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| Capítulo III |
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| Teresa Pereira, 2004-03-29 17:10 [#193] Publicado em 2004-03-30 20:04 por Jorge Nuno Silva |
| Tópicos: Palma Fernandes |
| Ficheiros anexos: CAPÍTULO III.htm Fig115.cdy Fig116.cdy Fig117.cdy Fig118.cdy Fig119.cdy Fig120.cdy Fig121.cdy Fig122.cdy Fig123.cdy Fig124.cdy Fig125.cdy Fig126.cdy Fig127.cdy Fig128.cdy Fig129.cdy Fig130.cdy Fig131.cdy |
Trabalho realizado por Teresa Pereira, Fernanda Larião e Isabel Catarino.
Ficheiro anexo 'CAPÍTULO III.htm':
CAPÍTULO III
93) Como vimos (16) duas rectas concorrentes ou secantes são aquelas que têm um único ponto comum (Figs. 115 e 116), isto é AC ∩ BD = 0.
Duas rectas concorrentes são perpendiculares quando são iguais todos os ângulos por elas formados (Fig. 116); no caso contrário as rectas dizem-se oblíquas (Fig. 115).
Para se afirmar que duas rectas são perpendiculares basta saber-se que dois ângulos adjacentes são iguais. Com efeito, nas condições anteriores, os outros dois ângulos também são iguais, por serem verticalmente opostos daqueles.
É evidente que são rectos os ângulos formados por duas rectas perpendiculares, visto a sua soma ser igual a um ângulo giro (51).
Conforme uma recta é oblíqua ou perpendicular a outra, assim se chama ao ponto de intersecção pé ou traço da oblíqua ou pé ou traço da perpendicular. Na Fig. 115 o ponto O é o pé da oblíqua BD em relação a AC ou de AC em relação a BD e na Fig. 116 o ponto O é o pé da perpendicular BD em relação a AC ou de Ac em relação a BD.
94) A distância de um ponto a uma recta é o comprimento do segmento da perpendicular compreendido entre o ponto e a recta(1).
(1) Veremos no parágrafo 144, Cor. I e Cor II, que por um ponto só é possível fazer passar uma recta perpendicular a outra, e só uma.
95) Um segmento de recta ou uma semi-recta dizem-se perpendiculares ou oblíquos em relação a uma recta, a uma semi-recta ou a um segmento de recta conforme as rectas que se obtêm prolongando os segmentos ou as semi-rectas são perpendiculares ou oblíquas.
Para se designar que duas linhas são perpendiculares usa-se o sinal ⊥. Teremos, assim BD⊥AC (Fig. 116), que se lê: «BD perpendicular a AC».
96) Consideremos uma recta EF (Fig. 117) e um ponto A exterior; ao segmento AB da perpendicular tirada de A para EF, compreendido entre A e o pé da perpendicular, dá-se o nome de segmento da perpendicular ou simplesmente perpendicular traçada do ponto A para a recta EF. Qualquer outro segmento que una o ponto A com um ponto de EF chama-se segmento de oblíqua ou simplesmente oblíqua traçada do ponto A para a recta. Na Fig. 117, AC é uma oblíqua e C o seu pé ou traço.
97) TEOREMAS : Se de um ponto exterior a uma recta se tirarem uma perpendicular e várias oblíquas:
1.º – A perpendicular é menor que qualquer das oblíquas.
2.º – Duas oblíquas cujos pés estão equidistantes do pé da perpendicular são iguais.
3.º – De duas oblíquas é maior aquela que tiver o pé mais afastado do pé da perpendicular.
1.º – Sejam AB e AC, respectivamente, a perpendicular e a oblíqua tiradas do ponto A para a recta EF (Fig. 117).
Como (87) ∠ABF > ∠ACB e ∠ABF = ∠ABC, teremos (85-1ª) ∠ABC > ∠ACB
e, portanto (92), AC > AB.
2.º – Sejam AC e AD duas oblíquas tiradas do ponto A para a recta EF, AB a perpendicular e CB=BD (Fig. 118).
