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PROBLEMA: Construir uma recta perpendicular ao meio de um dado segmento (Fig. 193).

Dado: O segmento de recta AB.
Pedido: Construir a recta perpendicular ao meio de AB.

Com o centro no ponto A e raio maior do que metade do segmento AB, traçam-se dois arcos de circunferência para um e outro
lado de AB. Em seguida, com centro em B e o mesmo raio, traçam-se dois arcos que intersectam os anteriores nos pontos C e D (1).
(1) Demonstra-se que duas circunferências não podem ter mais do que dois pontos comuns (232-I-3º).

Os pontos C e D, por construção, estão equidistantes dos extremos do segmento AB. Por isso, a recta CD é perpendicular ao meio
do segmento AB (99, Cor.)

144) PROBLEMA: Construir, passando por um dado ponto, uma recta perpendicular a outra dada (Figs. 194 e 195).

Dados: A recta AB e o ponto C
Pedido: Construir uma recta perpendicular a AB passando no ponto C.

Com centro em C, traça-se um arco de circunferência, que intersecta a recta AB nos pontos D e E. Com centro no ponto D e raio maior do que metade de DE, traça-se um arco de circunferência. Com o mesmo raio e centro em E, traça-se outro arco de circunferência, que intersecta o anterior no ponto F. Os pontos C e F definem a recta pedida.

O ponto C está equidistante dos pontos D e E, assim como o ponto F, o que permite concluir que CF⊥AB (99, Cor).

Cor. I - Existe uma única recta perpendicular num ponto de outra recta (Fig. 196).

Dada a recta AC e o ponto O, existente naquela recta, construa-se a recta BD, perpendicular a AC no ponto O.
Suponhamos que havia outra recta B'D', passando por O e perpendicular a AC. Teríamos o ∠ AOB e o ∠AOB' que seriam rectos
visto serem BD e B'D' perpendiculares a AC.
Mas (Fig. 196) ∠ AOB' > ∠ AOB, o que é impossível, visto que todos os ângulos rectos são iguais. Então, BD é a única recta
perpendicular à recta AC no ponto O.

Cor. II - Por um ponto exterior a uma recta é possível fazer passar uma recta perpendicular àquela, e só uma (Fig. 197).

Dado o ponto B, exterior à recta AC, construa-se BD⊥AC. Suponhamos que existia outra recta BD'⊥AC.
Se isso se verificasse, o triânulo BEF (Fig. 197) teria dois ângulos rectos, ∠FEB e ∠BFE, o que é impossível (136, Cor. I).
visto serem BD e B'D' perpendiculares a AC.
Conclui-se assim que BD é a única recta perpendicular a AC que passa pelo ponto B.

EXERCÍCIOS XXIX

1. Construir um segmento de recta igual a metade de um dado segmento.
2. Dividir um segmento de recta em 4 partes iguais.
3. Construir as alturas de um triângulo isósceles.
4. Construir as alturas de um triângulo obtusângulo.
5. Construir as mediatrizes de um triângulo rectângulo.
6. Construir as mediatrizes de um triângulo obtusângulo.
7. Construir as medianas de um triângulo.
8. Construir um triângulo isósceles dada a base e a altura referente à base.
9. João comproou um esquadro e, para verificar se ele tinha um ângulo recto, resolveu traçar uma recta AB (Fig.198) e, em seguida, ajustou-lhe
   um dos bordos do esquadro, traçando a recta CD.
   Mudou depois a posição do esquadro, ficando este na posição indicada na Fig. 198. Dizer se o ∠ADC é recto, agudo, ou obtuso. Justificar a resposta.
10. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
    (Fig. 198)

145) PROBLEMA: Construir a bissectriz de um dado ângulo (Fig. 199).

Dado: O ∠ABC.
Pedido: Construir a bissectriz do ∠ABC.

Com centro no vértice B, trace-se um arco de circunferência, que intersecta os lados BA e BC do ∠ABC, respectivamente, nos pontos D e E.
Com centros em D e E, tracem-se dois arcos de circunferência, com o mesmo raio, que se encontram no ponto F. A bissectriz pedida é a semi-recta BF.

Tracem-se os segmentos de recta DF e EF. Como BD=BE, DF=EF e BF é comum, o ∠BDF = ∠BEF (l.l.l.=l.l.l.). Conclui-se assim que ∠DBF = ∠EBF (75-1ª), sendo, portanto, BF a bissectriz do ∠ABC.

146) PROBLEMA: Fazer passar por um ponto exterior a uma recta outra recta paralela à dada (Fig. 200).

Dados: A recta AB e o ponto P exterior.
Pedido: Fazer passar pelo ponto P uma recta paralela a AB.

Faça-se passar por P uma recta que encontra AB em M. Construa-se, com vértice em P, sendo um lado PM, um ângulo igual
ao ∠BMP. Seja o ∠MPC o obtido. A recta pedida é CD.

O ∠BMP e o ∠MPC são alternos-internos e iguais por construção, sendo portanto, CD//AB (121).

EXERCÍCIOS XXX

1. Construir um ângulo igual a metade de um dado ângulo obtuso.
2. Dividir um dado ângulo em quatro partes iguais.
3. Construir um ângulo de: a) 45°; b) 22° 30'
4. Construir as bissectrizes de um dado triângulo.
5. Construir (sem o auxílio do transferidor) um triângulo ABC, em que AB=3 cm, BC=4 cm e ∠B=135°.
6. Construir (sem o auxílio do transferidor) um triângulo ABC, rectângulo em A, sendo AB=4 cm e ∠B=67° 30'.
7. Fazer passar por um ponto exterior a uma recta oputra recta paralela à primeira, empregando:
   a) ângulos correspondentes;
   b) ângulos alternos-externos.