Texto Básico 4.ii - Quadriláteros

4.12 Definição. Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Na figura estão representados o quadrilátero convexo ABCD e o quadrilátero côncavo EFGH.

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Dois lados de um quadrilátero dizem-se lados consecutivos se têm um vértice comum. No caso contrário dizem-se lados opostos.

Dois vértices de um quadrilátero dizem-se vértices consecutivos se são extremos de um mesmo lado. No caso contrário dizem-se vértices opostos.

Diagonal de um quadrilátero é um segmento de recta cujos extremos são dois vértices opostos.

Na figura seguinte as diagonais estão a vermelho.

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No que se segue, quando nos referirmos a quadriláteros, apenas estamos a considerar os convexos.

Dois ângulos de um quadrilátero dizem-se ângulos consecutivos se os seus vértices são vértices consecutivos do quadrilátero. No caso contrário dizem-se ângulos opostos.

4.13 Definição. Um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos.

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4.14 Teorema.

a) Cada diagonal divide um paralelogramo em dois triângulos congruentes. Isto é, dado o paralelogramo ABCD, são congruentes os triângulos ABC e ADC e os triângulos BAD e BCD.

b) Dois lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

c) Dois ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

d) Dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.

4.15 Corolário. Dadas duas rectas paralelas r e s e dois pontos P e Q em r, as distâncias dos pontos P e Q à recta s são iguais.

4.16 Definição. A distância entre duas rectas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma delas à outra.

4.17 Teorema.

a) Um quadrilátero em que quaisquer dois lados opostos são congruentes é um paralelogramo.

b) Um quadrilátero que tem dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo.

c) Um quadrilátero em que as diagonais se bissectam é um paralelogramo.

4.18 Teorema. Um segmento de recta cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento.

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Demonstração. No triângulo ABC, sejam D e E os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.

Vamos mostrar que os segmentos DE e BC são paralelos e que DE=(1/2)BC.

Seja F o ponto da recta DE tal que E é o ponto médio do segmento DF.

Pelo caso LAL os triângulos EFC e EDA são congruentes.

Portanto, os ângulos DAE e FCE são congruentes. Como estes ângulos são alternos internos determinados pela secante AC nas rectas AB e CF, estas rectas são paralelas.

Também os segmentos CF e AD são congruentes. Como os segmentos AD e DB são congruentes, tem-se que são também congruentes os segmentos CF e BD.

Assim, os segmentos CF e BD são dois lados paralelos e congruentes do quadrilátero DFCB. Portanto, este quadrilátero é um paralelogramo.

Concluimos então que os segmentos DE e BC são paralelos e que, em virtude de DF=BC e de DE=1/2DF, se tem DE=(1/2)BC. QED

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4.19 Definição. Losango é um paralelogramo que tem os quatro lados congruentes.

Rectângulo é um paralelogramo que tem os quatro ângulos rectos.

Quadrado é um paralelogramo que é losango e rectângulo.

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4.20 Teorema.

a) Se um paralelogramo tem um ângulo recto, então é um rectângulo.

b) Num losango as diagonais bissectam-se e são perpendiculares.

c) Um quadrilátero em que as diagonais se bissectam e são perpendiculares é um losango.