Como (79, Cor.) Δ ABC = Δ ABD, conclui-se que (75-2ª) AC = AD.
3.º – Sejam AC e AD duas oblíquas tiradas do ponto A para a recta EF, AB a perpendicular e CB > BD (Fig. 119).
Marque-se sobre EF um ponto G tal que GB = BD e trace-se o segmento AG.
Será. Então,
AG = AD
e, portanto (80, Cor. I),
∠b = ∠c
Como (87)
∠b > ∠a
conclui-se que (85-1ª)
∠c > ∠a
e, por consequência (92),
AC > AD
98) TEOREMAS RECÍPROCOS: Se de um ponto exterior a uma recta se tirarem vários segmentos para a recta:
1.º – O menor dos segmentos que se pode traçar é o da perpendicular.
2.º – Duas oblíquas iguais têm os pés equidistantes do pé da perpendicular.
3.º – De duas oblíquas a maior é a que tem o pé mais afastado do pé da perpendicular.
1.º – Seja AB o menor dos segmentos que se podem tirar do ponto A para a recta EF (Fig. 119). Se AB não fosse perpendicular a EF poder-se-ia tirar por A uma perpendicular a EF que seria menor que AB (97-1.º) o que é contra a hipótese.
Então AB tem que ser perpendicular a EF.
2.º – Sejam AC e AD duas oblíquas tiradas do ponto A para a recta EF, AB a perpendicular e AC = AD (Fig. 120).
Três casos se podem dar: CB > BD, CB < BD ou CB = BD (85-7.ª).
Se fosse CB > BD seria AC > AD (97-3.º), o que é contra a hipótese.
Se fosse CB < BD seria AC < AD (97-3.º), o que é contra a hipótese.
Sendo ambas as conclusões anteriores absurdas, só poderá ser CB = BD.
3.º – Demonstração para o estudante fazer, seguindo um caminho análogo ao da demonstração anterior.
1) Se (Fig. 121) AC ⊥ BD e AO > OC, demonstrar que AB + AD > BC + CD.
2) Dado o Δ ABC, não rectângulo, seja AD ⊥ BC, sendo D um ponto existente em BC. Demonstrar que AD < AB e AD > AC.
3) Se (Fig. 122) CO ⊥ AE, OA = OE e AB = DE, demonstrar que OB = OD.
4) Se (Fig. 122) CO ⊥ AE, OB = OD e AB = DE, demonstrar que OA = OE.
5) Se (Fig. 122) CO ⊥ AE, OB > OD e AB = DE, demonstrar que OA > OE.
6) Se (Fig. 122) CO ⊥ AE, OB = OD e AB > DE, demonstrar que AO > OE.
PERPENDICULAR AO MEIO DE UM SEGMENTO
99) TEOREMAS: Qualquer ponto equidistante dos extremos de um segmento existe na perpendicular ao meio do segmento (Fig. 123).
Hipótese: Dado o segmento CD e o ponto A tal que AC = AD.
Tese: O ponto A existe na perpendicular ao meio do segmento CD.
Una-se o ponto A com o ponto B que divide ao meio o segmento CD.
Δ ABC = Δ ABD
visto que AC = AD, CB = BD e AB é comum.
Será então (75-1.ª)
∠ ABC = ∠ ABD
ou, por serem suplementares os dois ângulos anteriores,
∠ ABC = 1 ∠ recto
e, portanto,
AB ⊥ CD.
Fica assim demonstrado que o ponto A existe na recta perpendicular ao meio do segmento CD. Para qualquer outro ponto, nas mesmas condições, chegava-se à mesma conclusão.
COR. – Dois pontos, equidistantes dos extremos de um segmento de recta, definem a recta perpendicular ao meio desse segmento.
100) TEOREMA RECÍPROCO: Qualquer ponto de uma recta perpendicular ao meio de um segmento está equidistante dos extremos do segmento (Fig. 123).
