Texto Básico 1.i - Rectas
Postulado 1 Dados dois pontos, existe exactamente uma recta
que os contém.
Postulado 2 Uma recta contém pelo menos dois pontos.
Postulado 3 Há pelo menos três pontos não colineares.
1.1 Definição. Duas rectas que não têm nenhum ponto comum
dizem-se paralelas.
Rectas não paralelas chamam-se concorrentes.
1.2 Teorema. Duas rectas concorrentes têm exactamente um
ponto comum.
Demonstração. Sejam r e s rectas distintas com pontos comuns
(distintos) P e Q. Pelo Postulado 1, tanto r como s são determinadas
por P e Q, logo r = s, o que é contraria a hipótese de r e s serem
distintas. QED
1.3 Teorema.
- Dada uma recta, existe pelo menos um ponto que não lhe
pertence.
- Dado um ponto, existe pelo menos uma recta que não o contém.
- Dado um ponto, existem pelo menos duas rectas que o contêm.
Postulado 4 (Postulado da Distância) A cada par de pontos
corresponde um único número real não negativo. Esse número é zero
somente se os pontos forem coincidentes.
Postulado 5 (Postulado da Régua) Há uma correspondência entre
os pontos de qualquer recta e os números reais, de forma a que:
- cada ponto da recta corresponde exactamente a um número real,
- cada número real corresponde exactamente a um ponto da recta,
- a distância entre dois pontos é o valor absoluto da diferença dos
respectivos números reais.
Uma correspondência deste tipo chama-se sistema de coordenadas.
Ao número correspondente a um ponto chama-se coordenada do
ponto.
Postulado 6 (Postulado da Colocação da Régua) Dados dois
pontos distintos sobre uma recta, A e B, pode ser escolhido um sistema
de coordenadas de modo a que a coordenada de A seja 0 e a de B seja
positiva.
1.4 Definição Sejam A, B, C três pontos colineares, distintos
dois a dois. Se AB+BC=AC dizemos que B está entre A e C, e
representamos por A-B-C.
Claro que se tem A-B-C exactamente quando C-B-A.
Para números reais, x, y, z, dizemos que y está entre x e z
quando x<y<z ou z<y<x . Em qualquer dos casos usamos a
notação x-y-z.
1.5 Teorema Sejam dados três pontos sobre uma recta, A, B e
C, com coordenadas x, y e z, respectivamente. Se x-y-z, então
A-B-C.
Demonstração. Se x < y < z, então AB = |y - x| = y - x;
BC = |z - y| = z - y; AC = |z - x| = z - x. Logo, tem-se AB + BC = (y -
x) + (z - y) = z - x = AC, e temos A - B - C. O caso z < y < x
conduz, de forma semelhante, a C - B - A. QED
1.6 Teorema Sejam dados três pontos distintos sobre uma
recta, A, B e C. Então exactamente um deles está entre os outros
dois.
Demonstração. Sejam x, y, z as coordenadas de A, B, C,
respectivamente. Pelas propriedades dos números reais, exactamente um
dos números x, y, z está entre os outros dois. Portanto um dos pontos
está entre os outros dois.
Admitamos que é A - B - C. Se A estivesse entre B e C ter-se-ia BA +
AC = BC. Como, por hipótese, se tem que B está entre A e C, tem-se AB +
BC = AC. Destas duas equações conclui-se 2AB = 0, o que é absurdo, já
que A e B são pontos distintos. De forma semelhante se mostra que não
se pode ter C entre A e B. QED
Teorema Sejam A e B dois pontos distintos. Então:
- existe um ponto C tal que A-B-C,
- existe um ponto D tal que D-A-B,
- existe um ponto E tal que A-E-B.
A recta definida por dois pontos distintos A e B nota-se por
recta(AB)
1.8 Definição.
a) Dados dois pontos, A e B, o segmento AB, que se
nota por segmento(AB) é o conjunto cujos elementos são, para além dos
pontos A e B, os pontos X tais que se tem A-X-B. Os pontos A e B
chamam-se extremidades do segmento AB.
b) O comprimento do segmento AB é a distância entre as
suas extremidades, nota-se por AB.
c) A semi-recta de origem A contendo o ponto B é o
conjunto de pontos obtido mediante a união do segmento AB com o
conjunto dos pontos X tais que se tem A-B-X. O ponto A é a
origem da semi-recta. Denota-se por
semi-recta(AB).
1.9 Definição Dois segmentos dizem-se congruentes se
tiverem a mesma medida.
1.10 Teorema da Localização de Pontos Seja semi-recta(AB) uma
semi-recta e seja x um número positivo. Então existe um único ponto, P,
em semi-recta(AB), tal que AP=x.
1.11 Definição Um ponto B é o ponto médio de um
segmento AC se B está entre A e C e se tem AB=BC.
1.12 Teorema Cada segmento tem um único ponto médio.
Demonstração.Consideremos o segmento AC e o número real
positivo x = (1/2)AC. Pelo Teorema da Localização de Pontos, existe um
único ponto B na semirecta AC tal que AB = x.
B está no segmento AC ou tem-se A - C - B, e, claro, B é distinto de
A e de C.
Se B está no segmento AC, temos A - B - C, logo AB + BC = AC e
obtemos BC = AC - (1/2)AC = (1/2)AC = AB.
Se A - C - B, então temos AC + CB = AB e CB = (1/2)AC - AC =
-(1/2)AC < 0, o que é absurdo.
Temos portanto AB + BC = AC e AB = BC, isto é, B é ponto médio do
segmento AC.
Suponhamos que AC tem ainda outro ponto médio, M. Então AM + MC = AC
e AM = MC. Assim, 2AM = AC e, pelo Teorema 1.10, M terá de coincidir
com B. Logo o ponto médio é único. QED
Dizemos que o ponto médio do segmento AB bissecta o
segmento.
1.13 Definição Um conjunto de pontos é convexo se,
para qualquer par de pontos A, B desse conjunto, o segmento AB está
totalmente contido nele.
Três exemplos de conjuntos convexos:
Três exemplos de conjuntos não convexos:
Postulado 7 (Separação do Plano) dada uma recta, os pontos
que lhe não pertencem formam dois conjuntos disjuntos, tais que
- cada um deles é convexo,
- se A pertence a um deles e B pertence ao outro, então o segmento AB
intersecta a recta.
1.14 Definição Dada uma recta r, os conjuntos
referidos no postulado anterior chamam-se semi-planos, e
r é a origem de cada um deles. Dizemos que r
separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos A e B estão no
mesmo semi-plano, dizemos que se encontram do mesmo lado de
r. Se estiverem em semi-planos diferentes, dizemos que estão em
lados opostos de r.
Se dois pontos estiverem no mesmo lado de uma recta, o mesmo sucede
ao segmento que eles determinam. Se estiverem em lados opostos, o
segmento e a recta intersectam-se.
1.15 Teorema
- Se A e B estão em lados opostos de uma recta r, e B e C
estão em lados opostos de r, então A e C estão do mesmo lado de
r.
- Se A e B estão em lados opostos de r, e B e C estão no mesmo
lado de r, então A e C estão em lados opostos de r.