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Num triângulo ABC se o ponto C está entre os pontos B e D, então diz-se que o ângulo ACD é um ângulo externo desse triângulo.

A cada vértice de um triângulo estão associados dois ângulos externos verticalmente opostos e portanto congruentes. Cada triângulo tem pois seis ângulos externos, os quais formam três pares de ângulos congruentes.

Se m(ângulo A) > m(ângulo B) diremos que o ângulo A é maior do que o ângulo B

3.2 Teorema do Ângulo Externo. Num triângulo, um ângulo externo é maior do que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.

Demonstração: Consideremos um triângulo ABC e um ponto D tal que C está entre B e D. Vamos provar que o ângulo ACD é maior do que o ângulo A e maior do que o ângulo B.

Seja E o ponto médio do segmento AC e seja F o ponto da recta BE tal que E é o ponto médio do segmento BF.

Dado que AE=CE, BE=FE e m(ângulo AEB)= m(ângulo CEF ), por estes ângulos serem verticalmente opostos, podemos concluir, tendo em conta o caso LAL, que os triângulos BEA e FEC são congruentes.

Portanto, os ângulos A e ACF são congruentes.

Por outro lado, o ponto F é um ponto interior do ângulo ACD. Assim, por aplicação do Postulado da Adição de Ângulos, podemos concluir que o ângulo ACD é maior do que o ângulo ACF. Portanto  o ângulo ACD é maior do que o ângulo A.

De forma idêntica se mostra que o ângulo ACD é maior do que o ângulo B. QED

3.3 Corolário: Se um triângulo tem um ângulo recto, então os seus outros dois ângulos são agudos

3.4 Teorema : Por um ponto exterior a uma recta passa uma única recta perpendicular à recta dada.

Demonstração: Sejam r, P uma recta e um ponto que não lhe pertence. Sejam Q e R dois pontos quaisquer de r. Se PQ ou PR for perpendicular a r, a existância de perpendicular está estabelecida. Caso contrário, consideremos, no semiplano determinado por r que não contém P, uma semirecta com origem em Q, que defina um ângulo com QR congruente com o ângulo PQR. Seja T um ponto dessa semirecta tal que QP=QT. O triângulo QTP é isósceles com base PT, sendo QR a bissectriz do ângulo TQP, portanto PT é perpendicular a r.

Suponhamos agora que por P passam duas rectas perpendiculares a r, s e t, que intersectam r nos pontos S e T, respectivamente.

Temos que os ângulos PTS e PST são rectos e pertencem ao triângulo PTS, o que contradiz o corolário anterior. Logo a perpendicular é única. QED

Dado um ponto A e uma recta r, ao ponto A’ que é a intersecção da recta r com a recta que lhe é perpendicular e que passa por A, dá-se o nome de pé da perpendicular traçada de A sobre r ou projecção ortogonal de A sobre r.

Ao segmento AA’ dá-se o nome de segmento da perpendicular traçada de A sobre r.

3.5 Definição Uma altura de um triângulo é o segmento da perpendicular traçada de um dos vértices do triângulo sobre a recta que contém o lado oposto.

Muitas vezes a palavra “altura” é usada para indicar o comprimento da altura, assim como a recta que a contém.

3.6 Teorema (4º Caso de Congruência de Triângulos - Caso LAA). Dados dois triângulos, ABC e DEF, se o segmento AB for congruente com o segmento DE, se o ângulo B for congruente com o ângulo E e se o ângulo C for congruente com o ângulo F, então os dois triângulos são congruentes.

Demonstração: Sejam os triângulos ABC, DEF de acordo com as hipóteses do teorema.

Seja C´ um ponto da semi-recta BC tal que BC´=EF.

Pelo caso LAL concluímos que os triângulos ABC´ e DEF são congruentes e consequentemente m(ângulo AC´B)=m(ângulo F) (*).

Suponhamos que B - C´ - C.

Relativamente ao triângulo AC´C, o ângulo AC´B é externo e o ângulo C é interno não adjacente.

Pelo Teorema do Ângulo Externo, m(ângulo AC´B)>m(ângulo C). Mas como por hipótese se tem m(ângulo C)=m(ângulo F), conclui-se m(ângulo AC´B)>m(ângulo F), o que contradiz (*).

Se supusermos B – C – C´ concluímos que m(ângulo AC´B)<m(ângulo F), o que novamente contradiz (*).

Portanto, os pontos C´e C não são distintos. Consequentemente, os triângulos ABC e DEF são congruentes. QED

3.7 Teorema da Hipotenusa e do Cateto. Sejam ABC e DEF dois triângulos rectângulos. Se a hipotenusa e um cateto do triângulo ABC forem congruentes com a hipotenusa e um cateto do triângulo DEF, então os dois triângulos são congruentes.

Demonstração: Consideremos os triângulos ABC e DEF com m(ângulo B)=m(ângulo E)=90 graus, AC congruente com DF e AB congruente com DE.

Seja Q o ponto na semirecta oposta a EF tal que EQ e BC são congruentes. Pelo Postulado LAL, temos que os triângulos DEQ e ABC são congruentes.

O triângulo DQF é isósceles, já que DQ e DF são congruentes, portanto os ângulos EFD e EQD são congruentes. Obtemos então que os ângulos EFD e BCA são congruentes. Pelo Teorema LAA obtemos que os triângulos DEF e ABC são congruentes. QED

3.8 Teorema. Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a esses lados também não são congruentes e ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

Demonstração: Consideremos um triângulo ABC com AB>AC.

Seja D o ponto de AC tal que AD e AB são congruentes. Como o triângulo ABD é isósceles, tem-se que os ângulos ABD e ADB são congruentes. Da hipótese segue-se que AD>AC, logo C está entre A e D. Portanto, C está no interior do ângulo ABD e, pelo Postulado da Adição de Ângulos, obtemos m(ângulo ABD) > m(ângulo ABC). Pelo Teorema do Ângulo Externo aplicado ao triângulo CBD, temos m(ângulo ADB) < m(ângulo ACB). Logo, m(ângulo ABC) < m(ângulo ABD) = m(ângulo ADB) < m(ângulo ACB). QED

3.9 Teorema. Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a esses ângulos também não são congruentes e ao maior ângulo opõe-se o maior lado.

Demonstração: Considere-se um triângulo ABC com m(ângulo C) > m(ângulo B).

Se AB = AC, então, pelo Teorema do Triângulo Isósceles, temos que os ângulos B e C são congruentes, contrariando a hipótese.

Se AB < AC, então, pelo teorema anterior, temos m(ângulo C) < m(ângulo B), contrariando a hipótese.

Concluímos assim que AB > AC. QED

3.10 Corolário: Num triângulo rectângulo, a hipotenusa é maior do que cada um dos catetos.

3.11 Corolário: Dado um ponto e uma recta, o menor segmento com uma extremidade no ponto e a outra sobre a recta é o segmento da perpendicular baixada do ponto sobre a recta

Demonstração: Consideremos uma recta r e um ponto P que não lhe pertence.

Seja Q um ponto de r tal que PQ é o único segmento com origem em P e perpendicular a r. Seja R um ponto de r distinto de Q. O triângulo PQR é rectângulo em Q com hipotenusa PR, sendo PQ um cateto. Pelo corolário 3.10 temos PQ < PR. QED

3.12 Definição Distância de um ponto a uma recta é o comprimento do menor segmento com uma extremidade no ponto e a outra sobre a recta.

A distância do ponto P à recta r representa-se por d(P,r) e tem-se:

d(P,r)=0 se a recta r passa pelo ponto P

d(P,r)=PP´, sendo P´o pé da perpendicular traçada de P sobre r, se a recta r não passa pelo ponto P

3.13 Teorema (Desigualdade Triângular). O comprimento de um lado de um triângulo é menor do que a soma dos comprimentos dos outros dois.

Demonstração: Seja ABC um triângulo. Vamos mostrar que, por exemplo, BC<AB+AC.

Seja D o ponto sobre a recta AC tal que se tenha D – A – C e AD=AB.

O triângulo ADB é isósceles, tendo por base o segmento DB.

Tem-se também que DC= DA+AC e portanto DC= AB+AC.

Como m(ângulo BDA) = m(ângulo DBA)< m(ângulo DBC), tem-se que BC<DC.

Portanto, BC<AB+AC. QED

3.14 Teorema. Dados dois triângulos, ABC e DEF, se o segmento AB for congruente com o segmento DE, se o segmento BC for congruente com o segmento EF e se o ângulo B for maior do que o ângulo E, então o comprimento do segmento AC é maior do que o comprimento do segmento DF.

Demonstração: Sejam ABC e DEF triângulos tais que AB = DE, BC = EF, m(ângulo B) > m(ângulo E).

Consideremos a semirecta BQ, com Q e A no mesmo lado de BC, tal que os ângulos QBC e E são congruentes. Sobre BQ tomemos o ponto K tal que BK = DE.

Pelo Postulado LAL temos que os triângulos KBC e DEF são congruentes, portanto KC e DF são também congruentes.

Se K pertence ao segmento AC, então temos KC < AC, e portanto, DF < AC.

Suponhamos que K não pertence ao segmento AC. Seja M o ponto em que a bissectriz do ângulo ABK intersecta AC.

Pelo Postulado LAL temos que os triângulos ABM e KBM são congruentes, e portanto MA = MK. Pela Desigualdade Triangular aplicada ao triângulo MKC, temos KC < CM + MA, isto é, DF < AC. QED

3.15 Teorema. Dados dois triângulos, ABC e DEF, se o segmento AB for congruente com o segmento DE, se o segmento BC for congruente com o segmento EF e se o comprimento do segmento AC for maior do que o comprimento do segmento DF, então o ângulo B é maior do que o ângulo E.

Demonstração: Sejam os triângulos ABC e DEF nas condições do teorema. Se o ângulo em B fosse menor que o ângulo em E, pelo teorema anterior, teríamos AC < DF, o que contradiz a hipótese.

Se os ãngulos fossem iguais, pelo Postulado LAL, teríamos a congruência entre os triângulos ABC e DEF, e portanto AC = DF, o que contraria a hipótese.

Temos então que o ângulo em B é maior que o ângulo em E. QED