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Postulado 1 Dados dois pontos, existe exactamente uma recta que os contém.

Postulado 2 Uma recta contém pelo menos dois pontos.

Postulado 3 Há pelo menos três pontos não colineares.

1.1 Definição. Duas rectas que não têm nenhum ponto comum dizem-se paralelas.

Rectas não paralelas chamam-se concorrentes.

1.2 Teorema. Duas rectas concorrentes têm exactamente um ponto comum.

Demonstração. Sejam r e s rectas distintas com pontos comuns (distintos) P e Q. Pelo Postulado 1, tanto r como s são determinadas por P e Q, logo r = s, o que é contraria a hipótese de r e s serem distintas. QED

1.3 Teorema.

1. Dada uma recta, existe pelo menos um ponto que não lhe pertence.
2. Dado um ponto, existe pelo menos uma recta que não o contém.
3. Dado um ponto, existem pelo menos duas rectas que o contêm.

Postulado 4 (Postulado da Distância) A cada par de pontos corresponde um único número real não negativo. Esse número é zero somente se os pontos forem coincidentes.

Postulado 5 (Postulado da Régua) Há uma correspondência entre os pontos de qualquer recta e os números reais, de forma a que:

1. cada ponto da recta corresponde exactamente a um número real,
2. cada número real corresponde exactamente a um ponto da recta,
3. a distância entre dois pontos é o valor absoluto da diferença dos respectivos números reais.
   
   Uma correspondência deste tipo chama-se sistema de coordenadas. Ao número correspondente a um ponto chama-se coordenada do ponto.

Postulado 6 (Postulado da Colocação da Régua) Dados dois pontos distintos sobre uma recta, A e B, pode ser escolhido um sistema de coordenadas de modo a que a coordenada de A seja 0 e a de B seja positiva.

1.4 Definição Sejam A, B, C três pontos colineares, distintos dois a dois. Se AB+BC=AC dizemos que B está entre A e C, e representamos por A-B-C.

Claro que se tem A-B-C exactamente quando C-B-A.

Para números reais, x, y, z, dizemos que y está entre x e z quando x<y<z ou z<y<x . Em qualquer dos casos usamos a notação x-y-z.

1.5 Teorema Sejam dados três pontos sobre uma recta, A, B e C, com coordenadas x, y e z, respectivamente. Se x-y-z, então A-B-C.

Demonstração. Se x < y < z, então AB = |y - x| = y - x; BC = |z - y| = z - y; AC = |z - x| = z - x. Logo, tem-se AB + BC = (y - x) + (z - y) = z - x = AC, e temos A - B - C. O caso z < y < x conduz, de forma semelhante, a C - B - A. QED

1.6 Teorema Sejam dados três pontos distintos sobre uma recta, A, B e C. Então exactamente um deles está entre os outros dois.

Demonstração. Sejam x, y, z as coordenadas de A, B, C, respectivamente. Pelas propriedades dos números reais, exactamente um dos números x, y, z está entre os outros dois. Portanto um dos pontos está entre os outros dois.

Admitamos que é A - B - C. Se A estivesse entre B e C ter-se-ia BA + AC = BC. Como, por hipótese, se tem que B está entre A e C, tem-se AB + BC = AC. Destas duas equações conclui-se 2AB = 0, o que é absurdo, já que A e B são pontos distintos. De forma semelhante se mostra que não se pode ter C entre A e B. QED

Teorema Sejam A e B dois pontos distintos. Então:

1. existe um ponto C tal que A-B-C,
2. existe um ponto D tal que D-A-B,
3. existe um ponto E tal que A-E-B.
   
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   A recta definida por dois pontos distintos A e B nota-se por recta(AB)

   1.8 Definição.

   a) Dados dois pontos, A e B, o segmento AB, que se nota por segmento(AB) é o conjunto cujos elementos são, para além dos pontos A e B, os pontos X tais que se tem A-X-B. Os pontos A e B chamam-se extremidades do segmento AB.

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   b) O comprimento do segmento AB é a distância entre as suas extremidades, nota-se por AB.

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   c) A semi-recta de origem A contendo o ponto B é o conjunto de pontos obtido mediante a união do segmento AB com o conjunto dos pontos X tais que se tem A-B-X. O ponto A é a origem da semi-recta. Denota-se por semi-recta(AB).

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   1.9 Definição Dois segmentos dizem-se congruentes se tiverem a mesma medida.

   1.10 Teorema da Localização de Pontos Seja semi-recta(AB) uma semi-recta e seja x um número positivo. Então existe um único ponto, P, em semi-recta(AB), tal que AP=x.

   1.11 Definição Um ponto B é o ponto médio de um segmento AC se B está entre A e C e se tem AB=BC.

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   1.12 Teorema Cada segmento tem um único ponto médio.

   Demonstração.Consideremos o segmento AC e o número real positivo x = (1/2)AC. Pelo Teorema da Localização de Pontos, existe um único ponto B na semirecta AC tal que AB = x.

   B está no segmento AC ou tem-se A - C - B, e, claro, B é distinto de A e de C.

   Se B está no segmento AC, temos A - B - C, logo AB + BC = AC e obtemos BC = AC - (1/2)AC = (1/2)AC = AB.

   Se A - C - B, então temos AC + CB = AB e CB = (1/2)AC - AC = -(1/2)AC < 0, o que é absurdo.

   Temos portanto AB + BC = AC e AB = BC, isto é, B é ponto médio do segmento AC.

   Suponhamos que AC tem ainda outro ponto médio, M. Então AM + MC = AC e AM = MC. Assim, 2AM = AC e, pelo Teorema 1.10, M terá de coincidir com B. Logo o ponto médio é único. QED

   Dizemos que o ponto médio do segmento AB bissecta o segmento.

   1.13 Definição Um conjunto de pontos é convexo se, para qualquer par de pontos A, B desse conjunto, o segmento AB está totalmente contido nele.

   Três exemplos de conjuntos convexos:

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   Três exemplos de conjuntos não convexos:

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   Postulado 7 (Separação do Plano) dada uma recta, os pontos que lhe não pertencem formam dois conjuntos disjuntos, tais que

   1. cada um deles é convexo,
   2. se A pertence a um deles e B pertence ao outro, então o segmento AB intersecta a recta.
   
   
   

   1.14 Definição Dada uma recta r, os conjuntos referidos no postulado anterior chamam-se semi-planos, e r é a origem de cada um deles. Dizemos que r separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos A e B estão no mesmo semi-plano, dizemos que se encontram do mesmo lado de r. Se estiverem em semi-planos diferentes, dizemos que estão em lados opostos de r.

   Se dois pontos estiverem no mesmo lado de uma recta, o mesmo sucede ao segmento que eles determinam. Se estiverem em lados opostos, o segmento e a recta intersectam-se.

   1.15 Teorema

   1. Se A e B estão em lados opostos de uma recta r, e B e C estão em lados opostos de r, então A e C estão do mesmo lado de r.
   2. Se A e B estão em lados opostos de r, e B e C estão no mesmo lado de r, então A e C estão em lados opostos de r.
      
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