CAPÍTULO X

I

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

    245) Dois triângulos dizem-se semelhantes quando têm os ângulos respectivamente iguais e os lados homólogos proporcionais.
   Aos ângulos respectivamente iguais também se dá o nome de ângulos homólogos e os vértices respectivos dizem-se homólogos; os lados homólogos são os que se opõem a ângulos iguais.
    Para designarmos que dois triângulos são semelhantes usamos o sinal ~.
    Se ( Fig. 330)
    Δ ABC ~ Δ MNP sendo ângulo A =  ângulo M, ângulo B   = ângulo N e  ângulo C  =  ângulo P, teremos
    AB/MN = BC/NP = AC/MP

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    Atendendo à definição anterior, conclui-se que:
    1º- Em triângulos semelhantes, a lados homólogos opõem-se ângulos iguais.

    2º- Em triângulos semelhantes, a ângulos iguais opõem-se lados homólogos.
 

    246) Razão de semelhança de dois triângulos semelhantes é a razão de dois lados homólogos.
    Como caso particular de semelhança temos a igualdade. Com efeito, se a razão de semelhança for 1, teremos

                                                        AB / MN = BC / NP = AC / MP = 1,

donde  AB = MN,      BC = NP    e    AC = MP
e como ângulo A = ângulo M,  ângulo B = ângulo N  e  ângulo C = ângulo P
fica provado o que se afirmou (74).
 

    247) Se Δ ABC ~ Δ MNP e Δ MNP = Δ RST, também Δ ABC ~ Δ RST. Com efeito, substituindo nas condições de semelhança dos dois primeiros triângulos os elementos do Δ MNP pelos correspondentes elementos iguais do Δ RST, obtêm-se as condições que permitem afirmar que Δ ABC ~ Δ RST (245).
 

    248) Teorema: A razão dos perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança.

    Hipótese: Δ ABC ~Δ MNP, sendo p e p', respectivamente, os seus perímetros e K a razão de semelhança.

    Tese:  p / p' = K.

    Demonstração

    Sendo AB, BC e AC, respectivamente, os lados homólogos de MN, NP e MP, teremos (245)

                                                                AB / MN = BC / NP =AC / MP
donde (237-4º)

                                                       (AB + BC + AC) / (MN + NP + MP) =AB / MN
ou  (246)

                                                                                  p / p' = K
 

 

EXERCÍCIOS LVII

    1) Sendo Δ MNP ~ Δ RST em que os lados MN e MP são, respectivamente, homólogos de ST e RS, dizer quais os outros elementos homólogos e escrever as suas relações.

    2) Sendo Δ ABC ~ Δ A'B'C'em que o lado AB e o ângulo B são, respectivamente, homólogos de B'C' e do ângulo C', dizer quais os outros elementos homólogos e escrever as suas relações.

    3) Sendo Δ XYZ ~ Δ RST em que o ângulo Y e o ângulo Z são, respectivamente, homólogos do ângulo R e do ângulo T, dizer quais os outros elementos homólogos e escrever as suas relações.

    4) No Δ ABC, a = 20 cm, b = 12 cm e c = 25 cm. Quanto mede cada um dos lados de um triângulo semelhante àquele, mas maior sendo a razão de semelhança 6/5 ?

    5) Num triângulo os lados medem 15 cm, 20 cm  e 25 cm; noutro triângulo semelhante o maior lado mede 35 cm. Determinar a medida de cada um dos outros dois lados deste ultimo triângulo e a razão de semelhança do triângulo menor para o maior.

    6) O Δ ABC ~ Δ MNP, a = 8 dm, c = 16 dm e o lado homólogo de b é n = 18 dm. Determinar b, m e p sabendo que a razão de semelhança do primeiro para o segundo triângulo é 2 / 3 (m é homologo de a).

    7) O perímetro de um triângulo é 18 cm e dois dos lados de outro triângulo semelhante medem 4 cm e 5 cm. Sendo a razão de semelhança do primeiro triângulo para o segundo igual a 2 / 3, determinar a medida do outro lado deste ultimo triângulo.

    8) Os perímetros de dois triângulos isósceles semelhantes são 22 cm e 33 cm. Determinar a medida de cada um dos lados do triângulo maior, sabendo que a base do menor mede 6 cm.

    9) A razão de semelhança de dois triângulos isósceles é 3 / 5, medindo a base do menor 6 cm e um dos braços do maior 15 cm. Determinar o perímetro de cada um dos triângulos.

                                          

II

CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

    249) Como vimos (245), se dois triângulos têm os três ângulos iguais, cada um a cada um, e os lados homólogos directamente proporcionais, são semelhantes. Porém, para se afirmar que dois triângulos são semelhantes, basta saber que se dão apenas algumas daquelas condições, como adiante demonstraremos.

