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226) No parágrafo 89 foi dada a definição de teoremas recíprocos. Em geral, a hipótese de um dos teoremas é a tese do recíproco, e vice-versa.

No estudo já feito foram demonstrados vários teoremas e os seus recíprocos.

Dois teoremas contrários são aqueles em que a hipótese e a tese de um são respectivamente a negação da hipótese e da tese do outro.

Dois teoremas conversos ou contra-recíprocos são aqueles em que cada um é o contrário do recíproco do outro. A hipótese e a tese do converso de um teorema são, respectivamente, a negação da tese e da hipótese deste teorema.

Por exemplo, consideremos,

Teorema directo:

Teorema recíproco:

Teorema contrário:

Teorema converso:

Das definições dadas conclui-se que o converso do recíproco de um teorema é o contrário deste teorema , o que se pode verificar no exemplo anterior.

Vamos provar que dois teoremas conversos são equivalentes, isto é: verificado um deles, também o outro se verifica.

Com efeito, se for provado que quando se verifica H (hipótese) se verifica T (tese), também fica provado que se não se verifica T não se verifica H. Se assim não fosse e se, não se verificando T, se verificasse H, isto estaria em desacordo com o que se provou inicialmente.

É muito usado para fazer a demonstração de um teorema demonstrar o seu converso,o que já por várias vezes foi feito (98-2.º, 121, etc). Este modo de demonstração é conhecido pelo nome de método de redução do absurdo.

No "quadro" seguinte está um esquema das relações anteriormente tratadas:

: se se verifica H verifica-se T; o teorema recíproco é: se se verifica T verifica-se H.

: se se verifica H verifica-se T; o teorema contrário é: se não se verifica H não se verifica T.

: se se verifica H verifica-se T; o teorema converso é: se não se verifica T não se verifica H.

: se não se verifica H não se verifica T; o teorema contrário é:Se se verifica H verifica-se T (teorema directo).

: se não se verifica H não se verifica T; o teorema recíproco é: se não se verifica T não se verifica H (teorema converso);

: se não se verifica H não se verifica T; o teorema converso é: se se verifica T verifica-se H (teorema recíproco).

: se se verifica T verifica-se H; o teorema recíproco é: se se verifica H verifica-se T ( teorema directo ).

: se se verifica T verifica-se H; o teorema contrário é: se não se verifica T não se verifica H (teorema converso).

: se se verifica T verifica-se H; o teorema converso é: se não se verifica H não se verifica T (teorema contrário).

: se não se verifica T não se verifica H; o teorema recíproco é: se não se verifica H não se verifica T (teorema contrário).

: se não se verifica T não se verifica H; o teorema converso é: se se verifica H verifica-se T (teorema directo).

é: se não se verifica T não se verifica H; o teorema contrário é: se se verifica T verifica-se H (teorema recíproco).

Os quatro teoremas ficam demonstrados desde que se demonstrem apenas dois, um teorema e o seu recíproco ou um teorema e o seu contrário, visto que os outros dois são conversos.

No estudo que se segue, em que demonstraremos propriedades relativas a pontos e figuras, podem considerar-se os seguintes teoremas:

O ponto pertence à figura.

O ponto goza da propriedade.

O ponto goza da propriedade.

O ponto pertence à figura.

O ponto não pertence à figura.

O ponto não goza da propriedade.

O ponto não goza da propriedade.

O ponto não pertence à figura.

Como vimos (102), lugar geométrico de pontos é a figura cujos os pontos, é só eles, satisfazem a uma certa condição.

Para provar a existência de alguns lugares geométricos poderemos:

1.º- Demonstrar o teorema directo e o seu recíproco (já aplicado nos parágrafos 99, 100 e 104, 105),ou

2.º- Demonstrar o teorema directo e o seu contrário.

Qualquer destas formas de proceder perfeitamente justificada, visto que, demonstrados os dois citados teoremas, os outros também o ficam (228).

