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EXERCÍCIOS XLII

1. Sendo (Fig. 273) o ponto A um dos pontos de intersecção da circunferência de centro em O com a circunferência de centro em O',
   BC paralela com OO' e existindo A em BC, demonstrar que BC = 2 OO'
   (Sugestão: tirar por O e O' perpendiculares a BC).
2. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
   Fig. 273

   Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
   Fig. 274

3. Se (Fig. 274) AB e CD são paralelas, demonstrar que AD = BC.
4. Ab é uma corda da circunferência de centro O que intersecta outra circunferência com o mesmo centro, de raio menor,
   nos pontos C e D. Demonstrar que AC = BD.
5. Demonstrar que é isósceles o trapézio que tem todos os vértices sobre uma circunferência.

200)
TEOREMA: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), as cordas iguais têm apótemas iguais (Fig. 275).

Hipótese: Dados a circunferência de centro em O e as cordas AB = CD, sendo OE e OF os seus apótemas.
Tese: OE = OF

TEOREMA RECÍPROCO: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais) são iguais as cordas com apótemas iguais (Fig. 275).

Hipótese: Dados a circunferência de centro em O e as cordas AB e CD, sendo OE e OF os seus apótemas e OE = OF.
Tese: AB = CD

202)
TEOREMA: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), dadas duas cordas, a maior delas tem o menor apótema (Fig. 276).

Hipótese: Dados a circunferência de centro em O e as cordas CD > AB. OF e OE são os respectivos apótemas.
Tese: OF < OE

203)
TEOREMA RECÍPROCO: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), dadas duas cordas, é maior aquela que
tem o menor apótema (Fig. 276).

Hipótese: Dados a circunferência de centro em O e as cordas CD e AB sendo OF e OE os seus apótemas, OF < OE.
Tese: CD > AB

EXERCÍCIOS XLIII

1. Se o triângulo ABC tem todos os vértices sobre uma circunferência e ∠B = ∠ C, demonstrar que
   AB e AC estão equidistantes do centro.
2. Demonstrar o reciproco do problema anterior.
3. Demonstrar que, se um trapézio tem todos os vértices sobre uma circunferência, a base maior está mais próxima
   do centro do que a outra e que os outros dois lados estão equidistantes do centro.
4. Se o triângulo ABC tem todos os vértices sobre uma circunferência e os seus lados estão equidistantes do centro,
   demonstrar que o ABC é equilátero.
5. Se na circunferência de centro em O (Fig. 277) BO for a bissectriz do ∠ABC, OD⊥AB e OE⊥BC, demonstrar
   que OD = OE e AB = BC.
6. Se na circunferência de centro em O (Fig. 277) AB = BC, OD⊥AB e OE⊥BC, demonstrar que BO é a bissectriz
   do ∠ ABC.
7. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
   Fig. 277
8. Se na circunferência de centro em O (Fig. 277) (arco AB) > (arco BC), OD⊥AB e OE⊥BC (AB e BC são arcos
   menores), demonstrar que OD < OE.
9. Se o triângulo ABC tem todos os vértices sobre uma circunferência e ∠A < ∠B, demonstrar que AC está mais
   perto do centro do que BC.
10. Demonstrar o recíproco do exercício anterior.
11. Dada uma circunferância, construir uma corda igual a outra dada e que lhe seja perpendicular.

204)
TEOREMA: É tangente à circunferência a recta perpendicular ao raio no ponto onde este encontra a circunferência
(Fig. 278).

Hipótese: Dada a circunferência de centro em O e raio OA, sendo BC⊥OA no ponto A.
Tese: BC é tangente à circunferência de centro em O no ponto A.

TEOREMA RECÍPROCO: A tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que passa pelo ponto
de tangência (Fig. 278).

Hipótese: Dada a circunferência de centro em O e raio OA, sendo BCtangente à circunferência no ponto A.
Tese: BC⊥OA.

Cor. - A recta perpendicular à tangente a uma circunferência no ponto de tangência passa pelo centro.
Com efeito, se aquela recta não passasse pelo centro, como o raio correspondente ao ponto de contacto é perpendicular
à tangente, pelo ponto de tangência passariam duas rectas perpendiculares à tangente, o que é absurdo (144, Cor. I).

EXERCÍCIOS XLIV

1. Demonstrar que as tangentes a uma circunferência que passam pelos extremos de um diâmetro sãp paralelas.
2. Demonstrar que uma corda é paralela à tangente cujo ponto de tangência é o ponto médio do arco subtenso pela corda.
3. Demonstrar que as tangentes a uma circunferência nos extremos de uma corda formam com esta ângulos iguais.
   (Sugestão: traçar os raios correspondentes aos extremos da corda).
4. Se de um ponto exterior a uma circunferência se tirarem tangentes para a circunferência, demonstrar que a recta
   definida por aquele ponto e o centro bissecta o ângulo das tangentes. (Sugestão: Traçar os raios correspondentes
   aos pontos de contacto das tangentes).
5. Construir a recta tangente a uma circunferência num dado ponto da circunferência. (Sugestão: Traçar a recta que
   passa pelo centro e pelo ponto dado).
6. Construir uma recta tangente a uma circunferência paralela a uma corda dada.
7. Na construção de um caminho de ferro pretende-se ligar duas secções AB e CD (Fig. 279), cada uma delas em linha
   recta, por um arco de circunferência tangente em B e C, respectivamente, a AB e CD. (B e C estão equidistantes
   do ponto O, intersecção das rectas AB e CD). Dizer como se pode determinar o centro da circunferência. Justificar
   a resposta.