IV

RELAÇÕES ENTRE OS ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO

84) TEOREMA: Num triângulo, qualquer lado é menor do que a soma dos outros dois (Fig. 107).

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Hipótese: Dado o Δ ABC.

Tese: AB < BC + AC; AC < AB + BC; BC < AB + AC.

Demonstração

Este teorema é consequência imediata do postulado:

O segmento de recta é a linha mais curta que se pode traçar unindo dois pontos (16-a).

Cor. – Num triângulo, qualquer lado é maior do que a diferença dos outros dois.

Se (Fig. 107) BC > AC > AB conclui-se, das desigualdades anteriores, que

AB > BC – AC, AC > BC – AB e BC > AC – AB.

As relações anteriores ainda são verificadas se

BC = AC = AB ou BC = AC > AB ou BC > AC = AB.

EXERCÍCIOS XIII

1) Podem existir triângulos cujos lados meçam : a) 6 m, 7 m e 13 m ? b) 8 cm, 20 mm e 11 cm? c) 4 m, 70 dm e 10 m?

2) Entre que valores pode variar a medida de um lado de um triângulo, sabendo que os outro dois medem: a) 4 m e 11 m? b) 7 m e 18 dm? c) 140 mm e 14 cm?

3) Quais são os números inteiros que podem ser as medidas, em metros, dos lados de um triângulo, em que os outros dois lados medem 2 m e 3 m?

4) O  Δ ABC é isósceles, de base AB. Seja D um ponto do prolongamento do lado BC, para o lado do vértice C. Trace-se o segmento AD. Demonstrar que DA < DB.

5) No Δ MNP seja X um ponto interior do lado MN. Demonstrar que PX + XN < MP + MN.

85) Nas demonstrações que se seguem usaremos, por vezes, algumas das propriedades seguintes:

            1.ª - Uma quantidade pode ser substituída por outra igual numa igualdade ou numa desigualdade.

            2.ª - Dadas três quantidades da mesma espécie a, b e c, se a > b e b > c então a > c. (Propriedade transitiva da desigualdade).

            3.ª - Adicionando a mesma quantidade ou quantidades iguais a outras desiguais, obtêm-se diferenças desiguais e do mesmo sentido.

            4.ª - Multiplicando pela mesma quantidade positiva ou por quantidades positivas iguais outras desiguais, obtêm-se produtos desiguais e do mesmo sentido.

            5.ª - Dividindo pela mesma quantidade positiva ou por quantidades positivas iguais outras desiguais, obtêm-se quocientes desiguais e do mesmo sentido.

            6.ª - Dadas duas quantidades da mesma espécie a e b ou a > b, ou a = b ou a < b (Propriedade tricotómica).

86) Ângulo externo de um triângulo é o ângulo limitado pelo prolongamento de um dos lados com a semi-recta que contém o lado consecutivo. Na Fig. 108 está representado o ∠ CBD externo do ΔABC no vértice B.

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87) TEOREMA: Um ângulo externo de um triângulo é maior do que qualquer dos ângulos internos não adjacentes (Fig. 108).

Hipótese: Dado o Δ ABC e o ∠ CBD externo em B.

Tese: ∠ CBD > ∠ C ou ∠ CBD > ∠ A.

Demonstração

Trace-se a recta AE, sendo E o ponto médio do lado BC, e marque-se EF = AE.

Como (66) ∠ AEC = ∠ BEF teremos (79) Δ AEC = Δ BEF donde ∠ CBF = ∠ C.

O ponto F pertence aos semi-planos CBF e ABF e, por consequência, à sua intersecção ou seja ao  ∠ CBD.

Então a semi-recta BF é interior ao ∠ CBD (49) e, por isso (63 – 7.ª) ∠ CBD > ∠ CBF ou (85 – 1.ª) ∠ CBD > ∠ C.

Analogamente se demonstrava que  ∠ CBD > ∠ A. Bastaria para isso, dividir ao meio o lado AB e proceder de forma análoga para o ângulo verticalmente oposto do ∠ CBD.

88) TEOREMA: Num triângulo a ângulos iguais opõem-se lados iguais (Fig. 109).

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Hipótese: Dado o Δ ABC em que ∠ A = ∠ B.

Tese: AC = BC.

Demonstração

Seja CD a bissectriz do ∠ ABC.

Fazendo rodar em torno de CD o ∠ BCD de forma que este ângulo fique no mesmo semi-plano do ∠ ACD, o lado CB daquele ângulo coincide com o lado CA deste último (42 e 44).

Vamos provar que o ponto B coincide depois do deslocamento com o ponto A. Suponhamos que isto não se verificava e o ponto B ia ocupar a posição do ponto B’ (Fig. 109), e, portanto,

Δ CB’D = Δ CBD

Do Δ AB’D conclui-se que (87)

∠ CB’D > ∠ A

Mas ∠ CB’D = ∠ B donde (85 – 1.ª)

∠ B > ∠ A

o que é contra a hipótese.

Analogamente se concluía que o ponto B não pode existir no prolongamento de CA, ou seja ocupar a posição do ponto B’’ (Fig. 109).

Então, o ponto B tem de coincidir com A e, portanto, AC = BC.

Cor.- Um triângulo equiângulo é um triângulo equilátero.

