CAPÍTULO VII

I

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

172)
Como vimos (138), circunferência é a linha plana fechada em que todos os seus pontos estão equidistantes de um ponto fixo (Fig. 257).
Ao ponto fixo chama-se centro e raio é o segmento definido pelo centro e por qualquer ponto da circunferência. Na Fig. 257 o centro é o ponto O e o raio
é o segmento OP.

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Fig. 257

Uma circunferência divide o plano em duas partes distintas: aquela que contém o centro e os pontos interiores dos raios diz-se interior, e a outra que contém
os pontos existentes nos prolongamentos dos raios, diz-se exterior.
Os pontos pertencentes ao interior duma circunferência dizem-se interiores e os que pertencem ao exterior dizem-se exteriores.

173)
O facto de todos os pontos da circunferência gozarem da propriedade de estarem à mesma distância do centro permite-nos concluir que:
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo.

174)
Arco de circunferência é qualquer porção desta, compreendida entre dois pontos que se dizem as extremidades do arco.
Raio de um arco é o raio da circunferência a que o arco pertence.

175)
Corda é qualquer segmento de recta limitado por dois pontos da circunferência; os arcos correspondentes dizem-se subtensos.
Quando se quizer distinguir cada um dos arcos subtensos por uma corda, deve-se intercalar, entre as letras correspondentes às extremidades do arco, uma letra
correspondente a um ponto do arco compreendido entre os extremos.
Assim, na Fig. 258 o segmento AB é uma corda que subtende o arco ACB e arco ADB.
O apótema de uma corda é o segmento da perpendicular baixada do centro para a corda. OF é o apótema da corda AB (Fig. 258).
Diâmetro é a corda que passa pelo centro duma circunferência. (Também é usado chamar raio e diâmetro às medidas dos segmentos respectivos).

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Fig. 258

176)
Duas circunferências dizem-se sobrepostas ou coincidentes quando cada ponto duma coincide com um ponto da outra e reciprocamente.
Dois arcos de circunferência dizem-se sobrepostos ou coincidentes quando cada ponto de um coincide com cada ponto do outro e reciprocamente.
É evidente que duas circunferências ou dois arcos coincidentes têm o mesmo centro e o mesmo raio.

177)
Duas circunferências (ou dois arcos de circunferência) dizem-se iguais ou congruentes quando coincidem ou deslocando uma delas (ou um deles)
se pode fazer coincidir com a outra (ou com o outro).

178)
Uma recta diz-se secante em relação a uma circunferência quando têm dois pontos comuns. Na Fig. 259 a recta CD é secante à circunferência de centro em O.
Uma recta diz-se tangente a uma circunferência quando tem um único ponto comum com a circunferência.
Ao ponto comum à tangente e à circunferência dá-se o nome de ponto de tangência ou de contacto. Na Fig. 259 a recta AB é tangente
à circunferência de centro em O, sendo T o ponto de tangência.
Uma recta diz-se exterior a uma circunferência quando não têm nenhum ponto em comum. Na Fig. 159 a recta EF é exterior à circunferência de centro em O.

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Fig. 259

179)
Círculo é a união duma circunferência com o seu interior. A qualquer arco de circunferência, que limita um círculo, também se chama arco de círculo.
Os pontos interiores ou exteriores a um círculo são, respectivamente, os pontos interiores ou exteriores à circunferência que limita o círculo.

180)
Atendendo às definições anteriores, facilmente se concluem as seguintes propriedades:

1.ª - Na mesma circunferência, no mesmo arco ou no mesmo círculo todos os raios são iguais.

2.ª - Duas circunferências ou dois círculos são iguais se têm raios iguais e recirpocamente.

3.ª - O diãmetro de uma circunferência ou de um círculo é igual ao dobro do raio.

4.ª - O diâmetro divide a circunferência ou círculo em duas partes iguais.

5.ª - Um ponto exterior a uma circunferência ou a um círculo está a uma distância do centro maior do que o raio e um ponto interior
a uma distância do centro maior do que o raio e reciprocamente.

6.ª - dois arcos de uma circunferência ou de circunferências iguais cujos extremos se podem fazer coincidir são iguais.

181)
Um diâmetro divide a circunferência em duas semi-circunferências e o círculo em dois semi-círculos.

