Congruência de Triângulos

Dois segmentos (ângulos) são congruentes se têm a mesma medida.

Duas figuras planas são congruentes se uma delas puder ser deslocada, sem alterar as suas medidas nem a sua forma, até coincidir com a outra.

Exemplos de figuras congruentes:

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A congruência é uma relação entre figuras planas que verifica as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, é uma relação de equivalência.

Um triângulo é um polígono com três lados. Um triângulo ABC tem os elementos seguintes:

• três vértices: A, B e C.
• três lados: os segmentos AB, BC, CA.
• três ângulos internos: os ângulos ABC, BCA e CAB.

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Quanto à medida relativa dos seus lados um triângulo pode ser:

• equilátero se os três lados forem congruentes dois a dois.
• isósceles se dois dos seus lados forem congruentes. Neste caso o terceiro lado chama-se base do triângulo isósceles.
• escaleno se quaisquer dois lados têm medidas diferentes.

O triângulo ABC é equilátero, o triângulo DEF é isósceles e o triângulo GHI é escaleno:

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Quanto à medida dos ângulos um triângulo pode ser:

• rectângulo se um dos ângulos for recto. Neste caso, o lado oposto ao ângulo recto chama-se hipotenusa, e os outros dois catetos.
• acutângulo se os três ângulos forem agudos.
• obtusângulo se um dos ângulos for obtuso.
• equiângulo se os três ângulos forem congruentes dois a dois.

O triângulo ABC é rectângulo e o triângulo DEF é acutângulo:

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Definição Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência entre os seus vértices de forma a que sejam congruentes os pares de lados correspondentes e os pares de ângulos correspondentes. Assim, definida a correspondência A<-->D, B<-->E, C<-->F entre os triângulos ABC e DEF, se os ângulos A, B e C forem congruentes com os ângulos D, E e F, respectivamente, e os segmentos AB, BC e CA forem congruentes com DE, EF e FD, respectivamente, dizemos que os dois triângulos são congruentes.

Os dois triângulos são congruentes (a correspondência é A<-->Z, B<-->X, C<-->Y):

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Postulado 12 (1º Caso de Congruência de Triângulos - LAL) Dados dois triângulos, ABC e DEF, se o segmento AB for congruente ao segmento DE, o ângulo B for congruente ao ângulo E e o segmento BC congruente ao segmento EF, então os triângulos são congruentes.

Os triângulos ABC e XYZ são congruentes:

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Teorema do Triângulo Isósceles. Num triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.

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Demonstração: Dado o triângulo isósceles ABC, de base BC, consideremos a correspondência A<-->A, B<-->C, C<-->B. Por hipótese, tem-se que o segmento AB é congruente com o segmento AC, o segmento AC é congruente com o segmento AB; como o ângulo em A é igual a si mesmo, segue-se, pelo postulado anterior, que o triângulo ABC e o triângulo ACB são congruentes. Portanto, ângulo B==ângulo C.

Corolário: Todo o triângulo equilátero é equiângulo.

Definição: Uma semi-recta OC é uma bissectriz de ângulo AOB se está no interior do ângulo AOB e o ângulo AOC for congruente com o ângulo BOC. Neste caso tem-se m(ângulo AOC)=m(ângulo BOC)=m(ângulo AOB)/2.

Teorema. Cada ângulo tem exectamente uma bissectriz.

Demonstração: Dado um ângulo A, escolham-se dois pontos, B e C, nas semi-rectas de A, de forma a que os segmentos AB e AC sejam congruentes.

Seja M o ponto médio de BC, que está no interior do ângulo BAC. Aplicando o Teorema do Triângulo Isósceles ao triângulo ACB, obtemoa a congruência dos ângulos ABM e ACM.

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Pelo caso LAL de congruência de triângulos obtemos que os triângulos ABM e ACM são congruentes; portanto, AM é bissectriz do ângulo BAC.

Para provar a unicidade vamos admitir que AD é uma bissectriz do ângulo BAC. Então m(ângulo BAD)=m(ângulo BAM)=m(ângulo BAC)/2, donde, pelo postulado da construção do ângulo, a semi-recta AD coincide com a semi-recta AM.

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Definição. Bissectriz de um triângulo é um segmento da bissectriz de um dos seus ângulos, compreendido entre o respectivo vértice e o lado oposto.

Cada triângulo tem três bissectrizes, claro. Vejamos um exemplo:

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Teorema (2º Caso de Congruência de Triângulos - Caso ALA). Dados dois triângulos, ABC e DEF, se o ângulo A for congruente com o ângulo D, o segmento AB for congruente com o segmento DE e o ângulo B for congruente com o ângulo E, então os dois triângulos são congruentes.

Demonstração: Sejam os triângulos ABC, DEF de acordo com as hipóteses do teorema. Seja F' um ponto da semi-recta DF tal que DF' é congruente com AC.

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Vamos comparar os triângulos ABC e DEF' um com o outro.