   250) TEOREMA: Toda a recta paralela a um dos lados de um triângulo, e que intersecta os outros dois, determina outro triângulo semelhante àquele (Fig. 331).

    Hipótese: Dado o Δ ABC e DE paralela a AC.

    Tese: Δ DBE ~ Δ ABC.

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    Demonstração

    Como (124) ângulo BDE = ângulo BAC, ângulo BED = ângulo BCA e o ângulo B é comum ao Δ DBE e ao Δ ABC, fica provado que estes dois triângulos têm os ângulos iguais.

    Atendendo a que (239, Cor. II)

BD / BA = BE / BC = DE / AC

conclui-se que (245) Δ DBE ~ Δ ABC.

 

1º caso de semelhança

    251) TEOREMA: Dois triângulos que têm dois ângulos iguais são semelhantes (Fig. 332).

    Hipótese: Dados o Δ ABC e o Δ MNP em que ângulo A = ângulo M e ângulo B = ângulo N.

    Tese: Δ ABC ~ Δ MNP

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    Demonstração

    Marque-se sobre o lado AB, a partir do vértice B, um segmento BM' = NM e faça-se passar por M', um segmento M'P' paralelo a AC.

    Como (124)                   ângulo BM'P' = ângulo A

teremos, atendendo à hipótese, ângulo BM'P' = ângulo M

    Será, então (78),              Δ M'BP' = Δ MNP

    Mas (250)                       Δ ABC ~ Δ M'BP'

e portanto (247),                 Δ ABC ~ Δ MNP

 

    Cor. I - Dois triângulos rectângulos que têm um ângulo agudo igual são semelhantes.

    Cor. II - Dois triângulos equiláteros são semelhantes.  

    Cor. III - Dois triângulos isósceles que têm os ângulos opostos às bases iguais são semelhantes.     

    Com efeito, cada ângulo da base é igual  a metade da diferença entre dois rectos e o ângulo oposto à base, sendo, portanto, essas diferenças iguais.

    Cor. IV - Dois triângulos semelhantes a um terceiro são semelhantes entre si.

    Se o Δ ABC é semelhante ao Δ MNP e ao Δ RST, estes dois triângulos terão dois ângulos iguais a dois do Δ ABC e, portanto, iguais entre si. Então o Δ MNP ~ Δ RST.

    Aplicação:

    Construir o Δ MNP ~ Δ ABC, sendo dado o lado MN homólogo de AB (Fig. 333).

    Construam-se dois ângulos iguais, respectivamente, ao ângulo A e ao ângulo B com vértices em M e N. Seja P o ponto de intersecção dos lados dos dois ângulos obtidos. O Δ MNP é o pedido.

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    Justificação:

    O Δ ABC ~ Δ MNP porque têm dois ângulos iguais.

    EXERCÍCIOS LVIII

    1) No Δ ABC, ângulo A = 80º e ângulo B = 50º; noutro Δ XYZ, ângulo X = 50º e ângulo Z = 70º. Justificar que são semelhantes e escrever as relações entre os lados.

    2) No Δ ABC, ângulo A =30º 18' e ângulo B = 70º; noutro Δ XYZ, ângulo X = 70º e ângulo Y = 79º 42'. Justificar que são semelhantes e escrever as relações entre os lados.

    3) No Δ MNP, ângulo M = π / 6 rad. e ângulo N = 50º; noutro Δ XYZ, ângulo Y = (1/2) ângulo recto e ângulo Z = 105º. Justificar que são semelhantes e escrever as relações entre os lados.

    4) No Δ ABC, ângulo B = 75º e ângulo C = π/ 4 rad.; noutro Δ A'B'C', ângulo A' = 45º. Quanto devem medir o ângulo B' e o ângulo C', no sistema centesimal, para que os dois triângulos sejam semelhantes?

    5) É possível que o Δ ABC e o Δ DEF sejam semelhantes se: a) ângulo A = 89º e ângulo D =95º?  b) ângulo A = 68º, ângulo B = 57º, ângulo D =55º e ângulo E = 78º? Justificar as respostas.

    6) ABCD é um paralelogramo (Fig. 334): a) Demonstrar que o Δ ABE ~ Δ FCE ~ Δ FDA; b) Se EF = 9 cm, EC = 6 cm e AE = 12 cm, determinar BE; c) Se AB = 9 cm, AD = 20 cm e CF = 7 cm, determinar BE.

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    7) CD e AE são duas das alturas do Δ ABC ( Fig. 335); demonstrar que: a) Δ AEB ~ Δ CDB; b) AB x CD = AE x BC.

