = 40º e
ângulo f = 30º; ângulo c = 40º e ângulo f = 40º; a
que se verifica? Justificar a resposta.
2) Quando AB não é paralela a CD (Fig. 140) qual é das condições
seguintes:
ângulo e = 120º e ângulo c = 60º; ângulo e = 120º
e ângulo d = 120º; ângulo e = 120º e ângulo a =
130º; a que se verifica? Justificar a resposta.
3) Se AB || CD e ângulo a =130º, quanto mede o ângulo e?
(Fig.140)
4) Se AB || CD e ângulo a =110º, quanto mede o ângulo f?
(Fig.140)
5) Justificar que AB || CD (Fig.140) se: a) ângulo e = 120º e
ângulo d = 120º; b) ângulo f = 60º e ângulo b =
60º;
c) ângulo f = 60º e ângulo d = 120º; d) ângulo g =
65º e ângulo a = 115º; e) ângulo h = 130º e ângulo
c = 50º.
6) Se (Fig. 140) ângulo c = 44º e ângulo e = 3/2 do
ângulo recto, que posição relativa têm as rectas AB e CD? Justificar a
resposta.
7) Se (Fig. 140) ângulo e = 135º e ângulo b = 1/3 ângulo
e, que posição relativa têm as rectas AB e CD? Justificar a
resposta.
8) Provar que AB || CD, se ângulo a = ângulo e (Fig.
140).
9) Provar que AB || CD, se ângulo c é suplemento do ângulo
e (Fig. 140).
10) Se (Fig. 141) AB e BC são rectas, é possível que:
a) ângulo a = 80º e ângulo b = 70º? b) ângulo a =
80° e ângulo b = 80°? c) ângulo a = 80º e ângulo b
= 90°? Justificar as respostas.
11) Se (Fig. 142) AB e CD são rectas, dizer qual a
sua posição e, no caso de serem concorrentes, para que lado se
encontram, se:
a) ângulo a = 70º e ângulo b = 75°; b) ângulo a =
70° e ângulo b = 65°; c) ângulo a = 70° e ângulo b
= 70°.
12) Se (Fig. 143) ângulo b = ângulo c e ângulo a =
ângulo d, demonstrar que AB || CD.
13) Se (Fig. 143) ângulo BAC = ângulo ACD e ângulo a = ângulo
d, demonstrar que AE || CF.
14) Se (Fig. 144) AB || CD e EB = DE, demonstrar que
triângulo AEB = triângulo DEC.
15) Se (Fig. 144) AB || CD e AB = CD, demonstrar que DE = EB
(3).
16) Se (Fig. 144) AE = EC e DE = EB, demonstrar que AB || CD.
17) Se (Fig. 144) AC perpendicular AB, AE=EC e EB=DE, demonstrar que AC
perpendicular CD.
(3)Neste exercício e nos seguintes deve primeiro demonstrar-se que triângulo AEB = triângulo DEC e concluir, em seguida, o que se pretende.
123) TEOREMA: Se são iguais dois ângulos correspondentes, determinados em duas rectas cortadas por uma secante, as rectas são paralelas (Fig. 145).
Hipótese: AB e CD são rectas cortadas pela
secante EF. ângulo a = ângulo b.
Tese: AB || CD.
Demonstração
Passos
1) ângulo a = ângulo c.
2) ângulo c = ângulo b.
3) AB || CD.
Justificações
1) Porquê? (66).
2) Porquê? (36).
3) Porquê? (121).
124) TEOREMA RECÍPROCO: Se duas rectas são paralelas,os ângulos correspondentes, determinados pôr uma secante, são iguais (Fig. 145).
Hipótese: Dados AB || CD e a secante EF.
Tese: ângulo a = ângulo b.
Demonstração
Passos
1) ângulo a = ângulo c.
2) ângulo b = ângulo c.
3) ângulo a = ângulo b.
Justificações
1) Porquê? (66).
2) Porquê? (122).