Como os segmentos AB e DE são congruentes, assim como AC e DF' e os ângulos A e D, segue-se que os triângulos ABC e DEF' são congruentes, pelo caso LAL.

Conclui-se então que os ângulos DEF e DEF' são congruentes. Pelo postulado da construção do ângulo vem que as semi-rectas EF e EF' coincidem.

Portanto F e F' são o mesmo ponto, e temos que os triângulos ABC e DEF são congruentes.

Teorema (3º Caso de Congruência de Triângulos - Caso LLL) Se dois triângulos tiverem os três pares de lados correspondentes congruentes, então os triângulos são congruentes.

Demonstração: Consideremos os triângulos ABC e DEF tais que os segmentos AB, BC e CA são congruentes com os segmentos DE, EF e FD, respectivamente.

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No semi-plano determinado pela recta BC que não contém o ponto A, consideremos a semi-recta de origem B, formando com BC um ângulo congruente com o ângulo DEF. Escolha-se sobre ela um ponto D' de forma a que BD' seja congruente com DE. Pelo caso LAL obtemos que o triângulo D'BC é congruente com o triângulo DEF.

Vamos provar que os triângulos ABC e D'BC são congruentes.

Seja H o ponto comum ao segmento AD' e à recta BC.

Vamos supor primeiro que H está entre B e C, como na figura abaixo:

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Aplicando o teorema do triângulo isósceles aos triângulos BD'A e CAD'concluimos que os ângulos BAD' é congruente co o ângulo BD'A, assim como os ângulos CAD' e CD'A.

Utilizando o postulado da adição de ângulos, obtemos:

m(ângulo BAC)=m(ângulo BAD')+m(ângulo D'AC)=m(ângulo BD'A)+m(ângulo AD'C)=m(ângulo BD'C).

Portanto, pelo caso LAL, temos que os triângulos ABC e D'BC são congruentes.

No caso em que B está entre H e C, como na figura abaixo, demonstra-se analogamente que os triângulos D'BC e DEF são congruentes, assim como ABC e D'BC.

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Em ambos os casos, por transitividade, obtemos a congruência dos triângulos ABC e DEF.

Consideremos agora o caso em que H=B, isto é, A, B e D' são colineares.

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Neste caso, os ângulos A e D' são congruentes, pelo teorema do triângulo isósceles e, por transitividade, o mesmo sucede com os ângulos A e D.

Pelo caso LAL e por transitividade obtemos a congruência dos triângulos ABC e DEF.

Os casos restantes, H=C e B-C-H tratam-se de maneira semelhante.

Teorema. Por um ponto de uma recta passa exactamente uma recta perpendicular a essa recta.

Demonstração: Consideremos uma recta r e um seu ponto P:

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Seja H um semi-plano definido por r. Seja X um ponto de r diferente de P. Pelo postulado da construção do ângulo, existe Y em H tal que o ângulo XPY é um ângulo recto. Seja m a recta PY. Então m e r são perpendiculares.

Para estabelecer a unicidade, suponhamos que existem duas rectas m e n, passando pelo ponto P, perpendiculares a r, contendo os pontos Y e Z, respectivamente (em H).

As rectas m e n contêm as semi-rectas PY e PZ, em H. Por definição de perpendicularidade, tem-se m(ângulo XPY)=m(ângulo XPZ), o que contradiz o postulado da construção do ângulo, que diz existir uma única semi-recta em tais condições. Portanto, existe uma só recta perpendicular a r passando por P.

Definição. A mediatriz de um segmento é a recta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.

Como o ponto médio de um segmento é único, o mesmo sucede com a mediatriz.

Teorema. A mediatriz de um segmento é o conjunto dos pontos equidistantes das extremidades do segmento.

Demonstração: Seja o segmento AB com ponto médio M. Seja m mediatriz de AB, e C um ponto de m.

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Se C pertence ao segmento AB, então C=M, logo CA=CB, por definição de ponto médio. Caso contrário, temos CM=CM, MA=MB e ângulo CMA == ângulo CMB. Pelo caso LAL, temos a congruência dos triângulos CMA e CMB. Portanto, CA=CB. Nos dois casos obtemos que C é equidistante de A e B.

Seja agora C um ponto equidistante de A e B. Se C está no segmento AB, então C=M e C está em m.

Consideremos agora o caso em que C não pertence ao segmento AB.

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Seja m' a recta por C e M. Como CM=CM, MA=MB e CA=CB, pelo caso LLL, temos que os triângulos CMA e CMB são congruentes. Portanto m(ângulo CMA)=m(ângulo CMB)=90º, e, por definição, m' é perpendicular ao segmento AB. Pela unicidade da mediatriz, temos m=m', portanto C está em m.

Definição. Uma mediana de um triângulo é um segmento cujas extremidades são um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto.

Um triângulo e as suas três medianas:

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Teorema.Dado um triângulo isósceles ABC com base BC, a mediana do vértice A coincide com a bissectriz correspondente ao ângulo A.