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| Capítulo II- 3ª parte |
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| Teresa Pereira, 2004-03-29 17:03 [#191] Publicado em 2004-03-30 20:04 por Jorge Nuno Silva |
| Tópicos: Palma Fernandes |
| Ficheiros anexos: Capítulo II-3ª parte.htm fig77.cdy fig78.cdy fig79.cdy fig80.cdy fig81.cdy fig82.cdy fig83.cdy fig84.cdy fig85.cdy fig86.cdy fig87.cdy fig88.cdy fig89.cdy fig90.cdy fig91.cdy fig92.cdy fig93.cdy fig94.cdy fig95.cdy fig96.cdy fig97.cdy fig98.cdy fig99.cdy fig100.cdy fig101.cdy fig102.cdy fig103.cdy fig104.cdy fig105.cdy fig106.cdy |
Trabalho realizado por Teresa Pereira, Fernanda Larião e Isabel Catarino.
Ficheiro anexo 'Capítulo II-3ª parte.htm':
III
CASOS DE IGUALDADE DE TRIÂNGULOS
76) Como vimos, dois triângulos iguais têm os seis elementos iguais, cada um a cada um. Porém, para se poder afirmar que dois triângulos são iguais, basta saber-se que três determinados elementos são iguais, como se vai demonstrar.
Aplicar-se-ão, por vezes certas abreviaturas que facilitam a escrita. Assim: a. l. a quer dizer um lado (l.) e dois ângulos adjacentes (a. a.); l. a. l., dois lados (l. l.) e o ângulo por eles formado (a.); l. l. l., os três lados.
77) Para justificar as demonstrações sobre igualdade de triângulos e várias outras admitiremos o:
Axioma: A coincidência de dois segmentos iguais ou de dois ângulos iguais pode ter lugar por deslocamento, quer os segmentos e os ângulos sejam considerados isoladamente ou façam parte de figuras que sejam deslocadas com eles.
1º caso de igualdade
78) TEOREMA: Dois triângulos são iguais se têm um lado igual e os dois ângulos adjacentes iguais, cada um a cada um (a. l. a.= a. l. a. – Fig. 77).
Hipótese: Dados o Δ ABC e o Δ MNP em que AC = MP, ∠ A = ∠ M e ∠ C = ∠ P.
Tese: Δ ABC = Δ MNP.
Desloque-se o Δ MNP e sobreponha o lado MP ao lado AC do Δ ABC (23 e 77) de forma que o semi-plano MPN coincida com o semi-plano ACB (37).
As semi-rectas MN e PN sobrepõem-se às semi-rectas AB e CB visto que, por hipótese ∠ A = ∠ M e ∠ C = ∠ P (42, 43 e 77).
Neste deslocamento o ponto N sobrepõe-se ao ponto B (16b) e por consequência (23) MN = AB e NP = BC.
Como o Δ MNP coincide com o Δ ABC eles são iguais (74).
Cor.- Dois triângulos rectângulos são iguais se têm um cateto igual e o ângulo agudo adjacente igual.
Como o outro ângulo adjacente a cada um daqueles catetos é recto, verificam-se as condições do teorema.
1) Se (Fig. 78) BC = CD e ∠ B = ∠ D, demonstrar que o Δ ABC = Δ CDE e provar, em seguida, que ∠ A = ∠ E.
2) Se (Fig. 78) AC = CE, ∠ A = 48º e ∠ a=132º, demonstrar que Δ ABC = Δ CDE e, em seguida, concluir que AB = DE.
3) Se (Fig.78) BC = CD e ∠ ABC = ∠ CDE = 1∠ recto, demonstrar que Δ ABC = Δ CDE e, em seguida, concluir que AC = CE.
4) Se (Fig. 79) ∠ a = ∠ d e ∠ b = ∠ c, demonstrar que Δ ABD = Δ BCD e provar, em seguida, que AD = BC e AB = CD.
5) Se (Fig. 80) ∠ ABD = ∠ DBC e ∠ ADB = 1∠ recto, demonstrar que Δ ADB = Δ BDC e, em seguida, provar que o Δ ABC é isósceles.
6) Se (Fig. 80) ∠ x = ∠ y ∠ BDC = 1∠ recto, demonstrar que Δ ABC é isósceles.