Para provar a existência dos lugares geométricos que a seguir vão ser estudados, empregaremos a segunda maneira anteriormente considerada.

Exemplos de lugares geométricos:

I- O lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto fixo é uma circunferência com o centro no ponto dado e cujo o raio é igual à distância dada.

Teorema directo

Todos os pontos de uma circunferência estão a uma distância do centro igual ao raio.

Qualquer ponto exterior à circunferência está a uma distância do centro maior do que o raio e qualquer ponto interior está a uma distância do centro menor do que o raio (180-5.ª).

II- O lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos de um segmento é a recta perpendicular ao meio desse segmento (Fig.299).

Seja C um ponto da resta CD perpendicular ao meio do segmento AB (mediatriz ou eixo). Por ser AD=DB os segmentos AC e BC são iguais, porque os seus pés estão igualmente afastados do pé da perpendicular (97-2.º), sendo, por isso, iguais as distâncias de C aos extremos do segmento AB.

Seja E um ponto exterior à mediatriz do segmento AB. Por E tire-se uma perpendicular EF e AB.

Como AF > FB, é AE > EB (97-3.º) e, portanto, E não pertence ao lugar geométrico.

III - O lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma recta é formado por duas rectas paralelas à primeira e equidistantes dela da distância dada (Fig.300).

SuponhamosAB||EF e CD||EF. Como a distância de duas rectas paralelas é dada pela distância de um ponto qualquer de uma das rectas à outra, concluímos que a distância das erctas paralelas AB e EF (Fig. 300) é MO e das rectas EF e CD é NO, supondo MN perpendicular a EF (94).

Vamos provar que são iguais todos os segmentos de perpendiculares compreendidos entre duas rectas paralelas. Com efeito, sendo esses segmentos paralelos, por serem perpendiculares à mesma recta (121, Cor.), eles são iguais por estarem cpmpreendidos entre restas paralelas (159, Cor. II).

Se for MO = NO podemos afirmar que todos os pontos de qualquer das rectas AB e CD estão à mesma distância de EF.

Qualquer ponto P exterior às rectas paralelas AB e CD está a uma distância maior da recta EF do que qualquer dos pontos daquelas rectas, visto ser PR > SR e SR = MO (PR perpendicular a EF); qualquer ponto interior Q está a uma distância menor, pois QU < TU e TU = NO (QU perpendicular a EF).

IV- O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas rectas paralelas é uma recta paralela às dadas e que passa pelo ponto médio do segmento da perpendicular compreendida entre as primeiras rectas (Fig. 300).

Teorema directo

Os pontos da recta EF estão equidistantes das rectas AB e CD, como é fácil concluir.

Qualquer ponto não existente na recta EF está desigualmente afastado das rectas AB e CD, como se conclui da Fig. 300.

V - O lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um ângulo é a bissectriz desse ângulo (Fig. 301).

Sejam AD e CD as distâncias de um ponto D da bissectriz do ângulo ABC aos lados do ângulo.

Como o ângulo ABD é igual ao ângulo CBD, o triângulo BAD e o triângulo BCD são iguais por terem a hipotenusa comum e um ângulo agudo igual (136, Cor.VII). Então AD = CD por se oporem a ângulos iguais de triângulos iguais.

Para qualquer outro ponto da bissectriz chegar-se-ía à mesma conclusão.

Seja E um ponto exterior à bissectriz. E estivesse equidistante de BA e BC, seria AF = EG (EF perpendicular a BA e EG perpendicular a BC) e o triângulo BFE seria igual ao triângulo BGE por rectângulos em F e G (103).

Nestas condições, o ângulo EBF é igual ao ângulo EBG por se oporem a lados iguais de triângulos iguais (75-1.ª).

Então BE coincidiria com BE e E existiria sobre a bissectriz, mas, como isso se não dá, EF não pode ser igual a EG.

A partir do lugar geométrico anterior facilmente se demonstra que:

O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas rectas concorrentes é constituído por duas rectas perpendiculares formadas pelas bissectrizes dos ângulos que aquelas rectas definem.

