II-Ângulos
Definição 1 Um ângulo é a união de duas semi-rectas
que têm a mesma origem, mas não estão contidas na mesma recta. As
semi-rectas são os lados do ângulo. A origem das semi-rectas é o
vértice do ângulo.
Notação O ângulo BAC, o ângulo CAB, o ângulo A, são
expressões sinónimas para o ângulo formado pelas semi-rectas AB e AC.
Usam-se as notações ângulo BAC, ângulo CAB, ângulo A.
Definição 2 O ponto P é interior ao ângulo BAC se os
pontos P e B estão do mesmo lada da recta AC e os pontos P e C estão do
mesmo lado da recta AB. O exterior de ângulo BAC é constituído
pelos pontos que não estão no seu interior nem no próprio ângulo.
Os pontos P, Q, R, S, T são exteriores a ângulo BAC, mas o ponto U é
interior.
Postulado 8 (Medida de ângulos) A cada ângulo corresponde um
número real entre 0 e 180.
Definição 3
- O número referido no postulado anterior chama-se a medida do
ângulo e representa-se por m(ângulo BAC).
- ângulos com a mesma medida dizem-se congruentes. Se os
ângulos ângulo BAC e ângulo PQR são congruentes escrevemos ângulo
BAC==ângulo PQR.
Postulado 9 (Construção de ângulo) Seja a semi-recta AB uma
semi-recta da recta que define o semi-plano H. Para cada número real r
entre 0 e 180 existe exactamente uma semi-recta AP com P em H, tal que
m(ângulo PAB) =r.
Postulado 10 (Adição de ângulos) Se D é um ponto interior do
ângulo BAC, então m(ângulo BAC)=m(ângulo BAD)+m(ângulo DAC).
Definição 4 Se a soma das medidas de dois ângulos for 180,
dizemos que os ângulos são suplementares, e que cada um deles é
o suplemento do outro.
Definição 5 Se a soma das medidas de dois ângulos for 90,
dizemos que os ângulos são complementares , e que cada um deles
é o complemento do outro.
Um ângulo cuja medida é maior que 90 chama-se obtuso . Se
tiver medida inferior a 90 chama-se agudo.
Definição 6 Se as semi-rectas AB e AC forem opostas e AD é
uma outra semi-recta, então ângulo BAD e ângulo DAC formam um par
linear.
Postulado 11 (Postulado do Suplemento) Se dois ângulos formam
um par linear então são suplementares um do outro.
Definição 7 Sejam as semi-rectas AB e AC tais que: ou são
opostas e D está num dos semi-planos definidos pela recta AB, ou não
estão contidas em nenhuma recta e D é ponto interior do ângulo BAC.
Nestes casos os ângulos DAB e DAC dizem-se adjacentes. Se dois
ângulos de um par linear forem congruentes, então cada um deles é um
ângulo recto.
Definição 8 Dois conjuntos (rectas, semi-rectas ou segmentos)
são perpendiculares se as rectas que os contêm determinam um ângulo
recto.
Definição 9 Doi ângulos dizem-se opostos se os lados
de um são as semi-rectas opostas aos lados do outro.
Teorema 1 Dois ângulos opostos são congruentes.
Os ângulos DAC e BAE são opostos.
Teorema 2 Se duas rectas que se intersectam formam um ângulo
recto, então formam quatro ângulos rectos.
Definição 10 Sejam A um ponto e r um número real positivo. A
circunferência de centro A e raio r é o conjunto de todos os
pontos que estão à distância r de A. Usamos a notação C(A,r). O
interior (conjunto dos pontos interiores) de C(A,r) é o
conjunto dos pontos X tais que AX<r. O exterior (conjunto dos
pontos exteriores) de C(A,r) é o conjunto dos pontos X tais que
AX>r. Círculo é a união de uma circunferência com o seu
interior.
Definição 11 Chama-se corda de uma circunferência a
qualquer segmento de recta cujas extremidades pertençam à
circunferência. Uma corda que contenha o centro da circunferência
chama-se diâmetro. Um raio é qualquer segmento em que uma
das extremidades é o centro da circunferência e a outra pertence à
circunferência.
A medida de qualquer diâmetro é o dobro da medida de qualquer
raio.
Exemplos de cordas (o segmento AD é um raio, o segmento FH é um
diâmetro:
Definição 12 Duas circunferências (ou dois círculos) cujos
raios são congruentes dizem-se congruentes.
Definição 13 Seja A_1, A_2, ..., A_n (n> 2) uma sequência
de n pontos distintos tais que os segmentos A_1A_2, A_2A_3, ...,
A_{n-1}A_n, A_nA_1 têm as seguintes propriedades:
- nenhum par de segmentos se intersecta, a não ser nas respectivas
extremidades.
- nenhum par de segmentos com extremidade comum está na mesma
recta.
A união dos segmentos A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{n-1}A_n, A_nA_1
chama-se polígono, que notamos por polígono A_1A_2...A_n. Os
pontos A_1, A_2, ..., A_n são os vértices do polígono, os
segmentos são os lados. A soma dos comprimentos dos lados de um
polígono é o seu perímetro.
Definição 14 Um polígono diz-se convexo se nenhum par
dos seus pontos estiver em semi-planos opostos relativamente às rectas
definidas por cada um dos lados.
Um polígono convexo (ABCDEF) e outro que não o é (GHKLMN):
Os ângulos do polígono convexo são ângulo A_{i-1}A_iA_{i+1}
(i=2,...,n-1), A_{n-1}A_nA_1, A_nA_1A_2.
Os ângulos externos do polígono convexo A_1A_2...A_n são da
forma ângulo B_iA_iA_{i+1} (i=2, ..., n-1), B_nA_nA_1, B_1A_1A_2, onde
B_i (distinto de A_i) é um ponto qualquer da semi-recta oposta a
A_iA_{i-1}; B_n (distinto de A_n) está na semi-recta oposta a
A_nA_{n-1}; e B_1 (distinto de A_1) está na semi-recta oposta a A_1A_n,
ou os seus ângulos opostos.
No exemplo seguinte temos o polígono ABCDE e alguns dos seus ângulos
externos (ângulo MAB, ângulo NBC, ângulo OCD, etc):
O nome de cada polígono depende do seu número de lados: temos
triângulos (3 lados), quadriláteros (4), pentágonos (5), hexágonos (6),
heptágonos (7), octógonos (8), ..., n-ágonos (n).
Um polígono diz-se regular se for convexo e os seus lados
forem congruentes dois a dois, assim como os seus ângulos.