7) Se (Fig. 80) ∠ ADB = 1∠ recto e ∠ CBD é suplemento do ∠ y, demonstrar que Δ ADB = Δ BDC e, em seguida, provar que AD = DC.
8) Se (Fig. 81) BD for a bissectriz do ∠ ABC e ∠ a = ∠ b, demonstrar que Δ ABD = Δ BCD e provar, em seguida, que AB = BC.
9) Se (Fig. 82) ∠ ABD = 1∠ recto, ∠ E = 65º, ∠ ACD =115º e BC = BE, demonstrar que Δ ABD = Δ DBE e provar, em seguida, que AC = DE.
10) Dados os Δ ABC e o Δ A’B’C’ em que ∠ A = ∠ B’ e ∠ C = ∠ A’, dizer outra condição que se deve verificar para que os triângulos sejam iguais. Justificar a resposta.
11) Dados o Δ ABC e o Δ MNP rectângulos, respectivamente, em B e P e em que ∠ A = ∠ N, dizer outra condição que se deve verificar para que os triângulos sejam iguais. Justificar a resposta.
12) A Fig. 83 representa uma ilha em que uma vara está colocada no ponto B. Pretende-se determinar a distância de um ponto A, situado em terra, ao ponto B. Para isso, determinou-se a distância de dois pontos A e C e mediu-se ∠ ACB e ∠ CAB. Marcou-se, em seguida, em terra o ∠ ACD e ∠ CAD, respectivamente, iguais àqueles ângulos, como está indicado na Fig. 83.
Dizer qual é a distância que se deve determinar, em terra, para obter a distância de A a B. Justificar a resposta.
13) Pretende-se medir a largura de um rio que é dada pela distância de dois pontos A e B (Fig. 84). Traçou-se uma recta que forma um ângulo recto com AB e mediram-se os dois segmentos BD = DC. Seja E o ponto onde a recta, definida pelos pontos A e D, intersecta CE, que forma um ângulo recto com BC.
Dizer qual é a distância que se deve determinar para obter a distância pedida. Justificar a resposta.
14) A e B são dois pontos situados em duas ilhas (Fig. 85) cuja distância se pretende determinar. Seja C um ponto existente em terra que está na recta definida pelos pontos A e B, e marque-se CE de maneira que forme um ângulo recto com AC, sendo D o ponto médio de CE.
Sejam F e G os pontos onde as rectas BD e AD intersectam a recta EG, que forma um ângulo recto com CE. Justificar que a medida de FG dá a distância pedida.
2º caso de igualdade
79) TEOREMA: Dois triângulos são iguais se têm dois lados iguais, cada um a cada um, e o ângulo por eles formado igual (l. a. l. = l. a. l. – Fig. 86).
Hipótese: Dado o Δ ABC e o Δ MNP em que AB = MN, AC = MP e ∠ A = ∠ M.
Tese: Δ ABC = Δ MNP.
Desloque-se o Δ MNP e sobreponha-se o lado MMP ao lado AC do Δ ABC (23 e 27), de forma que o semi-plano MPN coincida com o semi-plano ACB (37).
O ∠ M sobrepõe-se ao ∠ A (77 e 43) e, portanto, a semi-recta MN coincide com a semi-recta AB.
O ponto N coincide com o ponto B porque MN = AB (23).
Então NP coincide com BC (16b).
Como os triângulos coincidem eles são iguais (74).
Cor. – Dois triângulos rectângulos são iguais se têm os dois catetos iguais, cada um a cada um.
1) Se (Fig. 87) BC = CE AC = CD, demonstrar que Δ ABC = Δ CDE e provar, em seguida, que ∠ A = ∠ D.
2) Se (Fig.88) AB = BC e ∠ e = ∠ f, demonstrar que Δ ABD = Δ BCD e provar, em seguida, que ∠ a = ∠ c.
3) Se (Fig. 88) AD = DC e ∠ a = ∠ c, demonstrar que Δ ABD = Δ BCD e provar, em seguida, que ∠ e = ∠ f.
4) Se (Fig. 88) AD = DC, ∠ a =65º e ∠ b =50º, demonstrar que Δ ABD = Δ BCD e provar, em seguida, que AB = BC.
