trabalho do Nuno Silva
INVESTIGANDO UM POSSÍVEL MÉTODO PARA CONSTRUIR TRIÂNGULOS

    CONJECTURA

   É possível desenhar um triângulo [ABC], dados os seus três lados, sem compasso?
Começando por marcar num dos lados  [AB] (de comprimento  x, tomado para "base" do triângulo) o ponto médio e, com distância igual à diferença de AC e BC, marcar outro ponto (ainda na base [AB] do triângulo), por este novo ponto subir uma altura do triângulo, medir e marcar um segundo lado e, depois, o terceiro lado?   

Ficam aqui dois exemplos:

    «Construa um triângulo com lados 5cm - 6cm - 7cm.»
    1) Começa-se por desenhar um dos lados. Seja o lado de 7cm aquele que escolhemos para base.
    2) Marca-se o ponto médio. De um dos lados (no nosso exemplo, para a esquerda) marca-se à distância 1 cm (= 6cm -         5cm) outro ponto pelo qual se faz passar uma perpendicular. (Esta distância  6 - 5  tem a ver com as medidas dos outros         dois lados e com a conjectura.) (Esta perpendicular contém a altura do futuro triângulo.)
    3) Agora adiciona-se o segundo dos três lados (o de 5cm) ( [AF], nas figuras abaixo) (temos de medir).
    4) Se a conjectura funcionar, o outro lado que falta desenhar medirá  6cm.

    Há uma pequena diferença. Será problema da definição do ecrã ?

para ver construção interactiva com este caso 5cm - 6cm - 7cm clique aqui
 
      Vamos agora ver um segundo exemplo com medidas diferentes ( 5cm - 9cm - 13cm):
 

    ...Agora encontramos, para medida do terceiro lado  ( [FB] ),  onze centímetros vírgula qualquer coisa. Uma diferença             maior!
      Conclusão: a conjectura está errada.
      Nota: se considerarmos um triângulo equilátero, por exemplo, 7cm - 7cm - 7cm, a conjectura funciona...

    para ver construção interactiva com este segundo caso  5cm - 9cm - 13cm clique aqui
 
 Contexto
 O Nuno Silva, aluno do 8º ano em 2002/03 na Escola Secundária de Vergílio Ferreira (Carnide - Lisboa), formulou uma conjectura (não sugerida pelo professor) e, durante meses, "lutou" até conseguir ultrapassar as dificuldades de acesso ao Cinderella e à atenção do professor, sem desistir, num bom exemplo de perseverança.
 O professor apresentara o Cinderella e propusera que os alunos o usassem para investigar propriedades de triângulos e polígonos, apresentando sugestões de temas.

 A conjectura revelou-se "falsa". O Nuno usou o Cinderella e chegou a essa conclusão através de dois exemplos (Ver atrás). Falando em termos de Lógica: arranjou excepções, estragando assim o que conjecturava ser uma regra. Mas a sua atitude foi, mesmo nesse momento, de um verdadeiro aprendiz de cientista: não deixou de concluir "friamente" que é pela formulação e investigação de conjecturas que o conhecimento avança.

Prolongamentos
 Como tantas vezes sucede, a intuição a favor da conjectura deve ter ganho "força" no espírito do Nuno porque existem situações particulares em que a conjectura "funciona". O próprio Nuno distinguiu o caso ("trivial", chama-se em gíria matemática) do triângulo equilátero (em que a diferença entre os outros dois lados é zero). Há mais casos: basta que o triângulo seja isósceles ou, em caso contrário, que o lado que está a servir de base (suponhamos que mede  x) esteja relacionado com os outros dois (chamemos às medidas dos comprimentos  a  e  b ) da seguinte forma:  2x = b+a .
 (Os cálculos necessários podem-se fazer no 8º ano.) 
Eis então um exemplo, não considerado pelo Nuno, em que a intuição dele parece confirmada:

  com x=8 , b=11 e a=5 consegue-se... 

Mas, no caso geral, como já vimos, "não funciona".