Para a resolução dos exercícios que se seguem é aconselhável marcar vários pontos obedecendo às condições de cada enunciado e, em seguida, unir esses pontos por uma linha, o que permitirá mais facilmente chegar às conclusões desejadas.

1) Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes simultaneamente a duas rectas paralelas?

2) Qual é o lugar geométrico dos extremos dos segmentos de recta iguais, em que os outros extremos se apoiam sobre uma recta, fazendo os segmentos com esta recta sempre ângulos iguais?

3) Qual é o lugar geométricos dos pontos equidistantes de duas circunferências concêntricas de raios iguais a 2 cm e 6 cm?

4) Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes simultanemaente aos lados de um ângulo?

5) Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma recta num dado ponto?

6) Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências de raio igual a 1 cm e tangentes a uma recta?

7) Qual é o lugar geométrico dos pontos médios dos raios de uma circunferência de 8 cm de raio?

8) Qual é o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos cujos os extremos existem sobre duas rectas paralelas?

9) Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por dois pontos fixos?

10) Qual é o lugar geométrico dos pontos médios das cordas de uma circunferência paralelas à mesma recta?

11) Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências de raio igual a 2 cm de tangentes exteriormente a uma circunferência de raio igual a 1 cm?

12) Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes 2 cm de uma circunferência de raio igual a: a) 3 cm? b) 2 cm? c) 1 cm?

13) Qual é o lugar geométrico dos vértices opostos à hipotenusa de todos os triângulos rectângulos com a mesma hipotenusa?

Nos problemas que se vão resolver usaremos lugares geométricos para a determinação de um ponto ou de pontos obedecendo a certas condições. A intersecção de um lugar geométrico com uma dada linha ou de dois lugares geométricos permite obter os pontos pedidos.

I- Construir a circunferência que passe em três pontos não em linha recta (Fig. 302).

Sejam A, B e C os pontos dados (Fig. 302). Construam-se as mediatrizes OD e OE dos segmentos AB e BC (143), que se intersectam no ponto O.

Com o raio OA trace-se uma circunferência de centro O, que é a pedida. Com efeito, o ponto O está equidistante dos pontos A, B e C, por pertencer às mediatrizes dos segmentos AB e BC (100)e, portanto, a circunferência de raio OA e centro O passa pelos pontos B e C (173).

Como consequência da construção e conclusões anteriores pode-se afirmar que:

1.º- Por três pontos não em linha recta passa uma circunferência, e só uma (1).

(1) Se os três pontos A, B e C estiverem em linha recta, as mediatrizes OD e OE dos segmentos AB e BC são paralelas (121, Cor.) não existindo nenhuma circunferência que passe por aqueles pontos.

2.º- Uma recta e uma circunferência não podem ter mais do que dois pontos comuns.

3.º- Duas circunferências distintas não podem ter mais do que dois pontos comuns.

II- Dadas duas rectas oblíquas AB e CD, determinar sobre AB os pontos que distam 1 cm de CD (Fig. 303).

Tiremos uma perpendicular em qualquer ponto da recta CD, por exemplo em D (144). Seja GH a recta perpendicular que passa por D.

Marquemos em GH, a partir de D, para um lado e para o outro, segmentos que meçam 1 cm.

Pelos pontos obtidos tirem-se paralelas a CD (o que se pode fazer com o auxílio de uma régua e esquadro), que encontram AB nos pontos I e J, que são pedidos.

Com efeito, os pontos I e J pertencem ao lugar geométrico dos pontos equidistantes 1 cm de CD e estão sobre AB.

III- Determinar os pontos equidistantes dos lados de um ângulo e que distam 1,5cm de um ponto D (Fig. 304).

Constrói-se a bissectriz do ângulo ABC (145).

Construindo a circunferÊncia de raio igual a 1,5cm, com centro em D, obtêm-se os pontos de intersecção dos dois lugares geométricos, que são H e I.

