CAPÍTULO VI

 

I

 

QUADRILÁTEROS

 

 

147) Consideremos as linhas formadas por quatro segmentos de recta consecutivos, tendo dois a dois um extremo comum, e que limitam uma porção de plano, não existindo dois segmentos com o mesmo extremo na mesma recta (Figs. 201, 202 e 203).

 

Os segmentos de recta são os lados da linha e os extremos dos segmentos são os vértices.

 

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Nas linhas anteriores há a considerar os vértices consecutivos, que pertencem ao mesmo lado, e os vértices opostos que pertencem a lados diferentes; os lados consecutivos são os que têm um vértice comum e os que não têm dizem-se opostos.

 

Nas Figs. 201, 202 e 203 o vértice A é consecutivo de B e D e oposto a C; o lado AB é consecutivo de BC e AD e oposto a CD.

 

Às figuras nas condições anteriores dá-se o nome de quadriláteros e representam-se pelas letras dos seus vértices consecutivos escritos pela sua ordem. Temos assim os quadriláteros ABCD (Figs. 201, 202 e 203).

 

Chama-se quadrilátero convexo ou quadrângulo convexo, àquele que define um domínio convexo (33). Na Fig. 201 está representado o quadrilátero convexo ABCD.

 

Quadrilátero côncavo é aquele que define um domínio côncavo (33). Nas Figs. 202 e 203 estão representados quadriláteros côncavos.

 

Ao quadrilátero da Fig. 203 também se dá o nome de quadrilátero estrelado.

 

Quando nos referirmos a quadriláteros apenas consideramos os convexos.

 

 

148) As semi-rectas que têm como origem comum um dos vértices de um quadrilátero e contêm dois lados consecutivos que partem desse vértice, são os lados de um ângulo que se diz ângulo interno do quadrilátero ou simplesmente ângulo do quadrilátero.

 

Dois ângulos consecutivos de um quadrilátero são os que têm como vértices dois vértices consecutivos e no caso contrário dizem-se opostos. Na Fig. 201 o ∠ A é consecutivo do ∠ B ou do ∠ D e oposto ao ∠ C.

 

Os lados e os ângulos de um quadrilátero são os seus elementos.

Os pontos pertencentes à intersecção dos interiores dos ângulos de um quadrilátero dizem-se interiores ao quadrilátero. O conjunto desses pontos é o interior do quadrilátero.

 

Os pontos que não pertencem ao interior de um quadrilátero nem aos lados, dizem-se exteriores. O conjunto desses pontos é o exterior do quadrilátero.

 

 

149) Diagonal de um quadrilátero é o segmento de recta definido por dois vértices opostos. O segmento AC é uma das diagonais do quadrilátero ABCD (Fig. 204).

 

 

150) TEOREMA: A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 4 ângulos rectos (Fig. 204).

 

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Hipótese: Dado o quadrilátero ABCD.

Tese: ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 4 ∠s rectos.

 

Demonstração:

Trace-se a diagonal AC do quadrilátero.

 

 

COR. – Se os ângulos de um quadrilátero são iguais, eles são todos rectos.

 

 

EXERCÍCIOS XXXI

 

1) Três dos ângulos de um quadrilátero medem 55º 18’, 107º 47’ e 99º 11’. Determinar a medida do outro ângulo.

2) O ∠ A e o ∠ C do quadrilátero ABCD são complementares. Determinar as medidas do ∠ B e do ∠ D, sabendo que aquele tem menos 25º 46’ do que este.

3)Dois dos ângulos de um quadrilátero são rectos; qual é a relação entre os outros dois? Justificar a resposta.

 

 

 

II

 

CLASSIFICAÇÃO DOS QUADRILÁTEROS

 

 

151) Paralelogramo é o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos (Fig. 205).

 

Base de um paralelogramo é qualquer dos seus lados (AD por exemplo, Fig. 205) e a altura é o segmento de recta perpendicular à base compreendido entre ela e o outro lado paralelo (EF, Fig. 205). Ao conjunto das medidas da base e da altura chama-se dimensões do paralelogramo.

 

 

152) Losângo ou rombo é o quadrilátero cujos lados são todos iguais (Fig. 206).

 

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Rectângulo é o quadrilátero cujos lados consecutivos são perpendiculares (Fig. 207).

 

Base de um rectângulo é qualquer dos seus lados (AD por exemplo, Fig. 207) e altura qualquer dos lados perpendiculares àquele (AB ou CD, Fig. 207). Ao conjunto das medidas da base e da altura chama-se dimensões do rectângulo.