Hipótese: AB ⊥ CD e CB = BD
Tese: AC = AD
Tendo em vista o teorema do parágrafo 97-2.º, deduz-se que
AC = AD.
101) A recta perpendicular ao meio de um segmento de recta tem o nome de eixo ou mediatriz.
Atendendo aos dois teoremas anteriores, conclui-se que qualquer ponto da mediatriz de um segmento está equidistante dos seus extremos. Todos os pontos daquela recta gozam desta propriedade e só aqueles pontos é que estão equidistantes dos extremos do segmento.
102) Como o lugar geométrico de pontos é a figura cujos pontos, e só eles, satisfazem a uma certa condição, podemos, portanto, dizer que: A recta perpendicular ao meio de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos extremos do segmento.
1) Provar que o segmento de recta que une o vértice de um triângulo isósceles com o meio da base é perpendicular à base.
2) Se a perpendicular ao meio do lado de um triângulo passa pelo vértice oposto, demonstrar que o triângulo é isósceles.
3) Se (Fig. 124) AB = AD e CB = CD, demonstrar que AC ⊥ BD.
4) Demonstrar que a recta que une os vértices de dois triângulos isósceles, com a mesma base, é perpendicular ao meio da base.
103) TEOREMA: Dois triângulos rectângulos são iguais se têm a hipotenusa igual e um cateto igual (Fig. 125).
Hipótese: Dados o Δ ABC e o Δ MNP, em que AB = MN, BC = NP, ∠ C = 1 ∠ recto e ∠ OP = 1 ∠ recto.
Tese: Δ ABC = Δ MNP
Desloque-se o Δ MNP e sobreponha-se NP a BC ficando o ponto M para o lado oposto de A em relação à recta BC. Seja M’ a nova posição do ponto M.
Como ∠ ABC = 1 ∠ recto e ∠ BCM’ = ∠ MPN = 1 ∠ recto, conclui-se que ∠ ACM’ = 1 ∠ raso.
Então CA e CM’ são duas semi-rectas opostas formando por isso uma recta (20).
Como
AB = MN e BM’ = MN,
teremos
AB = BM’
e, portanto (98-2.º)
AC = CM’
Será, então (81),
Δ ABC = Δ BCM’
ou (36)
Δ ABC = Δ MNP.
104) TEOREMA: Qualquer ponto equidistante dos lados de um ângulo existe na bissectriz do ângulo (Fig. 126).
Hipótese: Dado o ∠ BCD, o ponto A, AB ⊥ CB, AD ⊥ CD e BA = AD.
Tese: O ponto A existe na bissectriz do ∠ BCD.
Trace-se a semi-recta CA.
Como AB = AD e CA é comum ao Δ ABC e ao Δ ADC, rectângulos, respectivamente, em B e D, conclui-se, pelo teorema anterior, que aqueles triângulos são iguais.
Será então (75-1.ª)
∠ BCA = ∠ ACD
e, portanto, CA é bissectriz do ∠ BCD (44).
Para qualquer outro ponto nas mesmas condições, chegava-se à mesma conclusão.
105) Também se demonstra o:
TEOREMA RECÍPROCO: Qualquer ponto da bissectriz de um ângulo está equidistante dos lados do ângulo.
Atendendo aos dois teoremas anteriores, podemos afirmar que: A bissectriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados do ângulo.
1) Demonstrar que o ponto médio da base de um triângulo isósceles está equidistante dos braços. (Sugestão: Unir aquele ponto com o vértice oposto à base).
2) Se (Fig. 127) BO e CO são as bissectrizes dos ângulos externos do Δ ABC, respectivamente em B e C, demonstrar que o ponto O existe na bissectriz do ∠ A.
III
LINHAS E PONTOS NOTÁVEIS NO PLANO DO TRIÂNGULO
106) Eixo ou mediatriz de um triângulo é a recta perpendicular ao meio de qualquer dos seus lados. Na Fig. 128 estão representadas as três mediatrizes do Δ ABC.