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    8) Se num trapézio se traçarem as diagonais, demonstrar que são semelhantes os triângulos opostos em que um dos lados de cada triângulo é uma das bases do trapézio.

    9) Na Fig. 336 determinar DE e AB, depois de justificar que Δ ADE ~ Δ ACB.

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   10) Na Fig. 337, AC é tangente à circunferência (O) e à circunferência (O'): a) Demonstrar que Δ AOB ~ Δ CO'B; b) Se os raios das circunferências medirem  8 cm e 6 cm e OO' = 28 cm, quanto mede OB?

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    11) O Δ ABC tem os seus vértices sobre uma circunferência, sendo AB um diâmetro. De um ponto do lado AC tire-se uma perpendicular a AB. Demonstrar que o triângulo obtido é semelhante ao Δ ABC.

    12) Construir o Δ XYZ ~ Δ ABC, isósceles de base AB. É dado o lado homólogo de AB, que é YZ.

    13) Construir o Δ RST ~ Δ MNP, rectângulo em M, sendo dado o lado RT homólogo da hipotenusa.

    14) Construir o Δ ABC ~ Δ A'B'C', obtusângulo em C', sendo dado o lado AB homólogo do lado maior do Δ A'B'C'.

    15) Construir o Δ MNP ~ Δ XYZ, rectângulo em X e escaleno, sendo dado o lado MN homólogo do cateto menor do Δ XYZ.

   16) Para se determinar a largura AB de um rio (Fig. 338) traçou-se EB perpendicular a AB e ED perpendicular a EB. Marcou-se o ponto C sobre EB, existente na recta AD, e mediu-se BC = 50 m, EC = 25 m e ED = 20 m. Qual é a largura do rio?

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    17) Pretende-se medir a altura da árvore CD (Fig. 339). Colocou-se um espelho plano no chão, no ponto B e o observador colocou-se de forma a ver a árvore reflectida no espelho. Sabendo que a altura dos olhos do observador em relação ao chão é de 1,6 m, que EB = 3 m e BD = 12 m, determinar a altura da árvore.

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    2º caso de semelhança

    252) TEOREMA: Dois triângulos que têm os três lados proporcionais são semelhantes (Fig. 340).

    Hipótese: Dados o Δ ABC e o Δ MNP em que

AB / MN = BC / NP = AC / MP

    Tese: Δ ABC ~ Δ MNP.

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    Demonstração

    Sobre o lado AB, a partir do vértice B, marque-se um segmento M'B = MN e sobre o lado BC, a partir do mesmo vértice, o segmento BP' = NP; trace-se o segmento M'P'.

    Atendendo aos dados, pode escrever-se AB / M'B = BC / BP', concluindo-se que M'P' é paralelo a AC (240, Cor.).

    Teremos então (239, Cor. II)

AB / M'B = AC / M'P'

donde, atendendo aos dados e a que M'B = MN,

AC / M'P' = AC /MP

e, portanto,                     M'P' = MP

    Será então (81)          Δ M'BP' = Δ MNP

e como (250)                 Δ ABC ~ Δ M'BP'

teremos (247)                Δ ABC ~ Δ MNP.

    Aplicação:

    No Δ ABC, AB = 12 cm, BC = 8 cm e AC = 16 cm; noutro Δ MNP, MN = 6 cm, NP = 12 cm e MP = 9 cm. Justificar que aqueles triângulos são semelhantes e escrever as relações entre os ângulos.

    Aos lados maior e menor de um dos triângulos correspondem no outro, respectivamente, os lados maior e menor. Teremos, por isso,

AC / NP = AB / MP = BC / MN   ou   16 / 12 = 12 / 9 = 8 / 6.

    Simplificando as razões anteriores obteremos

4 / 3 = 4 / 3 = 4 / 3.

    Justifica-se assim que os lados são directamente proporcionais, sendo, portanto, Δ ABC ~ Δ MNP.

    Teremos então (245-1.º)

ângulo B = ângulo M, ângulo C = ângulo N e ângulo A = ângulo P.

 

EXERCÍCIOS LIX

    1) No Δ ABC, AB = 20 cm, BC = 25 cm e AC = 35 cm; noutro Δ XYZ, XY = 15 cm, XZ = 21 cm e YZ = 12 cm. Justificar que os triângulos são semelhantes e escrever as relações entre os ângulos.

    2) No Δ XYZ, XY = 39 cm, XZ = 65 cm e YZ = 52 cm; noutro Δ MNP, MN = 28 cm, NP = 35 cm e MP = 21 cm. Justificar que são semelhantes e escrever as relações entre os ângulos.