 

Quadrado é o rectângulo cujos lados são todos iguais (Fig. 208).

 

 

153) Trapézio é o quadrilátero em que dois lados são paralelos e só dois (Figs. 209, 210 e 211). Os lados paralelos são as bases, sendo uma a base maior e outra a base menor.

Na Fig. 209, AD é a base maior e BC a base menor.

 

Na definição anterior conclui-se que o trapézio tem dois lados opostos paralelos e os outros dois oblíquos.

 

Altura de um trapézio é o segmento de recta perpendicular às bases e compreendido entre elas. Na Fig. 209, EF é a altura.

 

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154) Um trapézio escaleno é aquele cujos lados opostos oblíquos são desiguais (Fig. 209).

Um trapézio isósceles ou simétrico é aquele cujos lados opostos oblíquos são iguais (Fig. 210).

Um trapézio rectângulo é aquele em que um dos lados opostos oblíquos é perpendicular às bases (Fig. 211).

 

 

155) Mediana de um trapézio é o segmento de recta cujos extremos são os pontos médios dos lados opostos não paralelos (AB, Fig. 210).

 

 

EXERCÍCIO XXXII

 

1) Se pelos vértices A e B do Δ ABC, obtusângulo em C, tirarmos paralelas, respectivamente, aos lados BC e AC, qual é o quadrilátero formado?

2) Se pelos vértices A e B do Δ ABC, rectângulo em C, tirarmos paralelas, respectivamente, aos lados BC e AC, qual é o quadrilátero formado?

Que condição se deve verificar para que o quadrilátero obtido seja um quadrado?

3)Se por um ponto de um dos braços de um triângulo isósceles tirarmos uma paralela à base, como se chama cada uma das partes em que ficou dividido o triângulo?

4)Se unirmos por um segmento de recta os pontos médios das bases de um trapézio isósceles, como se chama cada uma das partes em que o trapézio ficou dividido?

5)Se por um dos pontos da base de um triângulo isósceles tirarmos uma paralela a um dos braços e uma perpendicular a outro, como se chama cada uma das partes em que o triângulo ficou dividido?

 

 

 

III

 

PROPRIEDADES DO PARALELOGRAMO, LOSANGO, RECTÂNGULO E QUADRADO

 

 

156) Da definição de paralelogramo concluem-se as seguintes propriedades:

 

            1.ª - Os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais.

            Com efeito, os ângulos opostos de um paralelogramo têm os lados paralelos e são da mesma espécie e, portanto, iguais (132).

 

            2.ª - Os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.

            Aqueles ângulos podem-se considerar como ângulos internos do mesmo lado da secante, determinados em rectas paralelas, e, por isso, são suplementares (131).

 

 

157) Da definição de rectângulo e paralelogramo também se conclui que:

 

            Um rectângulo é um paralelogramo.

            Com efeito, sendo os lados opostos do rectângulo perpendiculares à mesma recta, eles são paralelos entre si (121, Cor.).

 

 

158) É evidente que:

 

            Dois rectângulos que têm bases e alturas iguais são iguais.

 

 

EXERCÍCIOS XXXIII

 

1) No paralelogramo ABCD, a ∠ A = 78º 15’, determinar a medida de cada um dos outros ângulos.

2) No paralelogramo ABCD a ∠ A tem mais de 15º 20’ do que a ∠ B. Determinar a medida de cada um dos ângulos do paralelogramo.

3) No paralelogramo MNPQ, a ∠ M= (2/3) ∠ N. Determinar a medida de cada um dos ângulos do paralelogramo.

4) Dado o paralelogramo ABCD, se representarmos a ∠ A = 3x + 25º e a ∠ B = 2x – 10º, determinar a medida de cada ângulo do paralelogramo.

5) Dado o paralelogramo ABCD, se representarmos a ∠ R = 2x – y + 10º, a ∠ S = x + 2y + 60º e a ∠ T = x + y, determinar a medida de cada um dos ângulos do paralelogramo.

6) Demonstrar que, se os ângulos opostos de um paralelogramo são suplementares, o paralelogramo é rectângulo.

 

 

159) TEOREMA: Os lados opostos de um paralelogramo são iguais (Fig. 212).

 

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Hipótese: Dado o paralelogramo ABCD.

Tese: AB = DC e BC = AD.

 

Demonstração:

Trace-se a diagonal AC.

COR. I – Os lados opostos de um rectângulo são iguais.

COR. II – Segmentos de paralelas compreendidos entre paralelas são iguais.

COR. III – A diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos iguais.