107) TEOREMA: As mediatrizes de um triângulo encontram-se num ponto (Fig.128).
Hipótese: OD, EP e OF são mediatrizes, respectivamente, dos lados AB, BC e AC do Δ ABC.
Tese: EP passa pelo ponto O de intersecção de OD e OF.
Tracem-se os segmentos AO, OB e OC.
Passos Justificação
1) AO = OB e AO = OC. 1) Porquê? (100).
2) OB = OC 2) Porquê? (25).
3) O existe na mediatriz do lado BC. 3) Porquê? (99).
4) EP passa pelo ponto O. 4) Porque, pelos dados, EP é a mediatriz do lado BC.
COR. – O ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo está equidistante dos vértices.
108) Ao ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo dá-se o nome de circuncentro ou centro da circunferência circunscrita.
109) Bissectriz de um triângulo é a bissectriz de qualquer dos seus ângulos. Na Fig. 129 estão representadas as três bissectrizes do Δ ABC.
110) TEOREMA: As bissectrizes de um triângulo encontram-se num ponto (Fig. 129).
Hipótese: AO, BO e CP são as bissectrizes dos ângulos do Δ ABC.
Tese: CP passa pelo ponto O de intersecção de AO e de BO.
Demonstração
Tracem-se os segmentos OD ⊥ AB, OE ⊥ BC e OF ⊥ AC.
Passos Justificação
1) OD = OE e OD = OF. 1) Porquê? (105).
2) OE = OF 2) Porquê? (25).
3) O existe na Bissectriz do ∠ C. 3) Porquê? (104).
4) CP passa pelo ponto O. 4) Porque, pelos dados, CP é a bissectriz do ∠ C.
COR. – O ponto de encontro das bissectrizes de um triângulo está equidistantes de todos os lados.
111) Ao ponto de encontro das bissectrizes de um triângulo dá-se o nome de incentro ou centro da circunferência inscrita.
112) Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular baixada de um vértice sobre o lado oposto ou sobre o seu prolongamento. Na Fig. 130 estão representadas as três alturas do Δ ABC.
113) Demonstra-se que:
TEOREMA: As alturas de um triângulo ou os seus prolongamentos encontram-se num ponto (Fig. 130).
114) Ao ponto de encontro das alturas de um triângulo ou dos seus prolongamentos chama-se ortocentro. Na Fig. 130 o ponto O é o ortocentro, sendo as alturas os segmentos AD, BE e CF.
115) Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice com o meio do lado oposto. Na Fig. 131 estão representadas as três medianas do Δ ABC.
116) Também se demonstra que:
TEOREMA: As medianas de um triângulo encontram-se num ponto cuja distância a qualquer vértice é 2/3 da mediana respectiva.
117) Ao ponto de encontro das medianas de um triângulo dá-se o nome de baricentro ou centro de gravidade. Na Fig. 131 as medianas são os segmentos AD, BE e CF e O é o baricentro. Pelo teorema anterior conclui-se que:
AO = 2/3.AD, OC = 2/3.CF e OB = 2/3.BE.
EXERCÍCIOS XX
1) Onde fica situado o ortocentro de um triângulo: a) acutângulo? b) rectângulo? c) obtusângulo?
2) Onde fica situado o incentro de um triângulo: a) acutângulo? b) rectângulo? c) obtusângulo?
3) Onde fica situado o circuncentro de um triângulo: a) acutângulo? b) rectângulo? c) obtusângulo?
4) A mediana AD do Δ ABC mede 12 cm. Qual é a distância do baricentro ao vértice A?
5) A distância do baricentro de um triângulo equilátero a um dos vértices é 7 cm. Qual é a distância do baricentro a um dos lados?
6) Demonstrar que coincidem o eixo, a altura e a mediana relativamente à base de um triângulo isósceles, assim como a bissectriz do ângulo oposto à base.
7) Qual é o triângulo em que coincidem todos os segmentos notáveis correspondentes a cada lado?
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