3) Porquê? (36).
De uma forma análoga se demonstraria que os outros pares de ângulos correspondentes são iguais.
125) TEOREMA: Duas rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.
Hipótese: AB || EF; CD || EF.
Tese: AB || CD.
Demonstração
Seja MN uma secante que intersecta as três rectas AB, CD e EF.
Passos
1) ângulo a = ângulo c e ângulo b = ângulo c.
2) ângulo a = ângulo b.
3) AB || CD.
Justificações
1) Porquê? (124).
2) Porquê? (36).
3) Porquê? (123).
126) TEOREMA: Se são iguais dois ângulos alternos-externos, determinados em duas rectas cortadas por uma secante, as rectas são paralelas.
(Demonstração para o estudante fazer)
127) TEOREMA RECÍPROCO: Se duas rectas são paralelas, os ângulos alternos-externos, determinados por uma secante, são iguais.
(Demonstração para o estudante fazer)
EXERCÍCIOS XXIII
1) Se (Fig. 147) ângulo A = 45°, ângulo ACB = 65º e
ângulo BCD = 70º, demonstrar que AB || CD.
2) Se (Fig. 147) AB || CD, ângulo A = 50° e ângulo ACB = 65°,
demonstrar que BC é a bissectriz do ângulo ACD.
3) Se (Fig. 147) CD for a bissectriz do ângulo BCE, ângulo A = 50° e
ângulo ACB = 80°,demonstrar que AB || CD.
4) Se (Fig. 148) AB || CD e EF || GH, demonstrar que:
a) ângulo a = ângulo d; b) ângulo b = ângulo e; c) ângulo c = ângulo
a;
5) Se (Fig. 149) AB perpendicular BD, CD perpendicular BD e ângulo b =
ângulo demonstrar que BE || DF.
6) Se (Fig. 148) BE || DF e ângulo b = ângulo d,
demonstrar que AB || CD.
7) Se (Fig. 150) ângulo a = ângulo b, demonstrar que ângulo c = ângulo
d.
8) Se (Fig. 151) AC = DF, BC = DE e BC || DE, demonstrar que AB ||
EF.
9) Se (Fig. 151) AC = DF, AB || EF e BC || DE, demonstrar que triângulo
ABC = triângulo DEF.
10) Se (Fig. 151) BC perpendicular AF, ED || BC, AB = EF e AC = DF,
demonstrar que triângulo ABC = triângulo DEF.
11) Se (Fig. 151) AB = EF, BC = ED e AC = DF, demonstrar que BC ||
ED.
12) Na Fig. 152 está representada uma régua AB e duas posições do mesmo
esquadro em que o mesmo bordo assenta na régua AB. Que posição relativa
têm as rectas CD e MN? Justificar a resposta.
13) Na Fig. 153, estão traçadas várias rectas desenhadas numa folha de papel, tendo-se usado, para isso, uma régua em T. A parte superior da régua assenta no bordo do papel. Justificar que as rectas desenhadas são paralelas.
128) TEOREMA: Se são suplementares dois ângulos externos do mesmo lado da secante, determinados em duas rectas, estas são paralelas.
Hipótese: AB e CD são rectas cortadas pela
secante EF. ângulo a e ângulo b são suplementares.
Tese: AB || CD.
Demonstração
Passos
1) ângulo a é suplemento do ângulo c.
2) ângulo c = ângulo b.
3) AB || CD.
Justificações
1) Porquê? (56).
2) Porquê? (57-1.°).
3) Porquê? (123).
129) TEOREMA RECÍPROCO: Se duas rectas são paralelas,os ângudos externos do mesmo lado da secante são suplementares (Fig. 154).
Hipótese: Dados AB || CD e a secante EF.
Tese: ângulo a e ângulo b são suplementares.
Demonstração
Passos
1) ângulo c = ângulo b.
2) ângulo a é suplemento do ângulo c.
3) ângulo a é suplemento do ângulo b.
Justificações
1) Porquê? (124).
2) Porquê? (56).
3) Porquê? (57-3º).
De uma forma análoga se demonstraria que o outro par de ângulos externos do mesmo lado da secante são suplementares.
130) TEOREMA: Se são suplementares dois ângulos internos do mesmo lado da secante determinados em duas rectas, estas são paralelas.
(Demonstração para o estudante fazer)
131) TEOREMA RECÍPROCO: Se duas rectas são paralelas, os ângulos internos do mesmo lado da secante são suplementares.
(Demonstração para o estudante fazer)
EXERCÍCIOS XXIV
1) Se (Fig. 155) ângulo a e ângulo b são
suplementares, demonstrar que ângulo e = ângulo f.
2) Se (Fig. 155) ângulo d = ângulo f, demonstrar que o ângulo a e o
ângulo b são suplementares.
3) Se (Fig. 155) ângulo d e ângulo g são supletementares, demonstrar
que o ângulo a e o ângulo b também o são.
4) Se (Fig. 156) ângulo x e ângulo y são suplementares, demonstrar que
ângulo B e ângulo C também o são.
5) Se (Fig. 156) AD || BC, ângulo B e ângulo C são suplementares,
demonstrar que ângulo BAD = ângulo C.
6) Se (Fig. 157) AB || CD, determinar a medida do ângulo a.
II
ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E DE LADOS PERPENDICULARES
132) TEOREMA: Dois ângulos de lados paralelos, cada um a cada um, e da mesma espécie, são iguais (Fig. 158).
Hipótese: Dados o ângulo a de lados BA e BC e o ângulo b de lados B'A' e B'C'. O ângulo a e o ângulo b são da mesma espécie. BA || B'A' e BC || B'C'.
Tese: ângulo a = ângulo b.
Demonstração
Passos
1) ângulo a = ângulo c e ângulo b = ângulo c.
2) ângulo a = ângulo b.
Justificações
1) Porquê? (122).
2) Porquê? (36).
133) TEOREMA: Dois ângulos de lados paralelos, cada um a cada um, e de espécie diferente, são suplementares (Fig. 159).
Hipótese: Dado o ângulo a de lados BA e BC e o ângulo b de lados B'A' e B'C'. O ângulo a e o ângulo b são de espécie diferente. BA || B'A' e BC || B'C'.
Tese: ângulo a é suplemento do ângulo b.
Demonstração
Prolongue-se o lado B'C' do ângulo b.
Passos
1) ângulo a = ângulo c.
2) ângulo c é suplemento do ângulo b.
3) ângulo a é suplemento do ângulo b.
Justificações
1) Porquê? (132)
2) Porquê? (56).
3) Porquê? (57-3°).
134) TEOREMA: Dois ângulo de lados perpendiculares, cada um a cada um, e da mesma espécie, são iguais (Fig. 160).
Hipótese: Dados o ângulo a de lados BA e BC e o ângulo b de lados B'A' e B'C'. O ângulo a e o ângulo b são da mesma espécie. BA perpendicular B'A' e BC perpendicular B'C'.
Tese: ângulo a = ângulo b.
Demonstração
Considere-se o ângulo c, da mesma espécie do ângulo
b, com vértice em B e de lados BM e BN, e tal que BM || B'C' e
BN || B'A'.
Passos
1) BM perpendicular BC e BN perpendicular BA.
2) ângulo a e ângulo c são complementos do ângulo d.
3) ângulo a = ângulo c.
4) ângulo b = ângulo c.
5) ângulo a = ângulo b.
Justificações
1) Porquê? (122, Cor).
2) Porquê? (58).
3) Porquê? (59-1º).
4) Porquê? (132).
5) Porquê? (36).
135) TEOREMA: Dois ângulos de lados perpendiculares, cada um a cada um, e de espécie diferente, são suplementares (Fig. 161).
Hipótese: Dados o ângulo a de lados BA e BC e o ângulo b de lados B'A' e B'C'. O ângulo a e o ângulo b são de espécie diferente. BA perpendicular B'A' e BC perpendicular B'C'.
Tese: ângulo a é suplemento do ângulo b.
Demonstração
Prolongue-se o lado BC do ângulo a.
Passos
1) ângulo b = ângulo c.
2) ângulo a é suplemento do ângulo c.
3) ângulo a é suplemento do ângulo b.
Justificações
1) Porquê? (134).
2) Porquê? (56).
3) Porquê? (57-3°).
EXERCÍCIOS XXV
1) As Figs. 162 e 163 são formadas por dois pares de
rectas paralelas. Dizer, justificando, qual a relação entre:
a) ângulo a e ângulo b; b) ângulo c e ângulo d.
2) Se (Fig. 164) AF || CD, AB perpendicular BE e DE perpendicular BE,
provar que ângulo A = ângulo D.
3) Se (Fig. 164) AF || CD, AB || DE e AF = CD, demonstrar que triângulo
ABF = triângulo CDE.
4) Sabendo que mede 35º o ângulo formado pelo cateto AC com a altura
referente à hipotenusa do triângulo ABC, rectângulo em C, determinar a
medida do ângulo B.
5) Sabendo que mede 65° o ângulo que fazem as
mediatrizes dos lados AB e BC do triângulo ABC, obtusângulo em B,
determinar a medida deste ângulo.
Na Fig. 165, OC perpendicular OE, OB perpendicular OD e AF é uma
recta.
6) Que relação existe entre o ângulo BOC e o ângulo
DOE? Justificar a resposta (Fig. 165).
7) Que relação existe entre o ângulo BOE e o ângulo COD? Justificar a
resposta (Fig. 165).
8) Se (Fig. 166) AB perpendicular AD e BC perpendicular CD, demonstrar
que:
ângulo A + ângulo B + ângulo C + ângulo D = 360º
9) Dois ângulos têm os lados paralelos e um deles
tem mais 25° do que o outro. Determinar a medida de cada um
deles.
10) Dois ângulos têm os lados perpendiculares e um deles é 7/3 do
outro. Determinar a medida de cada um deles.
III
RELAÇÕES ENTRE OS ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO
136) TEOREMA: A soma dos três ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso (Fig. 167).
Hipótese: Dado o triângulo ABC.
Tese: ângulo BAC + ângulo ABC + ângulo ACB = l ângulo raso.
Demonstração
Por B tire-se uma recta ED paralela ao lado AC.
Passos
1) ângulo EBA = ângulo BAC e ângulo CBD = ângulo ACB.
2) ângulo EBA + ângulo ABC + ângulo CBD = 1 ângulo raso.
3) ângulo BAC + ângulo ABC + ângulo ACB = l ângulo raso.
Justificações
1) Porquê? (122).
2) Porquê? (63-6º e 45).
3) Porquê? (85-1ª).
COR. I - Um triângulo não pode ter mais do que um ângulo recto ou um ângulo obtuso.
COR. II - Cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60º.
COR. III - Num triângulo rectângulo, os dois ângulos agudos são complementares.
COR. IV - Se dois triângulos têm dois ângulos iguais, cada um a cada um, os outros também o são.
COR. V - Dois triângulos são iguais se têm
dois ângulos iguais, cada um a cada um, e o lado oposto a um deles
igual (1. a. a. = 1. a. a.).
Pelo corolário anterior conclui-se que os outros ângulos são iguais,
reduzindo-se este caso ao já estudado no parágrafo 78.
COR. VI - Dois triângulos rectângulos são iguais se têm um cateto igual e o ângulo oposto igual.
COR. VII - Dois triângulos rectângulos são iguais se têm a hipotenusa igual e um ângulo agudo igual.
EXERCÍCIOS XXVI
1) No triângulo ABC, ângulo A = 50° e ângulo B =
60°, quanto mede o ângulo C?