    3) No Δ ABC, AB = 14,4 m, BC = 24 m e AC = 36 m; noutro Δ A'B'C', A'B' = 96 dm, B'C' = 1600 cm e A'C' = 24 m. Justificar que são semelhantes e escrever as relações entre os ângulos.

    4) No Δ ABC, a = 9 cm, b = 15 cm e c = 21 cm; noutro Δ MNP o lado menor é n = 12 cm. Determinar as medidas dos lados m e p de forma que aqueles triângulos sejam semelhantes.

    5) Na Fig. 341, BM e EN são, respectivamente, as bissectrizes do ângulo ABC e do ângulo DEF, BM = 12 cm, BC = 16 cm, MC = 9 cm; EN = 7,2 cm, EF = 9,6 cm e NF = 5,4 cm. Demonstrar que Δ ABC ~ Δ DEF.

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3º Caso de semelhança

    253) TEOREMA: Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual são semelhantes (Fig. 342).

    Hipótese: Dados o Δ ABC  e o Δ MNP em que

AB / MN = BC / NP e o ângulo B = ângulo N.

    Tese: Δ ABC ~ Δ MNP.

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    Demonstração

    Marquem-se sobre os lados AB e BC do Δ ABC, a partir do vértice B, segmentos M'B e BP' respectivamente iguais aos lados MN e NP do Δ MNP, e trace-se o segmento M'P'.

    Atendendo aos dados e a que M'B = MN e BP' = NP, pode escrever-se AB / M'B = BC / BP' concluindo-se que M'P' é paralelo a AC (240, Cor.).

    Será então (79)          Δ M'BP' = Δ MNP

e como (250)                 Δ ABC ~ Δ M'BP'

teremos (247)                Δ ABC ~ Δ MNP

    Cor. - Dois triângulos rectângulos que têm os catetos directamente proporcionais são semelhantes.

 

EXERCÍCIOS LX 

    1) No  Δ ABC, ângulo A = 70º, AC = 3 m e AB = 5 m; noutro Δ XYZ, ângulo Y = 70º, YZ = 10 m e XY = 6 m. Justificar que são semelhantes e dizer quais os ângulos iguais.

    2) No Δ ABC, ângulo B = 3 / 4 ângulo recto, AB = 12 cm e BC = 8 cm; noutro Δ MNP, ângulo P = 75º, MP = 6 cm e NP = 9 cm. Justificar que são semelhantes e dizer quais os ângulos iguais. 

    3) No Δ MNP, rectângulo em P, MP = 9 cm e NP = 60 mm; noutro Δ XYZ, rectângulo em Y, XY = 1,2 dm e YZ = 8 cm. Justificar que são semelhantes e dizer quais os ângulos iguais.

    4) Se (Fig. 343) CD = 4 cm, CE = 6 cm, AC = 10 cm e BC = 15 cm; a) demonstrar que Δ ABC ~ Δ CDE; b) se AB = 12 cm, quanto mede DE?

    5) Se (Fig. 343) CD = 6 cm, BD = 22 cm e EC = 8 cm, quanto deve medir AC para que seja Δ ABC ~ Δ CDE?

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    6) Pretende-se medir a distância do ponto A ao ponto B, que estão separados por um muro (Fig. 344). Para isso fizeram-se as medições AC = 18 m, AD = 27 m, BE = 24 m, EC = 8 m e DE = 14 m. Qual é a distância de A a B?

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    7) No quadrilátero ABCD as diagonais encontram-se num ponto O. Sendo AO = 12 dm, BO = 10 dm, CO = 18 dm e DO = 15 dm: a) demonstrar que Δ AOB ~ Δ COD; b) AB paralelo a CD.

 

    254) TEOREMA: A razão das alturas de dois triângulos semelhantes, correspondentes a dois lados homólogos, é igual à razão de semelhança (Fig. 345).

    Hipótese: Dado o Δ ABC ~ Δ MNP, de razão de semelhança K, em que os lados homólogos são AB e MN, BC e NP, AC e MP. BD e NR são as alturas relativas aos lados AC e MP.

    Tese: BD / NR = K

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    Demonstração

    Como o Δ ADB e o Δ MRN são rectângulos e ângulo A = ângulo M (245-1.º), conclui-se que (251, Cor. I) Δ ADB ~ Δ MRN.

    Teremos então (245-2.º)         BD / NR = AB / MN

ou (246)                                      BD / NR = K

    EXERCÍCIOS LXI

    1) Dois lados homólogos de dois triângulos semelhantes medem 8 m e 15 m e a altura referente ao primeiro lado mede 6 m. Quanto mede a altura referente ao outro lado?

    2) As alturas homólogas de dois triângulos semelhantes medem 5 cm e 12 cm. Determinar o perímetro do triângulo menor, sabendo que o perímetro do outro é 48 cm.