São os pontos de H e I que estão equidistantes dos lados de ângulo ABC, por existirem sobre a bissectriz, e distam 1,5 cm do ponto D por pertencerem à circunferência.

Nos exercícios que se seguem deve ter-se em atenção o seguinte:

I- Quando se pretende determinar um ponto a uma dada distância de outro aquele ponto existirá numa circunferência com centro no ponto dado e com raio igual à distância dada.

II- Quando se pretende determinar um ponto equidistante de dois pontos, ele existirá sobre a mediatriz do segmento definido pelos dois pontos.

III- Quando se pretende determinar um ponto a uma dada distância de uma recta, ele existirá sobre as paralelas à recta dada e distando dela da distância do ponto à recta.

IV- Quando se pretende determinar um ponto equidistante de duas rectas paralelas, ele existirá sobre a recta paralela às rectas dadas e equidistantes delas.

V- Quando se pretende determinar um ponto equidistante dos lados de um ângulo, ele existirá sobre a bissectriz do ângulo.

1) Uma recta dista 2 cm de um ponto P. Determinar sobre a recta os pontos que distam 3 cm de P.

2) Uma recta intersecta os lados de um ângulo. Determinar sobre a recta um ponto equidistante dos lados do ângulo.

3) Dado um triângulo rectângulo, determinar sobre um dos catetos um ponto equidistante dos extremos da hipotenusa.

4) Uma recta intersecta duas rectas paralelas. Determinar sobre a recta um ponto equidistante das paralelas.

5) Considerar uma circunferência de raio igual a 2 cm e um diâmetro AB. Determinar os pontos da circunferência que distam 1 cm do diâmetro AB.

6) Dada uma circunferência cujo centro coincide com o vértice do ângulo, determinar o ponto da circunferência equidistante dos lados do ângulo.

7) Dada uma circunferência de raio igual a 3 cm e um ponto P à distância de 2 cm do centro, determinar, sobre a circunferência, os pontos que distam 2 cm de P.

8) Dado um triângulo rectângulo, determinar sobre a hipotenusa um ponto equidistante dos catetos.

9) Dado o quadrado ABCD, de 2 cm de lado, determinar sobre os lados os pontos que distam 2,5 cm do vértice A.

10) Uma circunferência passa por dois pontos A e B. Determinar sobre a circunferência os pontos equidistantes de A e B.

11) Dados dois pontos A e B que distam de 3 cm, determinar os pontos que distam 2 cm de A e 3 cm de B.

12) Dada uma recta e um ponto P à distância de 4 cm, determinar os pontos que distam 3 cm da recta e 7 cm do ponto.

13) Dado um ângulo, determinar um ponto que diste 2 cm de cada um dos lados.

14) Dadas duas rectas paralelas à distância de 4 cm e um ponto P interior às rectas, distando 1 cm de uma delas, determinar os pontos equidistantes das paralelas e que distam 2 cm de P.

15) Determinar um ponto equidistante dos lados de um ângulo e equidistante dos extremos de um segmento.

16) Dados uma recta e um segmento oblíquo em relação à recta , determinar os pontos equidistantes dos extremos do segmento e que distam 1 cm da recta.

17) Dadas duas rectas paralelas e uma secante, determinar um ponto equidistante das três rectas.

18) Determinar um ponto equidistante de duas rectas paralelas e equidistante dos extremos de um segmento de oblíqua em relação às paralelas.

19) Determinar os pontos equidistantes dos lados de um ângulo e que distam 2 cm de uma recta que encontra os lados do ângulo.

20) Determinar um ponto equidistante dos lados de um ângulo e também equidistante de duas rectas paralelas.

21) Determinar um ponto que diste 3 cm de um ponto A e esteja equidistante de dois pontos B e C.

22) Dadas duas rectas paralelas e uma secante, determinar os pontos equidistantes das paralelas e que distam 2,5 cm da secante.

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