2) No triângulo ABC, rectângulo em A, quanto mede o ângulo B, que é 8
vezes maior do que o ângulo C ?
3) No triângulo ABC, rectângulo em C, quanto medem o ângulo A e o
ângulo B, sabendo que ângulo A = 2/7 ângulo B?
4) Pode existir um triângulo cujos ângulos meçam:
a) 74°, 19° e 77º? b) 18°, 10° e 152°? c) 1/2 ângulo recto,1/2 ângulo
raso e 1/4 ângulo raso?
5) No triângulo ABC, ângulo A = 50° e ângulo B = 60°. Qual é o maior
lado? E o menor 1ado? Classificar o triângulo quanto aos ângulos e
quanto aos lados.
6) No triângulo ABC, ângulo A = 80° e ângulo B = 120°. Classificar o
triângulo e dizer as relações entre os lados.
7) Pode existir o triângulo ABC em que ângulo A = 70°, ângulo B =40°,
BC = 6 cm e AB=5 cm? Justificar a resposta.
8) Se (Fig. 168) ângulo p = 20° e ângulo BCA = 70°, quanto mede o
ângulo s?
9) Se (Fig. 168) ângulo m = 80° e ângulo BCA = 60°, quanto mede o
ângulo ABC?
10) Se (Fig. 168) ângulo q=25° e ângulo rn = 65°, quanto mede o ângulo
s? Nas condições anteriores, que nome tem o segmento BD?
11) Se (Fig. 168) ângulo BAC = 70°, ângulo r = l20° e ângulo p = 25°,
quanto mede o ângulo q? Nas condições anteriores, que nome tem BD no
triângulo ABC?
12) Se (Fig. 168) ângulo r =110° e ângulo n = 140°,
quanto mede ângulo ABC?
13) Se (Fig. 169) ângulo r = 130°, OF é a mediatriz do lado BC do
triângulo ABC e EC a bissectriz do ângulo ACB, quanto mede este
ângulo?
14) Se (Fig. 169) ângulo m = 120º e ângulo B = 70º, qual é o maior lado
do triângulo ABC? E o menor?
15) Se (Fig. 169) OF perpendicular BC, EC perpendicular AB e ângulo q =
50°, quanto mede o ângulo B?
16) Se (Fig. 169) ângulo n = 30° e ângulo A = 60º, sendo EC a
bissectriz do ângulo ACB, classificar o triângulo ABC quanto aos
lados.
17) Se (Fig. 169) ângulo A = 50º e ângulo m = 100",
sendo OF perpendicular BC e EC perpendicular AB, quais são as medidas
do ângulo B, do ângulo ACB e do ângulo r?
18) Considerar o triângulo ABC e as bissectrizes do ângulo A e do
ângulo B. Se ângulo A = 80º e ângulo C = 70º, quanto mede o menor
ângulo que as bissectrizes formam?
19) Considerar o triângulo ABC, a bissectriz do ângulo A e a altura
referente ao lado AC. Se ângulo A = 60°, quanto mede o maior ângulo que
a bissectriz forma com a altura?
20) O ângulo oposto à base de um triângulo isósceles mede 40°. Quanto
mede o maior ângulo formado pelas bissectrizes dos ângulos da base? E o
menor ângulo formado pelas alturas correspondentes aos lados
iguais?
21) Os ângulos de um triângulo são directamente proporcionais a 2, 3 e
5. Determinar a medida de cada um daqueles ângulos.
22) Os ângulos de um triângulo são representados por 2x - 5º, 3x + 50°
e x + 15°. Classificar o triângulo quanto aos ângulos e quanto aos
lados.
23) O triângulo ABC é isósceles de base AC (Fig. 170) e CD é a
bissectriz do ângulo C. Sabendo que ânguloADC = 93°, determinar a
medida de cada um dos ângulos do triângulo ABC.
24) O triângulo ABC é isósceles de base AC (Fig. 171), AD = DC, DE
perpendicular AB e DF perpendicular BC. Demonstrar que DE = DF.