 

 

160) TEOREMA RECÍPROCO: É um paralelogramo todo o quadrilátero cujos lados são iguais dois a dois (Fig. 213).

 

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Hipótese: Dado o quadrilátero ABCD em que AB = DC e BC = AD.

Tese: ABCD é um paralelogramo.

 

Demonstração:

Trace-se a diagonal AC.

 
 

COR. – Um losango é um paralelogramo.

 
 

161) TEOREMA: É um paralelogramo todo o quadrilátero em que dois lados são iguais e paralelos (Fig. 214).

 

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Hipótese: Dado o quadrilátero ABCD em que AB = CD e AB || CD.

Tese: ABCD é um paralelogramo.

 

Demonstração:

Trace-se a diagonal AC.

Aplicação:

 
Construir um paralelogramo em que dois lados consecutivos meçam 2 cm e 3 cm e o ângulo por eles formado seja obtuso.

Sejam MN e RS os segmentos dados e a o ângulo (Fig. 215).

 

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Trace-se um segmento AB = RS e tome-se AB para um dos lados de um ângulo igual a ∠ a. Marque-se, a partir de A, no outro lado do ângulo (sem ser AB), um segmento AC = MN.

Por C, tire-se uma paralela a AB e, a partir de C, marque-se um segmento CD = RS. Una-se, por um segmento, B com D.

O paralelogramo pedido é o quadrilátero ABCD (161).

Em vez de se marcar sobre a paralela a AB o segmento CD = RS, podia tirar-se, pelo ponto B, uma paralela a AC, que intersectaria a outra paralela a AB no ponto D (151).

 

 

EXERCÍCIOS XXXIV

 

1) Construir um paralelogramo em que dois dos lados consecutivos sejam iguais aos segmentos AB e CD e o ângulo por eles formado seja igual à ∠ a (Fig. 216).

 

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2) Construir um losango em que um dos lados e um dos ângulos adjacentes sejam, respectivamente, iguais ao segmento AB e à ∠ a (Fig. 217).

 

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3) Construir um rectângulo em que dois dos lados sejam iguais aos segmentos AB e CD (Fig. 218).

 

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4) Demonstrar que o segmento de recta que une os pontos médios de dois lados opostos de um paralelogramo é paralelo aos outros lados.

5) No paralelogramo ABCD (Fig.219) AE = EB, BF = FC, CG = GD e DH = HA.

 

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Demonstrar que:

    a) Δ EBF = Δ HDG eΔ EAH = Δ FCG;

    b) EFGH é um paralelogramo.

6) ABCD é um paralelogramo, E e F são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB e CD. Tracem-se os segmentos EC e AF. Demonstrar que AECF é um paralelogramo.

7) ABCD é um paralelogramo (Fig.220). Se BF || ED, demonstrar que  Δ ABF =Δ CDE.

 

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8) ABCD é um paralelogramo (Fig. 220). Se BF ⊥ AC e ED ⊥ AC, demonstrar que BF = ED.

9) ABCD é um paralelogramo (Fig. 220). Se AF = EC, demonstrar que:

    a) Δ ABF =Δ CDE;

    b) BF || ED.

10) Se (Fig. 220) AF = EC, BF = ED e BF || ED, demonstrar que:

    a) Δ ABF = Δ CDE;

    b) AB || CD;

    c) ABCD é um paralelogramo.

11) Pretende-se medir a distância dos pontos A e B separados por um lago (Fig. 221). Marcou-se, para isso, ∠ A = 105º, ∠ B = 75º e AD = BC. Justificar que CD é igual à distância pedida.

 

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12) Pretende-se marcar a continuação da recta AB através da casa representada na Fig. 222. Para isso, traçou-se BC ⊥ AB, CD ⊥ BC, ED ⊥ CD, EF ⊥ ED e BC = ED. Justificar que EF está na direcção de AB.

 

 

162) TEOREMA: As diagonais de um paralelogramo bissectam-se uma à outra (Fig. 223).

 

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Hipótese: Dadas as diagonais AC e BD do paralelogramo ABCD que se intersectam no ponto E.

Tese: AE = EC e BE = ED.

Demonstração:

 

COR. I – As diagonais de um losango bissectam-se uma à outra.

COR. II – As diagonais de um rectângulo bissectam-se uma à outra.

 

 

163) TEOREMA: As diagonais de um losango são perpendiculares (Fig. 224).

 

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Hipótese: Dadas as diagonais AC e BD do losango ABCD.

Tese: AC ⊥ BD.

Demonstração: