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Definição 1 Um ângulo é a união de duas semi-rectas que têm a mesma origem, mas não estão contidas na mesma recta. As semi-rectas são os lados do ângulo. A origem das semi-rectas é o vértice do ângulo.

Notação O ângulo BAC, o ângulo CAB, o ângulo A, são expressões sinónimas para o ângulo formado pelas semi-rectas AB e AC. Usam-se as notações ângulo BAC, ângulo CAB, ângulo A.

Definição 2 O ponto P é interior ao ângulo BAC se os pontos P e B estão do mesmo lada da recta AC e os pontos P e C estão do mesmo lado da recta AB. O exterior de ângulo BAC é constituído pelos pontos que não estão no seu interior nem no próprio ângulo.

Os pontos P, Q, R, S, T são exteriores a ângulo BAC, mas o ponto U é interior.

Postulado 8 (Medida de ângulos) A cada ângulo corresponde um número real entre 0 e 180.

Definição 3

1. O número referido no postulado anterior chama-se a medida do ângulo e representa-se por m(ângulo BAC).
2. ângulos com a mesma medida dizem-se congruentes. Se os ângulos ângulo BAC e ângulo PQR são congruentes escrevemos ângulo BAC==ângulo PQR.

Postulado 9 (Construção de ângulo) Seja a semi-recta AB uma semi-recta da recta que define o semi-plano H. Para cada número real r entre 0 e 180 existe exactamente uma semi-recta AP com P em H, tal que m(ângulo PAB) =r.

Postulado 10 (Adição de ângulos) Se D é um ponto interior do ângulo BAC, então m(ângulo BAC)=m(ângulo BAD)+m(ângulo DAC).

Definição 4 Se a soma das medidas de dois ângulos for 180, dizemos que os ângulos são suplementares, e que cada um deles é o suplemento do outro.

Definição 5 Se a soma das medidas de dois ângulos for 90, dizemos que os ângulos são complementares , e que cada um deles é o complemento do outro.

Um ângulo cuja medida é maior que 90 chama-se obtuso . Se tiver medida inferior a 90 chama-se agudo.

Definição 6 Se as semi-rectas AB e AC forem opostas e AD é uma outra semi-recta, então ângulo BAD e ângulo DAC formam um par linear.

Postulado 11 (Postulado do Suplemento) Se dois ângulos formam um par linear então são suplementares um do outro.

Definição 7 Sejam as semi-rectas AB e AC tais que: ou são opostas e D está num dos semi-planos definidos pela recta AB, ou não estão contidas em nenhuma recta e D é ponto interior do ângulo BAC. Nestes casos os ângulos DAB e DAC dizem-se adjacentes. Se dois ângulos de um par linear forem congruentes, então cada um deles é um ângulo recto.

Definição 8 Dois conjuntos (rectas, semi-rectas ou segmentos) são perpendiculares se as rectas que os contêm determinam um ângulo recto.

Definição 9 Doi ângulos dizem-se opostos se os lados de um são as semi-rectas opostas aos lados do outro.

Teorema 1 Dois ângulos opostos são congruentes.

Os ângulos DAC e BAE são opostos.

Teorema 2 Se duas rectas que se intersectam formam um ângulo recto, então formam quatro ângulos rectos.

Definição 10 Sejam A um ponto e r um número real positivo. A circunferência de centro A e raio r é o conjunto de todos os pontos que estão à distância r de A. Usamos a notação C(A,r). O interior (conjunto dos pontos interiores) de C(A,r) é o conjunto dos pontos X tais que AX<r. O exterior (conjunto dos pontos exteriores) de C(A,r) é o conjunto dos pontos X tais que AX>r. Círculo é a união de uma circunferência com o seu interior.

Definição 11 Chama-se corda de uma circunferência a qualquer segmento de recta cujas extremidades pertençam à circunferência. Uma corda que contenha o centro da circunferência chama-se diâmetro. Um raio é qualquer segmento em que uma das extremidades é o centro da circunferência e a outra pertence à circunferência.

A medida de qualquer diâmetro é o dobro da medida de qualquer raio.

Exemplos de cordas (o segmento AD é um raio, o segmento FH é um diâmetro:

Definição 12 Duas circunferências (ou dois círculos) cujos raios são congruentes dizem-se congruentes.

Definição 13 Seja A_1, A_2, ..., A_n (n> 2) uma sequência de n pontos distintos tais que os segmentos A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{n-1}A_n, A_nA_1 têm as seguintes propriedades:

1. nenhum par de segmentos se intersecta, a não ser nas respectivas extremidades.
2. nenhum par de segmentos com extremidade comum está na mesma recta.

A união dos segmentos A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{n-1}A_n, A_nA_1 chama-se polígono, que notamos por polígono A_1A_2...A_n. Os pontos A_1, A_2, ..., A_n são os vértices do polígono, os segmentos são os lados. A soma dos comprimentos dos lados de um polígono é o seu perímetro.

Definição 14 Um polígono diz-se convexo se nenhum par dos seus pontos estiver em semi-planos opostos relativamente às rectas definidas por cada um dos lados.

Um polígono convexo (ABCDEF) e outro que não o é (GHKLMN):

Os ângulos do polígono convexo são ângulo A_{i-1}A_iA_{i+1} (i=2,...,n-1), A_{n-1}A_nA_1, A_nA_1A_2.

Os ângulos externos do polígono convexo A_1A_2...A_n são da forma ângulo B_iA_iA_{i+1} (i=2, ..., n-1), B_nA_nA_1, B_1A_1A_2, onde B_i (distinto de A_i) é um ponto qualquer da semi-recta oposta a A_iA_{i-1}; B_n (distinto de A_n) está na semi-recta oposta a A_nA_{n-1}; e B_1 (distinto de A_1) está na semi-recta oposta a A_1A_n, ou os seus ângulos opostos.

No exemplo seguinte temos o polígono ABCDE e alguns dos seus ângulos externos (ângulo MAB, ângulo NBC, ângulo OCD, etc):

O nome de cada polígono depende do seu número de lados: temos triângulos (3 lados), quadriláteros (4), pentágonos (5), hexágonos (6), heptágonos (7), octógonos (8), ..., n-ágonos (n).

Um polígono diz-se regular se for convexo e os seus lados forem congruentes dois a dois, assim como os seus ângulos.