25) Se (Fig. 172) AB perpendicular BC, DE
perpendicular CE e AC = CD, demonstrar que AB = DE.
26) Se (Fig. 172) AB perpendicular BC, DE perpendicular CE e AB = DE,
demonstrar que AC = CD.
27) Se (Fig. 173) EA = AB, ângulo D = ângulo C, DE perpendicular EB e
BC || DE, demonstrar que AD = AC.
28) Se (Fig. 173) AD = AC, ângulo D = ângulo C, DE perpendicular EB e
BC perpendicular EB, demonstrar que A é o pontn médio de EB.
29) Se (Fig. 174) AB perpendicular AD, BC
perpendicular CD e ângulo a = ângulo c, demonstrar que AB = BC.
30) Se (Fig. 174) AB perpendicular AD, BC perpendicular CD e BD for a
bissectriz do ângulo ABC, demonstrar que ângulo a = ângulo c.
31) Demonstrar que, se a soma de dois ângulos de um triângulo é igual
ao terceiro, o triângulo é rectângulo.
32) Demonstrar que, se duas rectas são paralelas, as bissectrizes de
dois ângulos internos do mesmo lado da secante são
perpendiculares.
33) Demonstrar que dois triângulos equiláteros são iguais se têm
alturas iguais.
34) A Fig. 175 representa uma escada que se pretende construir, sendo
AB a parte da escada onde assentam os degraus e BC o soalho. Sabendo
que o ângulo ABC = 132º, DB perpendicular BC e DE || BC, determinar as
medidas do ângulo EBD e do ângulo ângulo DBE.
35) A Fig. 176 representa um lago que separa dois
pontos A e B cuja distância se quer determinar. Marcou-se uma direcção
BC, verificando-se que ângulo B = 80º, e depois andou-se na direcção de
C até se marcar um ponto tal que ângulo C = 50°.
A distância de B a C é de 122 m; qual é a distância de A a B?
Justificar a resposta.
137) TEOREMA: Num triângulo, um ângulo externo é ígual à soma dos ângulos internos não adjacentes (Fig. 177).
Hipótese: Dado o ângulo ACD externo do triângulo ABC.
Tese: ângulo ACD = ângulo A + ângulo B.
Demonstração
Por C tire-se a paralela CE ao lado BA.
Passos
1) ângulo ACE = ângulo A.
2) ângulo ECD = ângulo B.
3) ângulo ACD = ângulo ACE + ângulo ECD.
4) ângulo ACD = ângulo A + ângulo B.
Justificações
1) Porquê? (122).
2) Porquê? (124).
3) Porquê? (63-6ª).
4) Porquê? (85-1ª).
EXERCÍCIOS XXVII
1) No triângulo ABC, ângulo A= 2/3 ângulo B e o
ângulo externo em C mede 150°.
Determinar a medida de cada um dos ângulos do triângulo.
2) No triângulo XYZ o ângulo X tem mais 25° do que o ângulo Z e o
ângulo externo em Y mede 85º. Quanto mede cada um dos ângulos do
triângulo?
3) No triângulo ABC o ângulo externo em A tem mais 50º do que o ângulo
B. Quanto mede o ângulo C?
4) Demonstrar (Fig. 178) que ângulo a - ângulo b = ângulo A - ângulo
D
5) Demonstrar (Fig. 179) que ângulo x = ângulo b -
ângulo c.
6) Se um triângulo é isósceles, demonstrar que a bissectriz do ângulo
esterno, aposto à base, é paralela à base.
7) Demonstrar que a soma dos ânigulos externos de um triângulo é igual
a 4 ângulos rectos.
8) AB (Fig. 180) representa a direcção que um navio seguia e F um
farol. O capitão do navio determinou, ao passar por A, que o ângulo FAB
= 38° e, avançando 8 milhas, até B, determinou que ângulo FBD = 76°. A
que distância do farol se encontra o ponto B? Justificar a
resposta.
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