5) Se (Fig.89) AB = EA, BC = DE, ∠ ABC =1 ∠ recto e ∠ DEA = 1 ∠ recto, demonstrar que ΔABC = Δ DEA e provar, em seguida, que ∠ C = ∠ D.
6) Dados o Δ ABC e o Δ XYZ em que AC = YZ e ∠ C = ∠ Y, dizer outra condição que se deve verificar para que os triângulos sejam iguais. Justificar a resposta.
7) Dados o Δ MNP e o Δ RST em que MN = ST e ∠ M = ∠ S, dizer outra condição que se deve verificar para que os triângulos sejam iguais. Justificar a resposta.
8) Dados o ΔABC e o Δ XYZ, rectângulos, respectivamente, em A e Y, e em que AB = XY, dizer outra condição que se deve verificar para que os triângulos sejam iguais. Justificar a resposta.
9) A Fig. 90 representa uma elevação de terreno que separa dois pontos A e B cuja distância se pretende determinar. Para o fazer, colocou-se uma vara em C e marcou-se AC = CD e BC = CE. Provar que a distância pedida é a medida de ED.
10) A Fig. 91 apresenta um muro M que separa dois pontos A e B cuja distância se pretende determinar. Marcou-se, para isso, no terreno, uma recta BC e uma perpendicular AD àquela recta e um segmento BD = DC.
Dizer qual é a linha que se pode medir de forma a se obter a distância de A e B. Justificar a resposta.
80) TEOREMA: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais (Fig. 92).
Hipótese: Dado o Δ ABC isósceles de base AB.
Tese: ∠ A = ∠ B.
Na Fig. 92 está traçada CD, que é a bissetriz do ∠ ACB.
Passos
1) AC = CB
2) ∠ ACD = ∠ BCD.
3) Δ ACD = Δ BCD.
4) ∠ A = ∠ B.
Justificações
1) Porque num Δ isósceles são =s dois lados (nenhum deles é a base) (72).
2) Porque a bissectriz dum ∠ divide-o em dois ∠ s = =s (44).
3) Porque l. a. l.=l. a. l. (79) (CD é comum aos dois Δs).
4) Porque em Δ s =s a lados =s opõem-se ∠s =s (75-1ª).
Cor. I – Num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
Cor. II – Um triângulo equilátero é eqiuângulo.
1) Se (Fig. 93) o Δ ABC e o Δ BCD são isósceles, demonstrar que ∠ a = ∠ b.
2) Se (Fig. 94) AB = AD e BC = CD, demonstrar que ∠ ABC = ∠ ADC.
3) Se (Fig. 95) AC = BC e AD = EB, demonstrar que Δ ACD = Δ BCE e provar, em seguida, que o Δ CDE é isósceles.
4) Se (Fig. 95) CD = CE e AE = DB, demonstrar que Δ ACD = Δ BCE e provar, em seguida, que ∠ A = ∠ B.
5) Se (Fig. 95) CD = CE e ∠ ACD = ∠ BCE, demonstrar que AC = BC.
6) Se (Fig. 95) AC = BC e AD = EB, demonstrar que Δ ACE = Δ BCD.
3º caso de igualdade
81) TEOREMA: Dois triângulos são iguais se têm os três lados iguais, cada um (l. l. l. = l. l. l. – Fig. 96).
Hipótese: Dado o Δ ABC e o Δ MNP em que AB = MN, BC = NP e AC = MP.
Tese: ΔABC = Δ MNP.
Desloque-se o Δ MNP e sobreponha-se o lado MP ao lado AC do ΔABC, de forma que o lado MN daquele triângulo figure no semi-plano oposto ao semi-plano ACB (Fig. 96).
Seja N’ a nova posição do ponto N.
Como AN’ = MN e CN’ = NP e atendendo à hipótese, teremos (25), AB = AN’ e BC = CN’ ... (i)
Trace-se o segmento BN’ (Fig 96).
Considerando o Δ ABN’ e o Δ BCN’, teremos (80, Cor. I).