EXERCÍCIOS XIV

1) Se (Fig. 110) no Δ ABC, ∠ B = ∠ C e BD = DC, demonstrar que ∠ BAD = ∠ DAC.

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2) Se (Fig. 110) no Δ ABC, ∠ B = ∠ C e ∠ BAD = ∠ DAC, demonstrar que BD = DC.

3) Se (Fig. 111) o Δ ABC é isósceles, de base BC, e BE e CD são as bissectrizes, respectivamente, do ∠ ABC e do ∠ ACB, demonstrar que BF = FC.

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4) Se (Fig. 111) o Δ BFC é isósceles e ∠ ABE = ∠ ACD, demonstrar que o Δ ABC é isósceles.

5) Se (Fig. 111) ∠ ABC = ∠ ACB, BE e CD são as bissectrizes, respectivamente, do ∠ ABC e do ∠ ACB, demonstrar que Δ ABE = ΔACD.

89) O recíproco de um teorema é o teorema que se obtém daquele trocando a hipótese ou parte da hipótese com a tese ou parte da tese. O teorema dado é chamado o teorema directo.

O recíproco do teorema do parágrafo anterior é o seguinte:

TEOREMA: Num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.

Este teorema já foi demonstrado no parágrafo 80.

90) Nem sempre as proposições recíprocas são verdadeiras, como sucede com o recíproco de:

Os ângulos obtuso são maiores do que um ângulo recto, que é:

Os ângulos maiores do que um ângulo recto são obtusos.

Os ângulos rasos ou os côncavos são maiores do que um ângulo recto e não são obtusos.

EXERCÍCIOS XV

Enunciar os recíprocos das proposições seguintes e dizer quais os verdadeiros.

1) Dois ângulos verticalmente opostos são iguais.

2) A soma de um ângulo recto com um ângulo agudo é um ângulo obtuso.

3) A soma de dois ângulos rectos é um ângulo raso.

4) Dois triângulos iguais têm os três lados iguais.

5) Dois triângulos iguais têm dois lados iguais e o ângulo por eles formado igual.

6) Dois triângulos iguais têm dois lados iguais e o ângulo oposto a um desses lados igual.

91) TEOREMA: Se um triângulo tem dois lados desiguais, os ângulos opostos também o são, e ao maior desses lados opõe-se o maior desses ângulos (Fig. 112).

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Hipótese: Dado o Δ ABC em que BC > AC.

Tese: ∠ BAC > ∠ ABC.

Demonstração

 

Marque-se sobre a semi-recta CB, a partir do ponto C, um segmento CD = AC e trace-se o segmento AD. O ponto D fica situado entre C e B.

Passos

1) ∠ a = ∠ b.

2) ∠ BAC > ∠ a.

3) ∠ BAC > ∠ b.

4) ∠ b > ∠ ABC.

5) ∠ BAC > ∠ ABC.

Justificações

1) Porquê? (80, Cor. I).

2) Porquê? (63 – 7.ª).

3) Porquê? (85 – 1.ª).

4) Porquê? (87).

5) Porquê? (85 – 2.ª)

Cor. I – Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

Cor. II – Num triângulo, ao menor lado opõe-se o menor ângulo.

92) TEOREMA RECÍPROCO: Se um triângulo tem dois ângulos desiguais, os lados opostos também o são, e ao maior desses ângulos opõe-se o maior desses lados (Fig. 113).

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Hipótese: Dado o Δ ABC em que ∠ BAC > ∠ ABC.

Tese: BC > AC.

Demonstração

Considere-se o ∠ a = ∠ ABC, sendo um dos lados do ∠ a o lado AB do Δ ABC, e seja D o ponto onde o outro lado daquele ângulo intersecta o lado BC. Como AD é uma semi-recta interior ao ∠ BAC intersecta BC num ponto interior.

Passos

1) AD = BD.

2) AC < AD + DC.

3) AC < BD + DC.

4) AC < BC ou BC > AC.

Justificações

1) Porquê? (88).

2) Porquê? (84).

3) Porquê? (85. – 1.ª)

4) Porquê? (63 – 6.ª)

Cor. I – Num triângulo, a maior ângulo opõe-se o maior lado.

Cor. II – Num triângulo, ao menor ângulo opõe-se o menor lado.

EXERCÍCIOS XVI

1) Se no Δ ABC AB = 5 cm, BC = 7 cm e AC = 6 cm, qual é o maior ângulo? E o menor?

2) Escrever, por ordem crescente, os ângulos de um Δ ABC cujos lados medem B = 7 cm, BC = 12 cm e AC = 8 cm.

3) Pode existir um Δ ABC em que ∠ A = 70º, ∠ B = 40º, BC = 6 cm e AC = 7 cm? Justificar a resposta.

4) Escrever, por ordem decrescente, os ângulos de um Δ ABC cujos lados medem AB = 80 mm, BC = 0,9 dm e AC = 7 cm.

5) Dado o Δ ABC, isósceles de base AB, marcar sobre o lado AC um ponto D. Traçar o segmento BD. Demonstrar que BD > AD.

6) No Δ ABC, AB > AC. Seja D o ponto de encontro das bissectrizes do ∠ B e do ∠ C. Demonstrar que BD > CD.

7) Se (Fig. 114) BC > AB, ∠ BAD = ∠ BCD = 1 ∠ recto, demonstrar que AD > CD.

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