182)
Arco menor é qualquer arco menor do que uma semi-circunferência e arco maior qualquer arco maior do que uma semi-circunferência.

183)
TEOREMA: Numa circunferência o diâmetro é maior do que qualquer outra corda (Fig. 260).

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Fig. 260

Hipótese: Dada a corda AB da circunferência de centro em O e raio R.
Tese: 2R>AB.

Demonstração

Construam-se os raios OA e OB.
Passos:
1) AB < OA + OB.
2) AB< R + R ou 2 R > AB.

Justificações:
1) Porquê? (84).
2) Porque OA = OB = R.

EXERCÍCIOS XXXVIII

1. Pode existir uma circunferência cujo raio meça 3 m e uma corda 7 m? Porquê?
2. Pode existir uma circunferência cujo raio meça 6 dm e uma corda 100 cm? Porquê?
3. Uma corda e um diâmetro de uma circunferência são representados, respectivamente, por 2x-20 cm e x+4 cm. determinar os maiores valores
   que podem ter a corda e o diâmetro, expressos em números inteiros e em centímetros.
4. Uma corda e o raio de uma circunferência são representados, respectivamente, por 2x+16 m e 3x-20 m. Determinar os menores valores que
   podem ter a corda e o raio, expressos em números inteiros e em metros.

184)
Ângulo ao centro duma circunferência

é aquele cujo vértice é o centro e em que cada lado contém um raio. A cada ângulo ao centro
corresponde, na circunferência, um arco, que é a intersecção do ângulo com a circunferência. Na Fig. 261 o ∠AOB é um ângulo ao centro,
e o arco correspondente é o AB.

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Fig. 261

185)
TEOREMA: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), a ângulos ao centro correspondem arcos iguais (Fig. 262).

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Fig. 262

Hipótese: Dada a circunferência de centro O em que ∠ AOB = ∠ COD.
Tese: arco AB = arco CD.

Demonstração

Passos:
1) Desloque-se, rodando em torno de O, o ∠ AOB até coincidir com o ∠ COD.
2) OA sobrepõe-se a OC e OB a OD.
3) Arco AB = arco CD.

Justificações:
1) Pelos dados, ∠ AOB = ∠ COD (42).
2) Porquê? (180-1.ª).
3) Porquê? (180-6ª).

186) TEOREMA RECÍPROCO: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), a arcos iguais correspondem ângulos iguais (Fig. 262).

Hipótese: Dada a circunferência de centro O em que arco AB = arco CD.
Tese: ∠ AOB = ∠ COD.

Demonstração

Passos:
1) Desloque-se o arco AB e sobreponha-se ao arco CD.
2) OA sobrepõe-se a OC e OB a OD.
3) ∠ AOB = ∠ COD.

Justificações:
1) Porquê? (42).
2) Porquê? (16, b).
3) Porquê (42).

187)
Também, por sobreposição se podia demonstrar:

TEOREMA: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), dados dois ângulos ao centro, ao maior deles corresponde o maior arco.
e o:

TEOREMA RECÍPROCO: Na mesma circunferência (ou em circunferências iguais), dados dois arcos, ao maior deles corresponde o maior ângulo
ao centro.

EXERCÍCIOS XXXIX

1. Se numa circunferência AB e CD são diâmetros, demonstrar que arco AC = arco BD.
2. Se (Fig. 263) na circunferência de centro O AD = DC, demonstrar que arco AB = arco BC.
3. Se (Fig. 263) na circunferência de centro O arco AB = arco BC, demonstrar que AD = DC.
4. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
   Fig. 263
5. Se (Fig. 264) na circunferência de centro O AB é um diâmetro e ∠a = ∠b, demonstrar que arco AC = arco AD.
6. Se (Fig. 264) na circunferência de centro O AB é um diâmetro e arco AC = arco AD, demonstrar que ∠a = ∠b.
7. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
   Fig. 264
8. Se (Fig. 264) na circunferência de centro O AB é um diâmetro e ∠a > ∠b, demonstrar que arco AC < arco AD.
9. Se (Fig. 264) na circunferência de centro O AB é um diâmetro e arco AC < arco AD, demonstrar que ∠a > ∠b.