∠ b = ∠ a e ∠ d = ∠ c
donde (63 – 2ª) ∠ b + ∠ d = ∠ a + ∠ c
ou (63 – 6ª) ∠ AN’C = ∠ ABC
Atendendo a esta igualdade e a (i) conclui-se que (79), Δ ABC = Δ AN’C.
Como o Δ MNP = ΔAN’C teremos (63 – 1ª) Δ ABC = Δ MNP.
1) Se (Fig. 97) AB = CD e BC = AD, demonstrar que ∠ A = ∠ C.
2) O Δ ABC e o Δ XYZ são equiláteros. Demonstrar que aqueles triângulos são iguais se AB = XZ.
3) Se (Fig. 98) AF = CD, AB = DE e BC = FE, demonstrar que Δ ABC = Δ DEF e provar, em seguida, que ∠ A = ∠ D.
4) No Δ ABC, isósceles de base BC, seja D o ponto médio da base. Demonstrar que o Δ ADB = Δ ADC e provar, em seguida, que ∠ BAD = ∠ DAC.
5) Se (Fig. 99) AB = CD E BC = AD, demonstrar que Δ ABC = Δ ADC e prova, em seguida, que ∠ B = ∠ D.
6) Dados o ΔABC e o Δ MNP em que AB = MN e BC = MP, dizer outra condição que se deve verificar para que os triângulos sejam iguais.
7) Dados o Δ XYZ e o Δ RST em que XZ = RS e YZ = ST, dizer outra condição que se deve verificar para que os triângulos sejam iguais.
8) Dados o Δ ABC e o Δ RST que são isósceles e cujas bases AB e ST são iguais, dizer outra condição que se deve verificar para que os triângulos sejam iguais.
9) Um carpinteiro deseja construir um telhado de forma que as vigas iguais AB e BC (Fig. 100) assentem sobre uma trave horizontal AC. Para verificar a horizontalidade da trave AC suspendeu-se, do ponto B, um fio de prumo BP. Quando AP e PC tiverem o mesmo tamanho o problema está resolvido? Justificar a resposta.
10) No instrumento da Fig. 101 AB = AC e BD = DC, sendo D uma parte móvel eu desliza na régua AE. Dado um ângulo, para desenhar a bissectriz faz-se coincidir AB com um dos lados e AC com o outro.
A bissectriz pedida é AD. Justificar a construção.
11) A Fig. 102 representa o tabuleiro de uma ponte, sendo ACB um poderoso cabo de aço fixado fortemente nos pontos A e B equidistantes do ponto D (AC = CB). Justificar que, naquelas condições, desde que o cabo não quebre, a ponte não se pode curvar nem abater.
12) Pretende-se determinar a distância dos pontos A e B, separados por uma casa (Fig. 103). Para isso, marcou-se no terreno o Δ ACD, medindo-se os lados AC e AD. Construiu-se, em seguida o Δ CDE, cujos lados CE e DE são iguais, respectivamente, a AC e AD. Justificar que a distância de E a B é igual à dos pontos A e B.
13) Dado o ∠ BAC (Fig. 104), para se determinar a sua bissectriz, com o auxílio do esquadro (chamado esquadro de carpinteiro), podem-se marcar sobre os lados do ângulo dois segmentos AB = AC e colocar o esquadro de forma que os seus bordos passem por B e C e as medidas marcadas sejam iguais. A recta AD é a bissectriz pedida. Justificar a construção.
82) Além dos três casos de igualdade de triângulos dados nos parágrafos 78, 79 e 81, há um quarto caso, que tem pouca aplicação na prática, e que é o seguinte:
TEOREMA: Dois triângulos são iguais se têm dois lados iguais, cada um a cada um, e o ângulo oposto ao maior deles igual (Fig. 105).
Hipótese: Dados o Δ ABC e o Δ MNP em que AB = MN, BC = NP, ∠ C = ∠ P e AB > BC.
Tese: Δ ABC = ΔMNP.
(Não efectuamos esta demonstração por não ser exigida no programa.)
83) No caso de dois triângulos terem dois lados iguais e os ângulos opostos aos menores desses lados iguais, pode sucede que os triângulos não sejam iguais, como está exemplificado na Fig. 106.
O Δ ABC = Δ MNP, mas não é igual a Δ MNQ, e todavia AB = MN, BC = NQ e ∠ A = ∠ M.
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