188)

TEOREMA: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), os arcos iguais são subtensos por cordas iguais (Fig. 265).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Fig. 265

Hipótese: Dada a circunferência de centro O em que (arco AB) = (arco CD).
Tese: AB = CD.

Demonstração

Construam-se os raios OA, OB, OC e OD.
Passos:
1) ∠ AOB = ∠COD.
2) OA = OC e OB = OD.
3) (triângulo AOB) = (triângulo COD).
4) AB = CD.

Justificações:
1) Porquê? (186).
2) Porquê? (180-1.ª).
3) Porquê? (79).
4) Porquê? (75-1.ª).

189)
TEOREMA RECÍPROCO: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), a cordas iguais correspondem arcos menores
ou arcos maiores iguais (Fig. 265).

Hipótese: Dada a circunferência de centro O em que as cordas AB e CD são iguais.
Tese: arco AB = arco CD.

Demonstração

Construam-se os raios OA, OB, OC e OD.
Passos:
1) OA = OC e OB = OD.
2) (triângulo AOB) = (triângulo COD).
3) ∠ AOB = ∠COD.
4) arco AB = arco CD.

Justificações:
1) Porquê? (180-1.ª).
2) Porquê? (81).
3) Porquê? (75-1.ª).
4) Porquê? (185).

190)

Demonstra-se também o:

TEOREMA: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), dados dois arcos menores, ao maior deles corresponde
a maior corda; e o:

TEOREMA RECÍPROCO: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), dadas duas cordas, à maior delas corresponde
o maior arco menor.

EXERCÍCIOS XL

1. Se (Fig. 266) na circunferência de centro em O MN = MQ e ∠c = ∠d, demonstrar que o arco NP é igual ao arco PQ.
2. Se (Fig. 266) na circunferência de centro em O se tem arco NP = arco PQ e se PM for a bissectriz do ∠NPQ, demonstrar que MN = MQ.
3. Se (Fig. 266) na circunferência de centro em O MN = MQ e os arcos NP e PQ são iguais, demonstrar que PM é a bissectriz de ∠NPQ.
4. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
   Fig. 266
5. Se (Fig. 267) na circunferência de centro em O XY = ZT, demonstrar que XZ = YT.
6. Se (Fig. 267) na circunferência de centro em O XZ = YT, demonstrar que XY = ZT.
7. Se (Fig. 267) na circunferência de centro em O XZ > YT, demonstrar que XY > ZT.
8. Se (Fig. 267) na circunferência de centro em O XY > ZT, demonstrar que XZ > YT.

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Fig. 267

191)
TEOREMA: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), a ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais (Fig. 268).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Fig. 268

Hipótese: Dada a circunferência de centro O em que ∠ AOB = ∠COD.
Tese: AB = CD.

Demonstração

Passos:
1) (arco AB)=(arco CD)
2) AB = CD.

Justificações:
1) Porquê? (185).
2) Porquê? (188).

192)
TEOREMA RECÍPROCO: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais) a cordas iguais correspondem ângulos ao centro iguais.
(Fig. 268)

(Demonstração para o estudante fazer)

193)
TEOREMA: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais) dados dois ângulos ao centro, ao maior deles corresponde a
maior corda (Fig. 269)

(Demonstração para o estudante fazer)

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Fig. 269

194)
TEOREMA RECÍPROCO: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais) dadas duas cordas, à maior delas corresponde
o maior ângulo ao centro (Fig. 269)

(Demonstração para o estudante fazer)

EXERCÍCIOS XLI

1. Se (Fig. 270) na circunferência centrada em O AC = CB e ∠DCO = ∠OCE, demonstrar que CD=CE.
2. Se (Fig. 270) na circunferência centrada em O ∠CDO = ∠CEO e CO for a bissectriz do ∠DCE, demonstrar
   que AC = CB.

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Fig. 270)

195)
Sucede, por vezes, que a hipótese ou a tese de um teorema é formada por várias condições. Neste caso o teorema dado
pode ter vários recíprocos parciais, que se obtêm trocando uma das condições da hipótese ou da tese, respectivamente,
com uma das condições da tese ou da hipótese.
Damos a seguir exemplo de um teorema que tem vários recíprocos.

196)
TEOREMA: Numa circunferência, a perpendicular baixada do centro para uma corda divide-a ao meio, assim como os arcos
que ela subtende (Fig. 271).

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Fig. 271

Hipótese: Dada a circunferência de centro O em que AB é uma corda e OC⊥AB.
Tese: AD = DB, (arco AC) = (arco CB) e (arco AE) = (arco EB).

Demonstração

Construam-se os raios OA, OB.
Passos:
1) OA = OB.
2) AD = DB.
3) (triângulo ODA) = (triângulo ODB).
4) ∠AOC = ∠COB.
5) ∠AOE = ∠EOB.
6) (arco AC) = (arco CB) e (arco AE) = (arco EB)

Justificações:
1) Porquê? (180-1.ª).
2) Porquê? (98-2.º).
3) Porquê? (103).
4) Porquê? (75-1.ª).
5) Porquê? (57-2.º).
6) Porquê? (185).

197)
1.º TEOREMA RECÍPROCO: Numa circunferência, a recta perpendiucular ao meio de uma corda passa pelo centro (Fig. 271)

Hipótese: Dados a circunferência de centro O, a corda AB e a recta CD ⊥ AB.
Tese: CD passa pelo centro da circunferência centrada em O.

Demonstração

Seja EO a recta perpendicular a AB baixada do centro da circunferência de centro O.
Passos:
1) EO passa pelo ponto D.
2) CD coincide com EO.
3) CD passa pelo centro.

Justificações:
1) Porquê? (196).
2) Porquê? (144, Cor. I).
3) Pela alínea anterior.

198)
2.º TEOREMA RECÍPROCO:(*): Numa circunferência, a recta que une o centro com meio de uma corda é perpencicular à corda
(Fig. 271).

Hipótese: Dados a circunferência de centro Oe a recta OD, sendo AD = DB.
Tese: OC ⊥ AB.

Demonstração

Construam-se os raios OA e OB.
Passos:
1) OA = OB.
2) (triângulo ODA) = (triângulo ODB).
3) ∠ADO = ∠BDO.
4) OC ⊥ AB.

Justificações:
1) Porquê? (180-1.ª).
2) Porquê? (81).
3) Porquê? (75-1.ª). 4) Porquê? (93)

(*) Há mais teoremas recíprocos além destes dois, como sucede com os seguintes:
a) Teorema: Numa circunferência, a recta que une o centro com o meio de um dos arcos subtensos por uma corda, é
perpendicular à corda.
b) Teorema: Numa circunferência, a recta que une os pontos médios dos arcos subtensos por uma corda é perpendicular
à corda.

199)
TEOREMA: Numa circunferência são iguais os arcos compreendidos entre duas cordas paralelas (Fig. 272).

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Fig. 272

Hipótese: Dados a circunferência de centro O e as cordas AB e CD, paralelas.
Tese: (arco AC) = (arco BD).

Demonstração

Pelo centro O da circunferência tire-se uma recta OE perpendicular a AB.
Passos:
1) OE ⊥ CD.
2) (arco EC) = (arco ED) e (arco EA) = (arco EB).
3) (arco EC) - (arco EA) = (arco ED) - (arco EB).
4) (arco AC) = (arco BD)

Justificações:
1) Porquê? (122, Cor.).
2) Porquê? (196).
3) Porquê? (63-3.ª)
4) Porque (arco EC) - (arco EA) = (arco AC) e (arco ED) - (arco EB) = (arco BD)